Attribute of a mathematical function
数学 、より具体的には 複素解析 において 、 留数とは、 有理型関数 の特異点の1 つを囲む経路に沿ったその 関数 の 路面積分 に比例する 複素数 です 。(より一般的には、 離散点 { a k } k を除いて正則な 関数であれば、そのいくつかが 本質的特異点 であっても、留数を計算することができます。) 留数は非常に簡単に計算でき、一度わかってしまえば、 留数定理 によって一般的な路面積分を決定できます 。 f : C ∖ { a k } k → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }
意味 有理型関数の 孤立特異点 における 留数は、 、 、 または と 表記され、 穴あき円板 においてが 解析的 原始微分を 持つ ような 唯一の値です 。 f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} Res ( f , a ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)} Res a ( f ) {\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)} Res z = a f ( z ) {\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=a}f(z)} res z = a f ( z ) {\displaystyle \mathop {\operatorname {res} } _{z=a}f(z)} R {\displaystyle R} f ( z ) − R / ( z − a ) {\displaystyle f(z)-R/(z-a)} 0 < | z − a | < δ {\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }
あるいは、ローラン級数 展開を求めることによって留数を計算することもでき、留数を ローラン級数の 係数 a −1として定義することもできます。
この概念は、留数定理 で扱われる特定の路面積分問題における路面積分値を与えるために用いることができる 。 留数定理 によれば、 有理型関数 に対して、点 における留数は 以下のように与えられる。 f {\displaystyle f} a k {\displaystyle a_{k}}
Res ( f , a k ) = 1 2 π i ∮ γ f ( z ) d z . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,.} ここで、 は の周りの 正方向の 単純閉曲線 であり 、曲線上または曲線内の他の特異点は含まれません。 γ {\displaystyle \gamma } a k {\displaystyle a_{k}}
留数の定義は任意のリーマン面 に一般化できる 。 が リーマン面上の 1-形式 であるとする。 が点 において有理型であるとし、 局所座標では と 書けるとする。すると、 における の留数は、 に対応する点における の留数として定義される 。 ω {\displaystyle \omega } ω {\displaystyle \omega } x {\displaystyle x} ω {\displaystyle \omega } f ( z ) d z {\displaystyle f(z)\;dz} ω {\displaystyle \omega } x {\displaystyle x} f ( z ) {\displaystyle f(z)} x {\displaystyle x}
輪郭積分
単項式の輪郭積分 単項式 の剰余を計算する
∮ C z k d z {\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz} 留数計算のほとんどを簡単に行うことができます。経路積分は ホモトピー 不変なので、反時計 回りに半径が 動く円を とします。すると、座標変換を用いて 次の式が得られます
。 C {\displaystyle C} 1 {\displaystyle 1} z → e i θ {\displaystyle z\to e^{i\theta }}
d z → d ( e i θ ) = i e i θ d θ {\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta } したがって、積分は次のようになる。
∮ C z k d z = ∫ 0 2 π i e i ( k + 1 ) θ d θ = { 2 π i if k = − 1 , 0 otherwise . {\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}} したがって、 の剰余は 整数の場合は 1 になり 、それ以外の場合は 0 になります。 z k {\displaystyle z^{k}} k = − 1 {\displaystyle k=-1}
ローラン級数への一般化 関数がcの周りの ローラン級数 展開として次のように表されるとする： 点cにおける留数は、 点cの周りの 反時計回りの単項式の周回積分の結果を用いて次のように計算される。したがって、関数の ローラン級数 表現がcの周りに存在する場合、cの周りの留数は項の係数によってわかる 。 f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − c ) n . {\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.} Res ( f , c ) = 1 2 π i ∮ γ f ( z ) d z = 1 2 π i ∑ n = − ∞ ∞ ∮ γ a n ( z − c ) n d z = a − 1 {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz={1 \over 2\pi i}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-c)^{n}\,dz=a_{-1}} γ {\displaystyle \gamma } ( z − c ) − 1 {\displaystyle (z-c)^{-1}}
留数定理への応用 有理型関数 において、 特異点を通らない 正の向き の単純閉曲線 内に有限個の特異点がある場合、路積分の値は 留数定理 に従って次のように与えられます。 ここで 、 が の内部にある 場合、 巻数 は 、であり 、 そうでない場合は、次のように簡略化されます。 ここで 、 は路内のすべての孤立した特異点です 。 f {\displaystyle f} C {\displaystyle C} ∮ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n I ( C , a k ) Res ( f , a k ) . {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (C,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).} I ( C , a k ) {\displaystyle \operatorname {I} (C,a_{k})} 1 {\displaystyle 1} a k {\displaystyle a_{k}} C {\displaystyle C} 0 {\displaystyle 0} ∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ Res ( f , a k ) {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})} a k {\displaystyle a_{k}} C {\displaystyle C}
残留物の計算 複素平面上の 穴あき円板 D = { z : 0 < | z − c | < R } が与えられ、 f が （少なくとも） D上で定義された 正則関数 である とする 。 c における fの留数 Res( f , c )は、 c の周りの fの ローラン 級数展開 における ( z − c ) −1 の 係数 a −1 である。この値を計算する方法は様々であり、どの方法を用いるかは、対象となる関数と特異点の性質に依存する。
留数定理 によれば 、次の式が成り立ちます。
Res ( f , c ) = 1 2 π i ∮ γ f ( z ) d z {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz} ここで、 γ は c の 周りを反時計回りに円を描き 、他の特異点を通過したり、他の特異点を内部に含んだりしません。経路 γとして、 c の 周り の半径 εの円を選ぶことができます。ε は 任意の小さな値に設定できるため 、孤立した特異点の性質により、c の特異点のみを含むように設定できます。これは、積分を直接計算できる場合に使用できますが、通常は積分の計算を簡略化するために留数が使用され、その逆は使用されません。
除去可能な特異点 関数 f が円板全体にわたって 正則関数 に 延長 できる場合 、Res( f , c ) = 0 となります。逆は一般には成り立ちません。 | y − c | < R {\displaystyle |y-c|<R}
シンプルなポール cが f の 単純な極 である 場合、 f の留数は 次のように与えられます。
Res ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).} その極限が存在しない場合、 f は c において本質的特異点を持つ 。極限が 0 の場合、 fは c において解析的である か、そこに除去可能な特異点を持つ。極限が無限大の場合、極の位数は 1 より大きい。
関数 f は2 つの関数の商として表現できる場合があります。 ここで、 g と h は c の 近傍 における 正則関数 で、 h(c) = 0 かつ h'(c) ≠ 0 です。このような場合、 ロピタルの定理を 使用して上記の式を次のように簡略化できます。 f ( z ) = g ( z ) h ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}
Res ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) = lim z → c z g ( z ) − c g ( z ) h ( z ) = lim z → c g ( z ) + z g ′ ( z ) − c g ′ ( z ) h ′ ( z ) = g ( c ) h ′ ( c ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}
より一般的には、 c が p 位の 極で ある場合、 z = c の周りの f の留数は、 次の式で求められます。
Res ( f , c ) = 1 ( p − 1 ) ! lim z → c d p − 1 d z p − 1 ( ( z − c ) p f ( z ) ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(p-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{p-1}}{dz^{p-1}}}\left((z-c)^{p}f(z)\right).} この式は、低次の極の留数を求めるのに非常に役立ちます。高次の極の場合、計算が手に負えなくなることがあり、通常は 級数展開の 方が容易です。 本質的特異点 の場合、このような単純な式は存在せず、通常は級数展開から直接留数を求めなければなりません。
無限大残差 一般に、 無限大における剰余は 次のように定義されます。
Res ( f ( z ) , ∞ ) = − Res ( 1 z 2 f ( 1 z ) , 0 ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).} 次の条件が満たされる場合:
lim | z | → ∞ f ( z ) = 0 , {\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,} 無限大における剰余は 次 の式を使って計算できます。
Res ( f , ∞ ) = − lim | z | → ∞ z ⋅ f ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).} 代わりに
lim | z | → ∞ f ( z ) = c ≠ 0 , {\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,} すると 無限遠における剰余 は
Res ( f , ∞ ) = lim | z | → ∞ z 2 ⋅ f ′ ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).} 有限個の特異点を持つ複素平面全体にわたる有理型関数の場合、（必然的に）孤立した特異点における留数と無限遠における留数の合計は 0 となり、次の式が得られます。
Res ( f ( z ) , ∞ ) = − ∑ k Res ( f ( z ) , a k ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}
シリーズ法 関数の一部または全部がテイラー級数 または ローラン級数 に展開できる場合 （関数の一部または全体が標準的な級数展開を持つ場合など）、留数の計算は他の方法よりもはるかに簡単になります。関数の留数は、 関数
の ローラン級数 展開におけるの係数によって単純に与えられます。 ( z − c ) − 1 {\displaystyle (z-c)^{-1}}
例
級数展開からの剰余
例1 例として、 輪郭積分を考えてみましょう。
∮ C e z z 5 d z {\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz} ここで、 Cは 0 を中心とする 単純な閉曲線 です 。
この積分を級数による積分の標準的な収束結果を用いて評価してみましょう。テイラー級数を 被積分関数に代入する と、 積分は次のようになります。 e z {\displaystyle e^{z}}
∮ C 1 z 5 ( 1 + z + z 2 2 ! + z 3 3 ! + z 4 4 ! + z 5 5 ! + z 6 6 ! + ⋯ ) d z . {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.} 1/ z 5 因子を級数に導入してみましょう。級数の等高線積分は次のように表されます。
∮ C ( 1 z 5 + z z 5 + z 2 2 ! z 5 + z 3 3 ! z 5 + z 4 4 ! z 5 + z 5 5 ! z 5 + z 6 6 ! z 5 + ⋯ ) d z = ∮ C ( 1 z 5 + 1 z 4 + 1 2 ! z 3 + 1 3 ! z 2 + 1 4 ! z + 1 5 ! + z 6 ! + ⋯ ) d z . {\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}} 級数は積分経路の台で一様収束するので、積分と和を交換できます。すると、経路積分の級数は、前の計算により、はるかに単純な形に収束します。したがって、 cz −1 の形をとらない他のすべての項の C の周りの積分はゼロとなり、積分は次のように簡約されます
。
∮ C 1 4 ! z d z = 1 4 ! ∮ C 1 z d z = 1 4 ! ( 2 π i ) = π i 12 . {\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.} 1/4!という値は、 e z / z 5 の z = 0における 剰余 であり、次のように表される。
Res 0 e z z 5 , or Res z = 0 e z z 5 , or Res ( f , 0 ) for f = e z z 5 . {\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}
例2 2 番目の例として、特定の輪郭積分の計算に使用できる 関数の特異点における留数を計算することを考えてみましょう。この関数は z = 0 で特異点を持つように見えますが、分母を因数分解して関数を と書くと、 z = 0 での特異点は 除去可能な特異点であり、したがって z = 0での留数 は 0 になります。他の唯一の特異点は z = 1 です。関数 g ( z ) の z = a に関するテイラー級数の式を思い出してください。 したがって、 g ( z ) = sin z および a = 1 の場合、次の式が得られます。 g ( z ) = 1/ z および a = 1 の場合、次の式が得られます 。これら 2 つの級数を掛けて 1/( z − 1) を導入すると、次の式が得られます。したがって、 z = 1 での f ( z ) の留数は sin 1 です。 f ( z ) = sin z z 2 − z {\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}} f ( z ) = sin z z ( z − 1 ) {\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}} g ( z ) = g ( a ) + g ′ ( a ) ( z − a ) + g ″ ( a ) ( z − a ) 2 2 ! + g ‴ ( a ) ( z − a ) 3 3 ! + ⋯ {\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots } sin z = sin 1 + ( cos 1 ) ( z − 1 ) + − ( sin 1 ) ( z − 1 ) 2 2 ! + − ( cos 1 ) ( z − 1 ) 3 3 ! + ⋯ . {\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .} 1 z = 1 ( z − 1 ) + 1 = 1 − ( z − 1 ) + ( z − 1 ) 2 − ( z − 1 ) 3 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .} sin z z ( z − 1 ) = sin 1 z − 1 + ( cos 1 − sin 1 ) + ( z − 1 ) ( − sin 1 2 ! − cos 1 + sin 1 ) + ⋯ . {\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}
例3 次の例は、級数展開による留数計算において、 ラグランジュの逆定理 が重要な役割を果たすことを示しています。を 整関数 と し、 正の 収束半径 を持ち、 とします 。したがって、は 0 で 局所逆を持ち 、 は 0で 有理型 です。 すると、次が成り立ちます。 実際、 最初の級数は 0 の周りの任意の小円上で一様に収束するためです。 ラグランジュの逆定理と を用いる と、上記の式が得られます。 たとえば、 かつ の場合 、 となり 、 最初の項は留数に 1 を寄与し、 2 番目の項は に漸近するため 2 を寄与します 。 u ( z ) := ∑ k ≥ 1 u k z k {\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}} v ( z ) := ∑ k ≥ 1 v k z k {\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}} v 1 ≠ 0 {\textstyle v_{1}\neq 0} v ( z ) {\textstyle v(z)} V ( z ) {\textstyle V(z)} u ( 1 / V ( z ) ) {\textstyle u(1/V(z))} Res 0 ( u ( 1 / V ( z ) ) ) = ∑ k = 0 ∞ k u k v k . {\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.} Res 0 ( u ( 1 / V ( z ) ) ) = Res 0 ( ∑ k ≥ 1 u k V ( z ) − k ) = ∑ k ≥ 1 u k Res 0 ( V ( z ) − k ) {\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}} Res 0 ( V ( z ) − k ) = k v k , {\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},} u ( z ) = z + z 2 {\displaystyle u(z)=z+z^{2}} v ( z ) = z + z 2 {\displaystyle v(z)=z+z^{2}} V ( z ) = 2 z 1 + 1 + 4 z {\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}} u ( 1 / V ( z ) ) = 1 + 1 + 4 z 2 z + 1 + 2 z + 1 + 4 z 2 z 2 . {\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.} 1 / z 2 + 2 / z {\displaystyle 1/z^{2}+2/z}
および に対する対応するより強い対称仮定を用いると 、 も成り立つことに注意してください。 ただし、 は 0 における の局所逆です。 u ( z ) {\textstyle u(z)} v ( z ) {\textstyle v(z)} Res 0 ( u ( 1 / V ) ) = Res 0 ( v ( 1 / U ) ) , {\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),} U ( z ) {\textstyle U(z)} u ( z ) {\textstyle u(z)}
参照
参考文献
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(zc)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cb4655fbceb73b05badb56c402e796553ac2d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b09463f46e4136ed8344f2e394e8a558f240a55)
