Group with subnormal series where all factors are abelian
数学、特に 群論 の分野において 、 可解群（かくかいぐん） または 可溶群（かほうぐん）とは、 拡大 を用いて アーベル群 から構成できる 群 のことである。同様に、可解群とは 、 導来級が 自明部分群 で終結する 群のことである 。
モチベーション 歴史的に、「可解」という言葉は ガロア理論と 五次 方程式 の一般不解性の証明から生まれた。具体的には、 多項式方程式が 根号 で可解である ことと、対応する ガロア群が 可解であることは同値である [1] （この定理は 標数 0においてのみ成立することに注意）。これは、多項式に付随して、 体拡大の塔が存在することを意味する。 f ∈ F [ x ] {\displaystyle f\in F[x]}
F = F 0 ⊆ F 1 ⊆ F 2 ⊆ ⋯ ⊆ F m = K {\displaystyle F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K}
そういう
F i = F i − 1 [ α i ] {\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]} ここ で は 、 方程式の解である。 α i m i ∈ F i − 1 {\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}} α i {\displaystyle \alpha _{i}} x m i − a {\displaystyle x^{m_{i}}-a} a ∈ F i − 1 {\displaystyle a\in F_{i-1}} F m {\displaystyle F_{m}} 分割フィールド が 含まれています f ( x ) {\displaystyle f(x)}
例 元 を含む最小のガロア体拡大 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
a = 2 + 3 5 {\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}
は可解群を与える。関連する体拡張は
Q ⊆ Q ( 2 ) ⊆ Q ( 2 , 3 ) ⊆ Q ( 2 , 3 ) ( e 2 i π / 5 ) ⊆ Q ( 2 , 3 ) ( e 2 i π / 5 , a ) {\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}
次の合成因子 を含むガロア拡大の可解な群を与える （ここで は恒等置換）。 1 {\displaystyle 1}
A u t ( Q ( 2 ) / Q ) ≅ Z / 2 {\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2} 群作用 と 最小多項式 f ( ± 2 ) = ∓ 2 , f 2 = 1 {\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1} x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2} A u t ( Q ( 2 , 3 ) / Q ( 2 ) ) ≅ Z / 2 {\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2} 群作用 と最小多項式 g ( ± 3 ) = ∓ 3 , g 2 = 1 {\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1} x 2 − 3 {\displaystyle x^{2}-3} A u t ( Q ( 2 , 3 ) ( e 2 i π / 5 ) / Q ( 2 , 3 ) ) ≅ Z / 4 {\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4} 群作用を持ち 、 次を除く5乗根を含む最小多項式である。 h n ( e 2 i m π / 5 ) = e 2 ( n + 1 ) m i π / 5 , 0 ≤ n ≤ 3 , h 4 = 1 {\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2(n+1)mi\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1} x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = ( x 5 − 1 ) / ( x − 1 ) {\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)} 1 {\displaystyle 1} A u t ( Q ( 2 , 3 ) ( e 2 i π / 5 , a ) / Q ( 2 , 3 ) ( e 2 i π / 5 ) ) ≅ Z / 5 {\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5} 群作用 と最小多項式 j l ( a ) = e 2 l i π / 5 a , j 5 = 1 {\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1} x 5 − ( 2 + 3 ) {\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)} 定義グループアクション（例えば、 ）はそれぞれ、1つの拡張子のみを変更しますが、他の拡張子は変更しません。80個のグループアクションは、 のセットです 。 f g h 3 j 4 {\displaystyle fgh^{3}j^{4}} { f a g b h n j l , 0 ≤ a , b ≤ 1 , 0 ≤ n ≤ 3 , 0 ≤ l ≤ 4 } {\displaystyle \{f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4\}}
この群は アーベル群 ではありません。例えば、 ですが、 であり 、実際 です 。 h j ( a ) = h ( e 2 i π / 5 a ) = e 4 i π / 5 a {\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a} j h ( a ) = j ( a ) = e 2 i π / 5 a {\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a} j h = h j 3 {\displaystyle jh=hj^{3}}
これは と同型であり 、ここで は 巡回群 の 半直積 と 直積を 使って定義されます 。 は正規部分群ではありません。 ( Z 5 ⋊ φ Z 4 ) × ( Z 2 × Z 2 ) {\displaystyle (\mathbb {Z} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{4})\times (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})} φ h ( j ) = h j h − 1 = j 2 {\displaystyle \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}} Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}
意味 群 Gが 可解で あるとは、 その 因子群 （商群）がすべて アーベルであるような 非正規級数 、すなわち 部分群 が存在する場合に言う。
1 = G 0 ◃ G 1 ◃ ⋯ ◃ G k = G {\displaystyle 1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G} つまり、 G j −1は G j において 正規群 であり、 j = 1, 2, ..., k に対して、 G j / G j −1 はアーベル群である 。
あるいは、その 導関数級数 の場合、降順正規級数
G ▹ G ( 1 ) ▹ G ( 2 ) ▹ ⋯ , {\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,} ここで、すべての部分群は 前の部分群の 交換子部分群であり、最終的には G の自明部分群に到達する。これらの2つの定義は同値である。なぜなら、すべての群 H と H のすべての 正規部分群 N に対して、商 H / N がアーベル的である ことと、 Nが H の交換子部分群を含むことが、その必要十分条件だからである。G ( n ) = 1となる 最小の n は 、 可解群 Gの 導来長 と呼ばれる 。
有限群の場合、同値な定義は、可解群は すべての因数が 素数 位数 の 巡回群であるような 合成級数を 持つ群である、というものです。これは、有限群の合成長は有限であり、すべての 単純 アーベル群は素数位数の巡回であるため同値です。 ジョルダン・ヘルダーの定理は 、1 つの合成級数がこの特性を持つ場合、すべての合成級数もこの特性を持つことを保証します。多項式のガロア群の場合、これらの巡回群はある 体上の n 乗根（根号）に対応します 。この同値性は、無限群では必ずしも成り立ちません。たとえば、 整数群 Z の加法による非自明な部分群はすべて Z 自身と同型である ため 、 合成 級数 は存在しませんが、 唯一の因数群が Zと同型である正規級数 {0, Z } は、実際に Z が可解であることを証明しています。
例
アーベル群 可解群の基本的な例はアーベル群です。アーベル群は、群自身と自明群だけで非正規級数が形成されるため、自明に解けます。しかし、非アーベル群は可解かどうかは分かりません。
べき零群 より一般的には、すべての 冪零群は 可解である。特に、すべての有限 p 群は 冪零であるため、有限 p 群は 可解である。
四元数群 特に、 四元数群は 群の拡大によって与えられる可解群である。
1 → Z / 2 → Q → Z / 2 × Z / 2 → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1}
ここでカーネル は によって生成されたサブグループです 。 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} − 1 {\displaystyle -1}
グループ拡張機能 群の拡大は 可解群の典型的な例である。つまり、 とが 可解群であれば、任意の拡大は G {\displaystyle G} G ′ {\displaystyle G'}
1 → G → G ″ → G ′ → 1 {\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}
は可解群を定義します 。実際、すべての可解群はこのような群の拡大から形成できます。 G ″ {\displaystyle G''}
非冪零な非可換群 解ける非冪零群の小さな例として、 対称群 S 3 が挙げられます。実際、最小の単純非可換群は A 5 （次数5の 交代群 ）であるため、位数が60未満の群は すべて 解けることがわかります。
奇数位数の有限群 フェイト ＝トンプソン定理は 、奇数位数の有限群はすべて解けることを述べています。特に、この定理は、有限群が単純である場合、その有限群は素巡回群であるか偶数位数群であるかのいずれかであることを意味します。
非例 群 S 5 は解けない。つまり、合成級数 {E, A 5 , S 5 } を持ち（そして、 ジョルダン・ヘルダーの定理 によれば、他のすべての合成級数はこのものと同値である）、 A 5 および C 2 に同型の因数群を与える。そして、 A 5 はアーベルではない。この議論を一般化し、 A n がn > 4に対して S n の正規、最大、非アーベル単純部分群であるという事実と合わせると、 S n は n > 4に対して解けないことが わかる。これは、すべての n > 4に対して 、根号で解けない n 次 多項式が 存在すること（ アーベル・ルフィニの定理 ）を証明するための重要なステップである。この特性は、複雑性理論において バリントンの定理 の証明にも使用される 。
GLのサブグループ 2 サブグループを検討する
B = { [ ∗ ∗ 0 ∗ ] } , U = { [ 1 ∗ 0 1 ] } {\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}} の G L 2 ( F ) {\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}
ある体 に対して 群商が成り立つ。すると、 の任意の元を取り 、それらを掛け合わせ、どのような構造を与えるかを求めることで群商を求めることができる。つまり、 F {\displaystyle \mathbb {F} } B / U {\displaystyle B/U} B , U {\displaystyle B,U}
[ a b 0 c ] ⋅ [ 1 d 0 1 ] = [ a a d + b 0 c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}
の行列式条件は を意味するので 、 は 部分群（ となる行列 ）であることに注意してください。 を固定すると 、線形方程式は を意味します。 これは であるため 、 の任意の要素です 。 の任意の行列を取り 、 の行列と掛け合わせることができるので、 G L 2 {\displaystyle GL_{2}} a c ≠ 0 {\displaystyle ac\neq 0} F × × F × ⊂ B {\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B} b = 0 {\displaystyle b=0} a , b {\displaystyle a,b} a d + b = 0 {\displaystyle ad+b=0} d = − b / a {\displaystyle d=-b/a} F {\displaystyle \mathbb {F} } b ∈ F {\displaystyle b\in \mathbb {F} } B {\displaystyle B}
[ 1 d 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}
を用いると 、 の対角行列が得られます 。これは商群を示しています 。 d = − b / a {\displaystyle d=-b/a} B {\displaystyle B} B / U ≅ F × × F × {\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}
この記述は をとして 分解したもので、 は によって に作用することに注意してください 。 これ は を意味します 。また、 という形式の行列は B {\displaystyle B} F ⋊ ( F × × F × ) {\displaystyle \mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })} ( a , c ) {\displaystyle (a,c)} b {\displaystyle b} ( a , c ) ( b ) = a b {\displaystyle (a,c)(b)=ab} ( a , c ) ( b + b ′ ) = ( a , c ) ( b ) + ( a , c ) ( b ′ ) = a b + a b ′ {\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}
[ a b 0 c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}}
グループ内の 要素に対応します。 ( b ) × ( a , c ) {\displaystyle (b)\times (a,c)}
ボレル部分群 線型代数群 に対して 、 ボレル部分群は において閉じており、連結で、かつ可解な部分群として定義され 、これらの性質（最初の2つは位相的性質であることに注意）を持つ最大可能部分群である。例えば、 および における 上 三角行列または下三角行列の群は、ボレル部分群の2つである。上記の例、 における部分群 はボレル部分群である。 G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} G L n {\displaystyle GL_{n}} S L n {\displaystyle SL_{n}} B {\displaystyle B} G L 2 {\displaystyle GL_{2}}
GLにおけるボレル部分群 3 そこには サブグループがある G L 3 {\displaystyle GL_{3}}
B = { [ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ] } , U 1 = { [ 1 ∗ ∗ 0 1 ∗ 0 0 1 ] } {\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
ボレル群は次の形をとることに 注意せよ。 B / U 1 ≅ F × × F × × F × {\displaystyle B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}
U ⋊ ( F × × F × × F × ) {\displaystyle U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}
単純線型代数群の積におけるボレル部分群 積群において ボレル部分群は次の形式の行列で表すことができる。 G L n × G L m {\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}
[ T 0 0 S ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}}
ここで 、 は 上三角行列であり、 は上三角行列です 。 T {\displaystyle T} n × n {\displaystyle n\times n} S {\displaystyle S} m × m {\displaystyle m\times m}
Zグループ p- シロー部分群 が巡回的な 有限群は、2つの巡回群の 半直積 であり、特に可解である。このような群は Z群 と呼ばれる。
OEIS値 n 次の可解群の数は（ n = 0 から始まる）
0、1、1、1、2、1、2、1、5、2、2、1、5、1、2、1、14、1、5、1、5、2、2、1、15、2、2、5、4、1、4、1、51、1、2、1、14、1、2、2、14、1、6、1、4、2、2、1、52、2、5、1、5、1、15、2、13、2、2、1、12、1、2、4、267、1、4、1、5、1、4、1、50、...（シーケンス A201733 OEIS において 解けない群の順序は
60、120、168、180、240、300、336、360、420、480、504、540、600、660、672、720、780、840、900、960、1008、1020、1080、1092、1140、1176、1200、1260、1320、1344、1380、1440、1500、…（ OEIS のシーケンス A056866 ）
プロパティ 解決可能性は、いくつかの操作の下で閉じています。
G が解け、 Hが G の部分群であれ ば 、 H は解ける。 [2] Gが解け、 G から H への 準同型性 があれ ば 、 H は解けます。同様に（ 第一同型定理 より）、 G が解け、 Nが G の正規部分群であれば 、 G / N は解けます。 [3] 前の特性は、次の「2 つの価格で 3 つ」の特性に拡張できます。G は、 N と G / N の 両方が解ける 場合にのみ解けます。 特に、 G と H が解ける場合、 直積 G × H も解けます。 群の拡張 により可解性が閉じられる :
H と G / H が解ける 場合は、 G も解けます。特に、 N と H が解ける場合は、それらの 半直積 も解けます。 それはまた花輪製品の下で閉じられます:
G と H が解け、 Xが G 集合である 場合 、 X に関する G と H の 花輪積 も解けます。 任意の正の整数 Nに対して、 導来長 が最大 N である可解群は、 準同型 像、 部分代数 、および （直）積 の採り方に関して閉じているため、群多様体の 部分多様体 を形成する 。導来長が無制限の可解群の列の直積は可解ではないため、すべての可解群の類は多様体ではない。
バーンサイドの定理 バーンサイドの定理は、 Gが p a q b の位 数 の 有限群 であり、 p と q が 素数 、 a と b が 負でない 整数 である 場合 、 G は解けると述べています。
超可解群 可解性の強化として、群 Gが 不変 正規級数を持ち、その因数が全て巡回的である場合、その群は 超可解 （または 超可溶性 ）であると呼ばれる 。正規級数は定義により有限長であるため、 無数 群は超可解ではない。実際、すべての超可解群は 有限生成 であり、アーベル群が超可解であるためには有限生成でなければならない。交代群 A 4 は、有限可解でありながら超可解ではない群の例である。
有限生成群に限定すると、次のような群のクラスの配置を考えることができます。
巡回群 < アーベル群 < 冪零群 < 超可解群 < 多巡回群 < 可解群 < 有限生成群 。
事実上解ける群 群 G が有限指数の可解部分群を持つ場合、その群は 事実上可解と 呼ばれます。これは 事実上可換群 に似ています。明らかに、すべての可解群は事実上可解です。なぜなら、指数が1である群自体を選択すれば良いからです。
ヒポアーベリアン 可解群とは、その導来級数が 有限 段階で自明部分群に到達する群のことである。無限群の場合、有限導来級数は安定しない可能性があるが、超限導来級数は必ず安定する。超限導来級数が自明群に到達する群は、 ハイポアーベル群 と呼ばれ、すべての可解群はハイポアーベル群である。G ( α ) = G ( α +1 ) となる 最初の順序数 α は 、群 G の（超限）導来長と呼ばれ、すべての順序数は何らかの群の導来長であることが示されている（Malcev 1949）。
p-解ける 有限群が素数pに対してp-可解であるとは、構成系列のすべての因数が p-群 であるか、pと素の位数を持つ場合である。有限群が可解であるとは、すべてのpに対してp-可解であるとは、その有限群が可解であるとは限らない。 [4]
参照
注記 ^ ミルン『場の理論』 （PDF） p.45。 ^ Rotman (1995)、 定理5.15 、p. 102、 Googleブックス ^ Rotman (1995)、 定理5.16 、p. 102、 Googleブックス ^ "p-可解群". 群のプロパティに関するウィキ .
参考文献
外部リンク OEIS シーケンスA056866（解けない群の順序） 反復拡張としての可解群 
![{\displaystyle f\in F[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccbe5f3f86529d2b1b617a852f0368e16bba2d0)
![{\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcbc76557bbd9ec44ec40f956390571d65208ff)
![{\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa5478e35db7ad155cfc8df0e59c59e2b8a2d54)
