線形重力

一般相対性理論において、線形化重力とは、時空の幾何学を記述する計量テンソルへの摂動論の適用である。結果として、線形化重力は、重力場が弱い場合の重力の影響をモデル化する効果的な方法である。線形化重力の利用は、重力波や弱場重力レンズ効果の研究に不可欠である。

弱場近似

時空の幾何学を記述するアインシュタイン場方程式（EFE）は次のように与えられる。

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }

ここで、はリッチテンソル、はリッチスカラー、はエネルギー運動量テンソル、はアインシュタインの重力定数、は方程式の解を表す時空計量テンソルです。 $R_{\mu \nu }$ $R$ $T_{\mu \nu }$ $\kappa =8\pi G/c^{4}$ $g_{\mu \nu }$

アインシュタイン記法を用いて簡潔に記述できるものの、リッチテンソルとリッチスカラーには計量テンソルに対する非常に非線形な依存性が潜んでおり、ほとんどの系において厳密な解を求めることは現実的ではありません。しかし、時空の曲率が小さい系（つまり、EFEの2次項が運動方程式に大きく寄与しない系）を記述する場合、場の方程式の解をミンコフスキー計量^{[注 1]}に小さな摂動項を加えたものとしてモデル化することができます。言い換えると、 $g_{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$

g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.

この領域では、この摂動近似を一般計量に置き換えると、リッチテンソルの簡略化された表現が得られます。 $g_{\mu \nu }$

R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),

ここで、は摂動の軌跡、は時空座標に関する偏微分、はダランベール演算子です。 $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ $\partial _{\mu }$ $x^{\mu }$ $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$

リッチスカラーと合わせて、

R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,

場の方程式の左辺は次のように簡約される。

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).

したがって、EFE はに関する線形 2次偏微分方程式に簡約されます。 $h_{\mu \nu }$

ゲージ不変性

一般時空をミンコフスキー計量と摂動項に分解する過程は一意ではない。これは、座標の選択によっての形式が変化する可能性があるためである。この現象を捉えるために、ゲージ対称性の適用が導入される。 $g_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$

ゲージ対称性は、基礎となる座標系が微小量だけ「シフト」されても変化しない系を記述するための数学的手法である。したがって、摂動計量は異なる座標系間で一貫して定義されていないものの、それが記述する系全体はである。 $h_{\mu \nu }$

これを形式的に捉えるために、摂動の非一意性は、十分に小さいままとなる時空上の微分同相写像の多様な集合の結果として表現される。したがって、を微分同相写像の一般集合で定義し、弱場近似に必要な小さなスケールを保存するこれらの部分集合を選択する必要がある。したがって、平坦なミンコフスキー時空を計量で表されるより一般的な時空に写す任意の微分同相写像を表すためにを定義することができる。これにより、摂動計量はの引き戻しとミンコフスキー計量の差として定義できる。 $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ $h_{\mu \nu }$ $\phi$ $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$

h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.

したがって、微分同相写像はとなるように選択することができる。 $\phi$ $|h_{\mu \nu }|\ll 1$

平坦な背景時空上に定義されたベクトル場が与えられた場合、によって生成されによってパラメータ化された微分同相写像の族が新たに定義される。これらの新しい微分同相写像は、上で述べた「無限小シフト」に対する座標変換を表すために使用される。と共に、摂動の族は次のように与えられる。 $\xi ^{\mu }$ $\psi _{\epsilon }$ $\xi ^{\mu }$ $\epsilon >0$ $\phi$

{\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}

したがって、極限では、 $\epsilon \rightarrow 0$

h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }

ここで、はベクトル場に沿ったリー微分です。 ${\mathcal {L}}_{\xi }$ $\xi _{\mu }$

リー微分は摂動計量の最終的なゲージ変換を与える。 $h_{\mu \nu }$

h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),

これらは、同一の物理系を記述する摂動計量の集合を正確に定義する。言い換えれば、線形化された場の方程式のゲージ対称性を特徴付ける。

ゲージの選択

ゲージ不変性を利用することで、適切なベクトル場を選択することで摂動計量の特定の特性を保証することができます。 $\xi ^{\mu }$

横方向ゲージ

摂動が長さの測定値をどのように歪めるかを調べるには、次の空間テンソルを定義すると便利です。 $h_{\mu \nu }$

s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}

（添え字は空間成分のみを張ることに注意してください：）。したがって、を使うと、摂動の空間成分は次のように分解できます。 $i,j\in \{1,2,3\}$ $s_{ij}$

h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}

どこ。 $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$

テンソルは構造上、トレースレスであり、摂動が空間の測定値を伸縮させる量を表すため、歪みと呼ばれます。重力放射の研究において、歪みは横方向ゲージと併用すると特に有用です。このゲージは、次の関係を満たすようにの空間成分を選択することにより定義されます。 $s_{ij}$ $\xi ^{\mu }$

\nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},

次に、満足する時間コンポーネントを選択する $\xi ^{0}$

\nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.

前のセクションの式を使用してゲージ変換を実行すると、歪みは空間的に横方向になります。

\partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,

追加のプロパティ:

\partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.

同期ゲージ

同期ゲージは、摂動計量が時間の測定を歪めないことを要求することで、摂動計量を単純化する。より正確には、同期ゲージは、の非空間成分がゼロとなるように選択される。すなわち、 $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$

h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.

これは、時間コンポーネントが満たすように要求することで達成できます。 $\xi ^{\mu }$

\partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}

空間コンポーネントが満たす必要がある

\partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.

ハーモニックゲージ

調和ゲージ（ローレンツゲージとも呼ばれる^[注2]）は、線形化された場の方程式を可能な限り簡約する必要がある場合に選択される。これは、以下の条件が満たされる場合に可能である。

\partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h

は真である。これを達成するには、次の関係を満たす必要がある。 $\xi _{\mu }$

\square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.

その結果、調和ゲージを用いることで、アインシュタインテンソルは次のように減少する。 $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$

G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).

したがって、これを「トレース反転」計量で表すと、線形化された場の方程式は次のように簡約される。 ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$

\square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-2\kappa T_{\mu \nu }.

これを正確に解くと、重力放射を定義する波動解が生成されます。

参照

注記

^ これは背景時空が平坦であると仮定している。既に曲がっている時空に適用される摂動論は、この項を曲がった背景を表す計量に置き換えても同様に機能する。
^ ローレンツと混同しないでください。

さらに読む

ショーン・M・キャロル（2003年）『時空と幾何学：一般相対性理論入門』ピアソン社、ISBN 978-0805387322。

外部リンク

線形重力に関する引用（Wikiquote）

[1] これは背景時空が平坦であると仮定している。既に曲がっている時空に適用される摂動論は、この項を曲がった背景を表す計量に置き換えても同様に機能する。

[2] ローレンツと混同しないでください。