単射関数

Function that preserves distinctness

数学において、単射関数（単射関数、あるいは一対一関数^[1]とも呼ばれる）は、その定義域の異なる要素をその余域の異なる要素に写像する関数 fである。つまり、x ₁ ≠ x _2ならばf ( x ₁ ) ≠ f ( x ₂ )である（同様に、対置により、f ( x ₁ ) = f ( x ₂ )ならばx ₁ = x ₂である）。言い換えれば、関数の余域のすべての要素は、その定義域の多くとも1 つの要素の像である。^[2]一対一関数という用語は、余域の各要素が定義域のちょうど 1 つの要素の像であるような関数である全単射関数を指す一対一対応と混同してはならない。

代数構造間の準同型性は、構造の演算と互換性のある関数である。一般的な代数構造、特にベクトル空間においては、単射準同型は単射とも呼ばれる。しかし、より一般的な圏論の文脈では、単射の定義は単射準同型の定義とは異なる。^[3]したがって、これらは代数構造においては同値であるという定理となる。詳細については、準同型性 § 単射性 を参照のこと。

単射でない関数は多対一関数と呼ばれることもあります。^[2] ${\displaystyle f}$

意味

単射関数だが、射影関数でもない

を、定義域が集合である関数とします。関数は、すべての に対して の場合、であれば、単射的であるといわれます。つまり、 が成り立ちます。同様に、の場合、逆否定文で が成り立ちます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(a)=f(b),}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle a=b.}$ ${\displaystyle a\neq b,}$ ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$

記号的に言えば、これは論理的には逆否定の と同値である。^[4]入射関数（または、より一般的には単射）は、特殊な矢印 ↣ または ↪ （たとえば、または ）を使用して表されることが多いが、著者によっては ↪ を包含写像専用に予約していることもある。^[5] $${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$ $${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$ ${\displaystyle f:A\rightarrowtail B}$ ${\displaystyle f:A\hookrightarrow B}$

例

視覚的な例については、ギャラリー セクションをご覧ください。

• 任意の集合および任意の部分集合に対して、包含写像（任意の要素を自身に写す写像）は単射である。特に、恒等写像は常に単射（そして実際には単射）である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X\to X}$
• 関数の定義域が空集合である場合、その関数は空関数となり、単射となります。
• 関数の定義域に要素が 1 つある場合 (つまり、単集合である場合)、その関数は常に単射です。
• によって定義される関数は単射です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=2x+1}$
• によって定義される関数は、(たとえば) であるため単射ではありません。ただし、が定義域が非負の実数 [0,+∞) になるように再定義されると、は単射になります。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$
• によって定義される指数関数は 単射です（ただし、実数値が負の数にマッピングされないため、単射ではありません）。 ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$
• によって定義される自然対数関数は単射です。 ${\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \ln x}$
• によって定義される関数は単射ではない。例えば、 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$ ${\displaystyle g(0)=g(1)=0.}$

より一般的には、とが両方とも実数直線であるとき、単射関数とは、そのグラフがどの水平線とも2回以上交わらない関数のことである。この原理は水平線テストと呼ばれる。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

注射は取り消せる

左逆関数は常に単射である。つまり、任意の,に対して となる関数が存在するならば、は単射である。証明は以下の通りである。 ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(a)=f(b)\rightarrow g(f(a))=g(f(b))\rightarrow a=b.}$$

この場合、は の引き込みと呼ばれます。逆に、は のセクションと呼ばれます。たとえば、は によって引き込まれます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},x\mapsto (1,m)^{\intercal }x}$ ${\displaystyle g:y\mapsto {\frac {(1,m)}{1+m^{2}}}y}$

逆に、空でない定義域を持つすべての射影には左逆が存在する。これは、定義域内の元を選択し、（空でない場合）前像の一意の元を に設定し、 （そうでない場合）前像の一意の元を に設定することで定義できる。^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}[y]}$ ${\displaystyle a}$

左逆は、必ずしも の逆であるとは限りません。これは、他の順序での合成がの恒等式と異なる場合があるためです。言い換えると、単射関数は左逆によって「逆転」できますが、必ずしも が逆であるわけではなく、関数が全単射であることが必要です。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f\circ g,}$ ${\displaystyle Y.}$

注射は可逆的に行うことができる

実際、単射関数を単射関数（したがって可逆関数）にするには、その余域をその実像で置き換えるだけで十分である。つまり、すべての に対して となるような関数をおくと、は単射となる。実際、 は次のように因数分解できる。 は包含関数であり、はからへである。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J=f(X).}$ ${\displaystyle g:X\to J}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y.}$

より一般的には、単射部分関数は部分一対一関数と呼ばれます。

その他の特性

2 つの単射関数の合成は単射です。

• と が両方とも単射である場合、は単射です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$
• が単射である場合、は単射です (ただし、必ずしもそうである必要はありません)。 ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f:X\to Y}$が単射的であるのは、任意の関数が与えられたとき、次のようになる場合のみです。言い換えれば、単射関数はまさに集合の集合というカテゴリにおける単射です。 ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h:W\to X}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ ${\displaystyle g=h.}$
• が単射でがの部分集合である場合、したがって、その像から回復できる。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$
• が単射で、かつが両方とも の部分集合である場合、 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).}$
• あらゆる関数は、適切な単射と全射について のように分解できる。この分解は同型 を除いて一意であり、の余域の部分集合としての値域の包含関数として考えることができる。 ${\displaystyle h:W\to Y}$ ${\displaystyle h=f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(W)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h.}$
• が単射関数である場合、 は少なくとも基数の意味での元数と同じ数を持ちます。特に、 に加えて、 から への単射が存在する場合、とは同じ基数を持ちます。（これはカントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理として知られています。） ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• と が両方とも同じ数の要素を持つ有限である場合、 が単射である場合に限り、 は単射です(この場合、は単射です)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• 2 つの代数構造間の準同型である入射関数は埋め込みです。
• 関数のグラフとその余域との関係である全射性とは異なり、単射性は関数のグラフのみの性質である。つまり、関数が単射であるかどうかは、関数の余域ではなくグラフのみを考慮することによって決定できる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

関数が単射であることを証明する

関数が単射であることの証明は、関数がどのように表現され、どのような性質を持つかに依存します。何らかの式で与えられる関数については、基本的な考え方があります。単射性の定義、すなわち[7]を用いると^、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y),}$ ${\displaystyle x=y.}$

次に例を示します。 $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

証明: と 仮定すると、が成り立ち、 が成り立ち、 したがって、定義から が単射であることが分かります。 ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle f(x)=f(y).}$ ${\displaystyle 2x+3=2y+3}$ ${\displaystyle 2x=2y,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle f}$

関数が単射であることを証明する方法は他にも複数あります。例えば、微積分学では、 がある区間で定義された微分可能関数である場合、その区間において導関数が常に正か常に負であることを示すだけで十分です。線型代数では、 が線型変換である場合、 の核が零ベクトルのみを含むことを示すだけで十分です。 が有限領域を持つ関数である場合、各領域要素の像のリストを調べ、リストに同じ像が重複して現れないことを確認するだけで十分です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

実変数の実数値関数に対するグラフィカルなアプローチとして、水平線テストがあります。すべての水平線が の曲線と最大で1点で交差する場合、 は単射、つまり1対1です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$

ギャラリー

• 
  単射非全射関数（単射であり、一対一ではない）
• 
  単射関数（単射）
• 
  非単射な全射関数（全単射ではなく、全射）
• 
  非単射かつ非全射な関数（単射でもない）

• 
  は単射関数ではありません。ここで、とは の部分集合であり、は の部分集合です。2つの領域では、複数の定義域要素が単一の値域要素に写像されるため、関数は単射ではありません。つまり、 の複数の要素が同じのに写像される可能性があります。 ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  関数を単射にする。前の関数は、1つまたは複数の単射関数（例えば）に簡約され、実線で示される（最初の曲線の長破線部分はもはや には写像されない）。規則は変更されていないことに注目してください。定義域と値域のみが変更されています。とは の部分集合であり、は の部分集合です。2つの領域において、初期関数を単射にすることができ、1つの定義域要素が1つの値域要素に写像されます。つまり、の1つだけがの1つに写像されます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle f:X_{2}\to Y_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  単射関数。直交平面における図式的解釈は、関数の定義域、関数の値域、およびの像を表す写像 によって定義される。における各1つは、におけるただ1つの唯一の写像となる。軸の丸で囲まれた部分は、上記の標準的な図式に従って、定義域と値域の集合を表す。 ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle Y=}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$

参照

• 全単射、単射、全単射 – 数学関数の性質
• 単射距離空間 – 距離空間の種類
• 単調関数 – 順序保存数学関数
• 一価関数 – 数学的概念

注記

1. インドの数学教育では、一対一関数が使われることがある。 「第1章：関係と関数」（PDF） 。 2023年12月26日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） – NCERT経由。
2. 「単射、全射、全単射」。Math is Fun . 2019年12月7日閲覧。
3. 「セクション7.3 (00V5): 前層の単射写像と射影写像」. Stacksプロジェクト. 2019年12月7日閲覧。
4. Farlow, SJ「Section 4.2 Injections, Surjections, and Bijections」（PDF） .数学と統計 - メイン大学. 2019年12月7日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2019年12月6日閲覧。
5. 「射影関数、単射関数、全単射関数の一般的な表記法は何ですか？」Mathematics Stack Exchange . 2024年11月24日閲覧。
6. すべての射影関数には右逆関数が存在するという対応する命題とは異なり、これは選択公理を必要としない。なぜなら、定義域が空でないことからの存在が示唆されるからである。しかし、この命題は、構成的数学のようなあまり一般的ではない数学では成り立たない。構成的数学では、実数に2元集合を含めることは左逆関数を持つことができない。なぜなら、実数直線を集合{0,1}に引き戻すことで、分解不可能性に違反するからである。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{0,1\}\to \mathbb {R} }$
7. ウィリアムズ、ピーター (1996年8月21日). 「関数の一対一証明」カリフォルニア州立大学サンバーナーディーノ校 数学科 参考文献ページ. 2017年6月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。

参考文献

• バートル、ロバート・G.（1976年）、実解析の要素（第2版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-05464-1、17ページ以降。
• ハルモス、ポール R. (1974)、単純集合理論、ニューヨーク: Springer、ISBN 978-0-387-90092-6、38ページ以降。

外部リンク

• 数学用語の最も古い使用法: 注入、全射、全単射の項目には、注入と関連用語の歴史が記載されています。
• カーンアカデミー – 射影関数と単射関数：射影関数と単射関数の紹介

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