Relates the tangent of half of an angle to trigonometric functions of the entire angle
三角法 では 、 半角正接の公式は、 半角の正接を全角の三角関数に関連付けます。 [1]
半角の正接は、角度 ラジアン の点を通る円を、 角度 を通る直線に 立体投影したもの です。半角の正接の公式には、 η が 0 、 π /2 、 π 、または 3 π /2 であることが分かっている 場合、より簡単な公式が含まれます。これは、 sin( η ) と cos( η ) を単純な定数に置き換えることができる ためです。 π {\textstyle \pi } ± π 2 {\textstyle \pm {\frac {\pi }{2}}} tan 1 2 ( η ± θ ) = tan 1 2 η ± tan 1 2 θ 1 ∓ tan 1 2 η tan 1 2 θ = sin η ± sin θ cos η + cos θ = − cos η − cos θ sin η ∓ sin θ , {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1}{2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }}\,,\end{aligned}}}
逆方向の式には、 sin α = 2 tan 1 2 α 1 + tan 2 1 2 α cos α = 1 − tan 2 1 2 α 1 + tan 2 1 2 α tan α = 2 tan 1 2 α 1 − tan 2 1 2 α . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\,.\end{aligned}}}
証明
代数的証明 正弦と余弦の両方の角度の加減算公式を使用すると、次の式が得られます。 sin ( a + b ) + sin ( a − b ) = 2 sin a cos b cos ( a + b ) + cos ( a − b ) = 2 cos a cos b . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(a+b)+\sin(a-b)&=2\sin a\cos b\\[15mu]\cos(a+b)+\cos(a-b)&=2\cos a\cos b\,.\end{aligned}}}
利回りの設定 と 代入 a = 1 2 ( η + θ ) {\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(\eta +\theta )} b = 1 2 ( η − θ ) {\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}(\eta -\theta )} sin η + sin θ = 2 sin 1 2 ( η + θ ) cos 1 2 ( η − θ ) cos η + cos θ = 2 cos 1 2 ( η + θ ) cos 1 2 ( η − θ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \eta +\sin \theta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\eta +\theta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\eta -\theta )\\[15mu]\cos \eta +\cos \theta =2\cos {\tfrac {1}{2}}(\eta +\theta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\eta -\theta )\,.\end{aligned}}}
正弦の合計を余弦の合計で割ると sin η + sin θ cos η + cos θ = tan 1 2 ( η + θ ) . {\displaystyle {\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta +\theta )\,.}
また、同様の計算をする と 、 sin ( a + b ) − sin ( a − b ) {\displaystyle \sin(a+b)-\sin(a-b)} cos ( a + b ) − cos ( a − b ) {\displaystyle \cos(a+b)-\cos(a-b)} − cos η − cos θ sin η − sin θ = tan 1 2 ( η + θ ) . {\displaystyle -{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta -\sin \theta }}=\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta +\theta )\,.}
さらに、 二倍角の公式 とピタゴラスの定理を使うと 、正弦と余弦の公式の商を取ると、次の式が得られます 。 1 + tan 2 1 2 α = 1 / cos 2 1 2 α {\textstyle 1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha =1{\big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha } sin α = 2 sin 1 2 α cos 1 2 α = 2 sin 1 2 α cos 1 2 α / cos 2 1 2 α 1 + tan 2 1 2 α = 2 tan 1 2 α 1 + tan 2 1 2 α {\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \cos {\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha {\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}} cos α = cos 2 1 2 α − sin 2 1 2 α = ( cos 2 1 2 α − sin 2 1 2 α ) / cos 2 1 2 α 1 + tan 2 1 2 α = 1 − tan 2 1 2 α 1 + tan 2 1 2 α . {\displaystyle \cos \alpha =\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \right){\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\,.} tan α = 2 tan 1 2 α 1 − tan 2 1 2 α . {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\,.}
幾何学的証明 この菱形の辺の長さは1です。水平線と対角線の間の角度は 1 / 2 ( a + b ) 。これは、 tan という特定の正接半角の公式を証明する幾何学的な方法です。 1 / 2 ( a + b ) = (sin a + sin b ) / (cos a + cos b ) 。公式 sin 1 / 2 ( a + b ) と cos 1 / 2 ( a + b ) は、実際の距離と対角線の長さの比です。 上で導出した公式を右の菱形図形に適用すると、次のことが容易に示される。
tan 1 2 ( a + b ) = sin 1 2 ( a + b ) cos 1 2 ( a + b ) = sin a + sin b cos a + cos b . {\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}.}
単位円において、上記を適用すると、 三角形の相似性 により 、 t = tan 1 2 φ {\textstyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi }
t sin φ = 1 1 + cos φ . {\displaystyle {\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}.}
すると、
t = sin φ 1 + cos φ = sin φ ( 1 − cos φ ) ( 1 + cos φ ) ( 1 − cos φ ) = 1 − cos φ sin φ . {\displaystyle t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi )(1-\cos \varphi )}}={\frac {1-\cos \varphi }{\sin \varphi }}.}
積分学における接線半角置換 接線半角置換の 幾何 学的証明 三角法 の様々な応用において、 三角関数（ 正弦 や 余弦 など）を 新しい変数 の 有理関数 で 書き直すことは有用です。これらの恒等式は 、 の定義から、総称して 接線半角公式 と呼ばれます。これらの恒等式は、 微積分において、正弦および余弦の有理関数を t の関数に変換し、それらの 不定積分 を求める際 に有用です 。 t {\displaystyle t} t {\displaystyle t}
幾何学的には、構築は次のようになります。 単位円 上の任意の点 (cos φ 、 sin φ )について、その点と点 (−1、 0) を通る直線を引きます 。この点は、 ある点 y = tで y軸と交差します。簡単な幾何学を使用して、 t = tan(φ/2) であることを示すことができます 。描かれた直線の方程式は、 y = (1 + x ) t です。したがって、直線と円の交点の方程式は、 t を含む 二次方程式 になります。この方程式の 2 つの解は、 (−1、 0) と (cos φ 、 sin φ ) です。これにより、後者を t の有理関数として表すことができます(解は以下に示す)。
パラメータ t は、点 (cos φ , sin φ )の y 軸への 立体投影 を表し 、投影の中心は (-1, 0) です。したがって、接線半角の公式は、単位円上の立体座標 t と標準角座標 φ との間の変換を与えます。
そして、
sin φ = 2 t 1 + t 2 , cos φ = 1 − t 2 1 + t 2 , tan φ = 2 t 1 − t 2 cot φ = 1 − t 2 2 t , sec φ = 1 + t 2 1 − t 2 , csc φ = 1 + t 2 2 t , {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}
そして
e i φ = 1 + i t 1 − i t , e − i φ = 1 − i t 1 + i t . {\displaystyle e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it}}.}
この式 と式はどちらも について解くことができます 。これらを等しくすると、 自然対数 による 逆正接が得られます。 e i φ {\displaystyle e^{i\varphi }} t = tan ( φ / 2 ) {\displaystyle t=\tan(\varphi /2)} φ {\displaystyle \varphi } arctan t = − i 2 ln 1 + i t 1 − i t . {\displaystyle \arctan t={\frac {-i}{2}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.}
微積分学 では 、接線半角置換は 有理関数 sin φ および cos φ の不定積分を求めるのに用いられる 。微分する と以下の式 が得られる
。 t = tan 1 2 φ {\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi } d t d φ = 1 2 sec 2 1 2 φ = 1 2 ( 1 + tan 2 1 2 φ ) = 1 2 ( 1 + t 2 ) {\displaystyle {\frac {dt}{d\varphi }}={\tfrac {1}{2}}\sec ^{2}{\tfrac {1}{2}}\varphi ={\tfrac {1}{2}}(1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\varphi )={\tfrac {1}{2}}(1+t^{2})} d φ = 2 d t 1 + t 2 . {\displaystyle d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.}
双曲的恒等式 双曲線関数 でも全く同様のゲームをすることができます。 双曲線 （の右枝）上の点は (cosh ψ , sinh ψ ) で与えられます 。これを 中心 (-1, 0)から y 軸に投影すると、 次のようになります。
t = tanh 1 2 ψ = sinh ψ cosh ψ + 1 = cosh ψ − 1 sinh ψ {\displaystyle t=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ={\frac {\sinh \psi }{\cosh \psi +1}}={\frac {\cosh \psi -1}{\sinh \psi }}}
アイデンティティを持つ
sinh ψ = 2 t 1 − t 2 , cosh ψ = 1 + t 2 1 − t 2 , tanh ψ = 2 t 1 + t 2 , coth ψ = 1 + t 2 2 t , sech ψ = 1 − t 2 1 + t 2 , csch ψ = 1 − t 2 2 t , {\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh \psi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh \psi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \psi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \psi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}
そして
e ψ = 1 + t 1 − t , e − ψ = 1 − t 1 + t . {\displaystyle e^{\psi }={\frac {1+t}{1-t}},\qquad e^{-\psi }={\frac {1-t}{1+t}}.}
ψ を t の観点から 求めると 、逆双曲正接 と自然対数 の間に次の関係が導き出されます。 artanh {\displaystyle \operatorname {artanh} }
2 artanh t = ln 1 + t 1 − t . {\displaystyle 2\operatorname {artanh} t=\ln {\frac {1+t}{1-t}}.}
微積分における双曲正接半角置換は d ψ = 2 d t 1 − t 2 . {\displaystyle d\psi ={{2\,dt} \over {1-t^{2}}}\,.}
グーデルマン関数 双曲的恒等式と円関数を比較すると、 t の同じ関数が単に順序を変えただけのものであることに気づく。両方の場合においてパラメータ t を 同一視すると、円関数と双曲的関数の間に関係が生まれる。つまり、
t = tan 1 2 φ = tanh 1 2 ψ {\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }
それから
φ = 2 arctan ( tanh 1 2 ψ ) ≡ gd ψ . {\displaystyle \varphi =2\arctan {\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )}\equiv \operatorname {gd} \psi .}
ここで、 gd( ψ ) は グーデルマン関数 です。グーデルマン関数は、複素数を含まない円関数と双曲線関数の間に直接的な関係を与えます。上記の接線半角の公式（単位円と標準双曲線を y 軸に投影したもの）の説明は、この関数の幾何学的解釈を与えます。
有理数とピタゴラスの三つ組 ピタゴラス三角形 の 辺の長さ a 、 b 、 c が正の整数で、 a 2 + b 2 = c 2 を満たす場合、三角形の各内角 の正弦と余弦は有理数であることが直ちに分かります。これは、正弦と余弦が辺の長さの比に等しいためです。したがって、これらの角度の半角正接は、 tan φ /2 = sin φ / (1 + cos φ ) を用いて有理数となります 。
逆もまた真なりです。2つの正の角度の合計が90°で、それぞれが有理数の半角正接を持ち、3つ目の角度が 直角 である場合、これらの内角を持つ三角形はピタゴラス三角形 に拡大縮小 できます。3つ目の角度が直角である必要はなく、3つの正の角度の合計が180°になる角度である場合、最初の2つの角度が有理数であるとき、3つ目の角度の半角正接は必然的に有理数となり（正接の角度の加減法の公式を使用）、三角形は ヘロン三角形 に拡大縮小できます。
一般に、 K が 複素数の サブフィールド である場合、 tan φ /2 ∈ K ∪ {∞} は {sin φ 、cos φ 、tan φ 、sec φ 、csc φ 、cot φ } ⊆ K ∪ {∞} を意味します。
参照
外部リンク
参考文献 ^ 数学 。米国、NAVEDTRA [海軍]教育訓練プログラム管理支援活動、1989年。6-19。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc5cd8c646b5065b9c513a515568a1c76036db6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(a+b)+\sin(ab)&=2\sin a\cos b\\[15mu]\cos(a+b)+\cos(ab)&=2\cos a\cos b\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df05f684d903667515cb05ca81ff62f99805daa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \eta +\sin \theta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\eta +\theta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\eta -\theta )\\[15mu]\cos \eta +\cos \theta =2\cos {\tfrac {1}{2}}(\eta +\theta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\eta -\theta )\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f01ec5c6736bda1530f787fefc83da411990ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3146d534fd7e56bc5bb613e5e1ec8b6262ab05)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh \psi ={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh \psi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \psi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth \psi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a678eb6a82e567095dcc3dc93aeb4ed21a611f1)
