調和関数

数学、数理物理学、確率過程理論において、調和関数（はんようかん、英: Harmonic function）とは、 $Uが$ ラプラス方程式を満たす、つまり $U$ 上のあらゆる場所での開部分集合であるような、 2回連続微分可能な関数である。これは通常、またはと表記される。 $f\colon U\to \mathbb {R} ,$ $\mathbb {R} ^{n},$ ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$ $\nabla ^{2}f=0$ $\Delta f=0$

「ハーモニック」という用語の語源

「調和関数」という名称の「調和」という語は、張られた弦上の点が調和運動をしていることに由来する。この種の運動の微分方程式の解は正弦と余弦で表すことができ、これらの関数は「調和関数」と呼ばれる。フーリエ解析では、単位円上の関数をこれらの調和関数の級数で展開する。単位n球面上の調和関数の高次元類似体を考えると、球面調和関数が得られる。これらの関数はラプラス方程式を満たし、時が経つにつれて「調和関数」はラプラス方程式を満たすすべての関数を指すようになった。 ^[1]

例

2 変数の調和関数の例は次のとおりです。

任意の正則関数の実部または虚部。実際、平面上で定義されるすべての調和関数はこの形式をとる。
この関数は上記の例の特別なケースであり、正則関数である。xに関する2階微分は、yに関する2階微分は、 $\,\!f(x,y)=e^{x}\sin y;$ $f(x,y)=\operatorname {Im} \left(e^{x+iy}\right),$ $e^{x+iy}$ $\,\!e^{x}\sin y,$ $\,\!-e^{x}\sin y.$
で定義された関数は、線電荷による電位、または長い円筒形の質量による重力電位を記述できます。 $\,\!f(x,y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace .$

3変数の調和関数の例を以下の表に示す。 $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}:$

関数	特異点
${\frac {1}{r}}$	原点における単位点電荷
${\frac {x}{r^{3}}}$	原点におけるx方向双極子
$-\ln \left(r^{2}-z^{2}\right)\,$	Z軸全体にわたる単位電荷密度の線
$-\ln(r+z)\,$	負のZ軸上の単位電荷密度の線
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	Z軸全体にわたるX方向双極子の線
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	負のZ軸上のX方向双極子の線

物理学で生じる調和関数は、その特異点と境界条件（ディリクレ境界条件やノイマン境界条件など）によって決定されます。境界のない領域では、任意の整関数の実部または虚部を加算すると、同じ特異点を持つ調和関数が生成されます。したがって、この場合、調和関数は特異点によって決定されません。ただし、rが無限大に近づくにつれて解が0に近づくことを条件とすることで、物理的な状況において解を一意にすることができます。この場合、一意性はリウヴィルの定理によって得られます。

上記の調和関数の特異点は、静電気学の用語では「電荷」と「電荷密度」として表現されるため、対応する調和関数はこれらの電荷分布による静電ポテンシャルに比例します。上記の各関数は、定数を乗じたり、回転させたり、定数を加えたりすることで、別の調和関数を生成します。各関数を反転させると、元の特異点を球面「鏡」に映した像となる特異点を持つ別の調和関数が得られます。また、任意の2つの調和関数を加算すると、別の調和関数が得られます。

$最後に、 n$ 変数の調和関数の例は次のとおりです。

⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ 上の定数関数、線形関数、アフィン関数（たとえば、コンデンサの極板間の電位、およびスラブの重力ポテンシャル）
$n$ $> 2$ の場合の関数。 $f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)^{1-n/2}$ $\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace$

プロパティ

$与えられた開集合U$ 上の調和関数の集合は、ラプラス作用素 $Δ$ の核として見ることができ、したがって、調和関数の線形結合上のベクトル空間であり、調和関数もまた調和的です。 $\mathbb {R} \!:$

$fが$ $U$ 上の調和関数であるならば、 $f$ のすべての偏微分も $U$ 上の調和関数となる。ラプラス演算子 $Δ$ と偏微分演算子は、この関数のクラスでは可換である。

いくつかの点で、調和関数は正則関数の実数類似物です。すべての調和関数は解析的であり、局所的には冪級数として表すことができます。これは楕円演算子に関する一般的な事実であり、ラプラシアンはその代表的な例です。

調和関数の収束列の一様極限は、依然として調和関数です。これは、平均値の性質を満たすすべての連続関数が調和関数であるためです。この列によって定義される⁠ ⁠ $(-\infty ,0)\times \mathbb {R}$ 上の列は調和関数であり、零関数に一様収束します。ただし、偏微分は零関数（零関数の微分）に一様収束しないことに注意してください。この例は、極限が調和関数であることを主張するために、平均値の性質と連続性に依拠することの重要性を示しています。 ${\textstyle f_{n}(x,y)={\frac {1}{n}}\exp(nx)\cos(ny);}$

複素関数理論との関連

任意の正則関数の実部と虚部は、⁠ ⁠上の調和関数となる（これらは $\mathbb {R} ^{2}$ 調和共役関数のペアと呼ばれる）。逆に、 ⁠ ⁠の開部分集合 $Ω$ 上の任意の調和関数 $u は、$ 局所的には正則関数の実部となる。これは、複素関数を $Ω$ で書くと、コーシー・リーマン方程式を満たすので、Ω上で正則となることを観察すればすぐにわかる。したがって、 $g は局所的に原始的な$ $f$ を持ち、 $u は$ 定数分まで $f$ の実部となる。これは、 $u$ $x$ が $\mathbb {R} ^{2}$ $z=x+iy,$ $g(z):=u_{x}-iu_{y}$ $f'=g.$

上記の正則関数との対応は実数2変数関数にのみ成立するが、 $n$ 変数の調和関数は依然として正則関数に典型的ないくつかの性質を有する。調和関数は（実）解析的であり、最大値原理と平均値原理を持ち、複素関数論における対応する定理と同様に、特異点除去定理とリウヴィルの定理が成立する。

調和関数の性質

調和関数のいくつかの重要な特性はラプラス方程式から推測できます。

調和関数の正則性定理

調和関数は開集合において無限微分可能である。実際、調和関数は実解析的である。

最大原則

調和関数は次の最大値原理を満たす： $K が$ $U$ の空でないコンパクト部分集合である場合、 $K$ に制限された $f は$ $K$ の境界上で最大値と最小値をとる。U が連結である場合 $、$ これはf が定数である例外的な場合を除いて、局所的最大値または最小値を持たないことを意味する $。$ $分$ 調和関数についても同様の性質が示される。

平均値特性

$B (x, r)$ が中心 $x$ 、半径 $r$ を持ち、開集合に完全に含まれる球体である場合、球体の中心における調和関数の値 $u$ $($ $x$ $)は、球体表面における$ $u$ の平均値で与えられます。この平均値は、球体内部における $u$ の平均値とも等しくなります。言い換えれば、 $ω$ $n$ $は単位球体のn$ 次元体積、 $σは$ $($ $n$ $- 1)$ 次元の表面測度です。 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},$ $u:\Omega \to \mathbb {R}$ $u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$

逆に、（体積）平均値特性を満たすすべての局所積分可能関数は、無限微分可能かつ調和関数です。

畳み込みに関して、もしが原点の周りの半径 $r$ の球の特性関数を表し、関数 $uが$ $Ω$ に調和となるのは、すべてのxとrに対して次の式が成り立つときのみであるように正規化されているとする。 $\chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1,}$ $u(x)=u*\chi _{r}(x)\;$ $B(x,r)\subset \Omega .$

証明の概略。調和関数の平均値性とその逆関数の証明は、任意の $0 < s < r$ $に対して、非同次方程式w$ $r,sが$ $B$ $(0,$ $r$ $)$ にコンパクト台を持つ $C$ $1,1$ クラスの簡単な明示的解を持つことを観察すれば直ちに得られる。したがって、 $uが$ $Ω$ において調和関数であるならば、 $Ω$ 内のすべての点 $x$ の集合 $Ω$ $r$ において、 $\Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}\;$ $0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}\;$ $\operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r.$

$uは$ $Ω$ で連続なので、 $s$ $\to 0$ のときに $u$ に収束し、 $Ω$ における $u$ の平均値特性を示します。逆に、 $u が$ $Ω$ における平均値特性を満たす任意の関数である場合、つまり、すべての $0 <$ $s$ $<$ $r$ $に対してΩ$ $r$ において成り立つ場合、 $χ$ $r$ との畳み込みを $m$ 回繰り返すと、次が得られます。したがって、 $uは、$ $χ$ $r$ $のm$ 回反復畳み込みがサポート $B$ $(0,$ $mr$ $)$ を持つクラスであるためです。 $r$ と $m は$ 任意なので、 $u$ も任意です。さらに、すべての $0 <$ $s$ $<$ $r$ に対して、変分法の基本定理により $Ω$ で $Δ$ $u$ $= 0$ となり、調和性と平均値特性の同値性が証明されます。 $u*\chi _{s}$ $L_{\mathrm {loc} }^{1}\;$ $u*\chi _{r}=u*\chi _{s}\;$ $u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},$ $C^{m-1}(\Omega _{mr})\;$ $C^{m-1}\;$ $C^{\infty }(\Omega )\;$ $\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0\;$

この平均値特性の記述は、次のように一般化できる。h $が$ $B$ $($ $x$ $,$ $r$ $)$ でサポートされる球対称関数で、次の式が成り立つとすれば、言い換えれば、 $u$ をある点について加重平均することで $u$ $($ $x$ $)$ を復元できる。特に、 $h を$ $C$ $\infty$ 関数とすることで、 $u が$ 分布としてどのように振る舞うかしか分かっていない場合でも、任意の点における $u$ の値を復元できる。Weylの補題を参照のこと。 ${\textstyle \int h=1,}$ $u(x)=h*u(x).$

ハルナックの不等式

$を有界領域Ω$ 内の連結集合とする。すると、任意の非負調和関数 $u$ に対して、 $V$ と $Ω$ のみに依存する定数 $Cに対して$ ハルナックの不等式が成立する。 $V\subset {\overline {V}}\subset \Omega$ $\sup _{V}u\leq C\inf _{V}u$

特異点の除去

調和関数に対しては、以下の特異点除去の原理が成り立つ。f $が$ ⁠ ⁠の点線開部分集合上で定義された調和関数であり、 $x$ $0$ において基本解（ $n$ $> 2$ の場合）よりも特異性が小さい場合、つまりf $は$ $Ω$ 上の調和関数に拡張される（複素変数関数のリーマンの定理を参照）。 $\Omega \smallsetminus \{x_{0}\}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},$

リウヴィルの定理

定理: $f が$ ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ のすべてで定義され、上または下に有界である調和関数である場合、 $f$ は定数です。

(複素変数の関数のリウヴィルの定理と比較してください)。

エドワード・ネルソンは、上記の平均値の性質を用いて、有界関数の場合のこの定理の特に簡潔な証明を与えた^{[2] 。}

2点が与えられたとき、その2点を中心とし、半径が等しい2つの球を選びます。半径が十分に大きい場合、2つの球は体積の任意の小さな部分を除いて重なります。fは有界であるため $、$ 2つの球の平均は任意の大きさに近くなり、したがって $f$ は任意の2点において同じ値をとります。

この証明は、調和関数 $f$ が単に上または下に有界である場合にも適用できます。定数を加算し、場合によっては -1 を乗じることで、 $f$ が非負であると仮定できます。すると、任意の2点 $x$ と $y$ 、および任意の正の数 $R$ に対して、次のように書けます。次に、球 $B$ $R$ $($ $x$ $)$ と $B$ $r$ $($ $y$ $)$ を考えます。三角不等式により、最初の球は2番目の球に含まれます。 $r=R+d(x,y).$

積分の平均化特性と単調性により、次式が得られます（ $vol$ $B$ $R$ $($ $x$ $)は$ $x$ に依存しないので、単に $vol$ $B$ $R$ と表記します）。最後の式では、 $vol$ $B$ $r$ を掛けて割って平均化特性を再び用いると、次式が得られます。しかし、量は 1に近づきます。したがって、xとyの役割を逆にした同じ議論から、 $次$ 式 $が$ 成り立ち、 $f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.$ $f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).$ $R\rightarrow \infty ,$ ${\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {\left(R+d(x,y)\right)^{n}}{R^{n}}}$ $f(x)\leq f(y).$ $f(y)\leq f(x)$ $f(x)=f(y).$

別の証明では、任意の $t$ $\geq 0$ に対して⁠ ⁠におけるブラウン運動 $B t$ が与えられるという事実を用いる。つまり、調和関数がブラウン運動のマルチンゲールを定義するということである。そして、確率的結合の議論によって証明は完了する。^[3] $\mathbb {R} ^{n},$ $B_{0}=x_{0},$ $E[f(B_{t})]=f(x_{0})$

一般化

弱調和関数

関数（あるいはより一般的には超関数）は、ラプラス方程式を弱い意味で（あるいは超関数の意味で）満たすとき、弱調和関数（weyl harmonic function）である。弱調和関数は、強調和関数とほぼすべての点で一致し、特に滑らかである。弱調和分布は、まさに強調和関数に関連付けられた超関数であるため、滑らかである。これはワイルの補題（weyl lemma）である。 $\Delta f=0\,$

ラプラス方程式には他にも有用な弱定式化が存在する。その一つがディリクレの原理であり、ソボレフ空間 $H 1 (Ω)$ における調和関数を、局所変化に関するディリクレエネルギー積分の最小化関数、すなわち、すべての関数に対して成立する、あるいは同値なすべての関数に対して成立するものとして表す。 $J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx$ $u\in H^{1}(\Omega )$ $J(u)\leq J(u+v)$ $v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$ $v\in H_{0}^{1}(\Omega ).$

多様体上の調和関数

調和関数は、任意のリーマン多様体上で、ラプラス・ベルトラミ作用素 $Δ$ を用いて定義できます。この文脈において、関数が調和関数と呼ばれるのは、ユークリッド空間の領域上の調和関数の性質の多く（測地球上の平均値定理、最大値原理、ハルナック不等式など）が、このより一般的な設定にも適用できるからです。平均値定理を除けば、これらは一般的な2階線形楕円偏微分方程式の対応する結果から容易に導かれます。 $\ \Delta f=0.$

サブハーモニック関数

$Δ$ $f$ $\geq 0$ を満たす C 2 関数は劣 $調和関数と呼ばれます。この条件は$ $、$ 調和関数の他の性質が成り立たない場合でも、最大値原理が成り立つことを保証します。より一般的には、関数が劣調和関数であるためには、その定義域内の任意の球の内部において、その関数のグラフが、その球上の境界値を補間する調和関数のグラフより下に位置する必要があります。

調和形式

調和関数の研究の一般化の一つは、リーマン多様体上の調和形式の研究であり、コホモロジーの研究と関連している。また、一般化ディリクレエネルギー汎関数の臨界点である調和ベクトル値関数、または2つのリーマン多様体の調和写像を定義することも可能である（これには特別なケースとして調和関数が含まれ、この結果はディリクレ原理として知られている）。この種の調和写像は極小曲面の理論に現れる。例えば、曲線、つまり⁠ ⁠内の区間からリーマン多様体への写像は、それが測地線である場合に限り調和写像となる。 $\mathbb {R}$

多様体間の調和写像

$M$ と $Nが$ 2つのリーマン多様体である場合、調和写像は $u$ の微分であるディリクレエネルギーの臨界点として定義され、ノルムは $M$ 上の計量とテンソル積バンドル上の $N上の計量によって誘導されるノルムである。$ $u:M\to N$ $D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\left\|du\right\|^{2}\,d\operatorname {Vol}$ $du:TM\to TN$ $T^{\ast }M\otimes u^{-1}TN.$

多様体間の調和写像の重要な特殊例として極小曲面が挙げられる。極小曲面とは、まさに三次元ユークリッド空間への曲面の調和写像である。より一般的には、極小部分多様体とは、ある多様体を別の多様体へ調和写像したものである。調和座標とは、ある多様体から同じ次元のユークリッド空間の開部分集合への調和微分同相写像である。

参照

注記

^ シェルドン・アクラー、ポール・ブルドン、ウェイド・レイミー (2001). 『調和関数理論』ニューヨーク: シュプリンガー. p. 25. ISBN 0-387-95218-7。
^ ネルソン、エドワード (1961). 「リウヴィルの定理の証明」.アメリカ数学会報. 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
^ 「Probabilistic Coupling」. Blame It On The Analyst . 2012年1月24日. 2021年5月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月26日閲覧。

参考文献

エヴァンス、ローレンス C. (1998)、「偏微分方程式」、アメリカ数学会。
ギルバーグ、デイビッド；トゥルーディンガー、ニール（2001年1月12日）『2次楕円偏微分方程式』、シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7。
Han, Q.; Lin, F. (2000) 「楕円型偏微分方程式」アメリカ数学会。
ヨスト、ユルゲン（2005年）、リーマン幾何学と幾何学解析（第4版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-25907-7。
シェルドン・アクラー、ポール・ブルドン、ウェイド・レイミー（2001年）、調和関数理論、第137巻（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4757-8137-3、ISBN 0-387-95218-7。

外部リンク

「調和関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
ワイスタイン、エリック・W.「調和関数」。MathWorld。
S.アクラー、ポール・ブルドン、ウェイド・レイミーによる調和関数理論

[1] シェルドン・アクラー、ポール・ブルドン、ウェイド・レイミー (2001). 『調和関数理論』ニューヨーク: シュプリンガー. p. 25. ISBN 0-387-95218-7。

[2] ネルソン、エドワード (1961). 「リウヴィルの定理の証明」.アメリカ数学会報. 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .

[3] 「Probabilistic Coupling」. Blame It On The Analyst . 2012年1月24日. 2021年5月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月26日閲覧。

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