ローラン級数

Power series with negative powers

ローラン級数は、特定の点と積分経路γに関して定義されます。積分経路は、図中で赤色で示されている環状領域内に存在し、その内部は正則（解析的）である必要があります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(z)}$

数学において、複素関数のローラン級数とは、その関数を負の次数を含むべき級数として表現したものである。テイラー級数展開が適用できない場合に、複素関数を表現するために用いられる。ローラン級数はピエール・アルフォンス・ローランにちなんで命名され、 1843年に初めて発表された。カール・ワイエルシュトラスは1841年に論文でこれを記述していたが、1894年まで出版されなかった。^[1] ${\displaystyle f(z)}$

意味

任意の点の周りの複素関数のローラン級数は^{[2] [3]}で与えられ、係数はコーシーの積分公式を一般化する輪郭積分によって定義される。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n},}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}}\,dz.}$$

積分の経路は、が正則（解析的）な環状部を囲み、その環状部内に存在するジョルダン曲線の周りを反時計回りにたどられる。この場合、 の展開は環状部内のどこでも有効になる。右の図では、環状部が赤で示されており、 という適切な積分経路の例も示されている。が円 （ただし）として定義されている場合、これはをに制限した複素フーリエ係数を計算することに等しい。^[4]これらの積分が輪郭の変形によって変化しないという事実は、グリーンの定理から直接導かれる結果である。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle |z-c|=\varrho }$ ${\displaystyle r<\varrho <R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

複素関数のローラン級数はにおいても得られる。しかし、これは の場合と同じである。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

上記の積分公式は、与えられた関数 の係数を計算するための最も実用的な方法ではないかもしれません。代わりに、既知のテイラー展開を組み合わせることでローラン展開を組み立てることがよくあります。関数のローラン展開は存在する限り一意であるため、この形式の式で、ある環において与えられた関数と等しいものは、 実際には のローラン展開でなければなりません。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

収束

e ^{−1/ x 2}とそのローラン近似（ラベル付き）。負の次数が増加する。ゼロ特異点近傍は決して近似できない。

e ^{−1/ x 2}とそのローラン近似。ローラン級数の負の次数が増加するにつれて、正しい関数に近づく。

複素係数を持つローラン級数は複素解析において、特に特異点付近の関数の挙動を調べる上で重要なツールです。

例えば、 の関数を考えてみましょう。実関数としては、どこでも無限微分可能ですが、複素関数としては では微分できません。 のローラン級数は、のべき級数表現によって得られ、 これは特異点 を除くすべての に対してに収束します。右のグラフは、黒で とそのローラン近似を 示しています。のとき、 の近似は特異点 を除くすべての（複素）数に対して正確になります。 ${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle e^{-1/x^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!},}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!},\quad \forall N\in \mathbb {N} ^{+}.}$$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

より一般的には、円板上で定義された正則関数を表現するためにべき級数を使用するのと同じように、ローラン級数は環状部上で定義された正則関数を表現するために使用できます。

複素係数と複素中心を持つローラン級数が与えられているとする 。すると、次の式を満たす唯一の内半径と外半径が存在する。 $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

• ローラン級数は開環状部 上で収束する。つまり、正次および負次冪級数はともに収束する。さらに、この収束はコンパクト集合上で一様となる。最後に、収束級数は上で正則関数を定義する。 ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle A}$
• 環状空間の外側では、ローラン級数は発散する。つまり、の外側の各点において、正次または負次冪級数は発散する。 ${\displaystyle A}$
• 環状空間の境界については、内側境界と外側境界に少なくとも1点ずつが存在し、それらの点には正則拡張できないということを除いて一般的なことは言えない。このためリーマン・ヒルベルト問題が発生する。^[5] ${\displaystyle f(z)}$

はゼロまたは無限大になる可能性があります。また、反対に、 が未満になるとは限りません。これらの半径は、係数の上限を次のように取ることで計算できます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}},\\{\frac {1}{R}}&=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}$$

のとき、ローラン展開の係数は特異点 におけるの留数と呼ばれる。^[6]例えば、は を除くすべての点で正則である。 についてのローラン展開はべき級数表現から得られる。したがって、留数は で与えられる。 ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle a_{-1}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle f(z)={e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}},}$$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle c=0}$ $${\displaystyle f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle a_{-1}=2}$

逆に、環状部 上で定義された正則関数の場合、 を中心とし、 （少なくとも 上で） に収束する唯一のローラン級数が常に存在します。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$

たとえば、次の有理関数とその部分分数展開を考えてみましょう。 $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)(z-2i)}}={\frac {1+2i}{5}}\left({\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{z-2i}}\right).}$$

この関数は および において特異点を持ちますが、分母がゼロであるため式は未定義です。についてのテイラー級数（これは冪級数になります）は において特異点に「当たる」ため、半径1の円板上でのみ収束します。 ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=2i}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=1}$

しかし、半径に応じて、0 の周りで 3 つのローラン展開が可能です。 ${\displaystyle z}$

• 1 つの級数は、内側の円板上で| z | < 1で定義されます。これはテイラー級数と同じです。これは、関数の部分分数形式と、 に対する等比級数 の和の公式から得られます。 $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}=-{\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}}$$ ${\displaystyle |z|<|a|}$
• 2 番目の級数は、 が 2 つの特異点の間にある中間の環状部で定義されます。ここでは、について、等比級数の別の形式を使用します。 ${\displaystyle 1<z<2}$ $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right).}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}}$$ ${\displaystyle |z|>|a|}$
• 3番目の級数は、 の無限外環上で定義されます（これは でのローラン展開でもあります）。この級数は、前と同じように等比級数を使用して導くことも、1を で割った多項式長除算を剰余で止めずに項まで続けることで導くこともできます。実際、有理関数の「外側」ローラン級数は、分数の小数形式に似ています。（「内側」テイラー級数展開も同様に、除算アルゴリズムの項の順序を逆にするだけで得られます。） ${\displaystyle 2<z<\infty }$ ${\displaystyle z=\infty }$ $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}.}$$ ${\displaystyle (x-1)(x-2i)}$ ${\displaystyle x^{-n}}$

ユニークさ

環状空間上の正則 関数に2つのローラン級数があるとします。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle r<|z-c|<R}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n}.}$$

両辺に を掛ける（kは任意の整数）とし、環状空間内の経路γ上で積分する。 ${\displaystyle (z-c)^{-k-1}}$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz=\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz.}$$

この級数は に一様収束する。ここでε はγ が狭まった閉環域に含まれるのに十分小さい正数であるので、積分と総和は入れ替えることができる。この総和に恒等式を代入すると、次の式が得られる 。 ${\displaystyle r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon }$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }\,(z-c)^{n-k-1}\,dz=2\pi i\delta _{nk}}$$ $${\displaystyle a_{k}=b_{k}.}$$

したがって、Laurent シリーズはユニークです。

ローラン多項式

ローラン多項式は、有限個の係数のみが非ゼロであるローラン級数です。ローラン多項式は、負の次数の項を持つ可能性がある点で 通常の多項式と異なります。

主要部分

ローラン級数の主成分は負の次数を持つ項の級数であり、 $${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}.}$$

の主部分が有限和である場合、 は に最高項の次数（負）に等しい位数の極を持ちます。一方、が に本質的特異点を持つ場合、主部分は無限和です（つまり、無限個の非ゼロ項を持ちます）。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

に対するローラン級数の収束の内半径が0 の場合、主部分が無限和である場合にのみ に本質的な特異点があり、そうでない場合は極があります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

収束の内側半径が正の場合、は無限個の負の項を持つ可能性がありますが、上記の例のように では依然として正則です。その場合、 はについてのディスク上の 異なるローラン級数によって表されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

有限個の負の項のみを持つローラン級数は、 で割ったべき級数であり、同様に解析できるため、動作は良好ですが、無限個の負の項を持つローラン級数は、収束の内円上で複雑な動作を示します。 ${\displaystyle z^{k}}$

掛け算と合計

ローラン級数は一般には乗算できません。代数的には、積の項の表現には必ずしも収束しない無限和が含まれる場合があります（整数列の畳み込みはできません）。幾何学的には、2つのローラン級数は収束する環が重なり合わない場合があります。

有限個の負の項のみを持つ 2 つのローラン級数を掛け合わせることができます。代数的には、和はすべて有限です。幾何学的には、これらは、および収束の内側半径 0 に極を持つため、両方とも重なり合う環状領域に収束します。 ${\displaystyle c}$

したがって、正式なローラン級数を定義する場合、有限個の負の項のみを持つローラン級数が必要になります。

同様に、2 つの収束するローラン級数の和は、常に正式に定義されていますが、必ずしも収束するわけではありません。ただし、2 つの下側有界ローラン級数 (または穴あき円板上の任意のローラン級数) の和には、空でない収束環があります。

また、体 に対して、上で定義した和と乗算により、形式ローラン級数は、形式冪級数の環の分数の体でもある体を形成します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F((x))}$ ${\displaystyle F[[x]]}$

参照

• ピュイズーシリーズ
• ミッタク・レフラーの定理
• 形式ローラン級数 –任意の可換環からの係数を持ち、収束を考慮せず、有限個の負の項のみを持つ、正式に考慮されたローラン級数であり、そのため乗算は常に定義されます。
• Z 変換 – ローラン級数をゼロ付近で取る特殊なケースは、時系列分析でよく使用されます。
• フーリエ級数 – この置換はローラン級数をフーリエ級数に変換するか、あるいはその逆を行います。これはj不変量のq級数展開に用いられます。 ${\displaystyle z=e^{\pi iw}}$
• パデ近似–テイラー級数が使用できない 場合に使用される別の手法。

注記

1. Roy, ​​Ranjan (2012)、「§1.5 付録: Ranjan Roy による歴史的メモ」、Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers、Rodríguez, Rubí E.著;アーウィン、クラ;ギルマン、ジェーン P. (第 2 版)、スプリンガー、p. 12、土井：10.1007/978-1-4419-7323-8_1、ISBN 978-1-4419-7322-1
   Weierstrass、Karl (1841)、「Darstellung einer Analytischen Function einer complexen Veränderlichen, deren abstracter Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen liegt」[絶対値が 2 つの指定された限界の間にある複素変数の解析関数の表現]、Mathematische Werke (ドイツ語)、vol. 1、ベルリン: Mayer & Müller (1894 年出版)、 51 ～ 66ページ 
2. アブロウィッツ＆フォカス 2003、128ページ
3. Folland, Gerald B. (1992), Fourier analysis and its applications , Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, p. 395, ISBN 978-0-534-17094-3
4. アブロウィッツ & フォカス 2003、196–197 ページ
5. アブロウィッツ＆フォカス 2003、152ページ
6. アブロウィッツ＆フォカス 2003、130ページ

参考文献

• アブロウィッツ、マーク・J.；フォカス、アタナシオス・S.（2003）『複素変数』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-53429-1

外部リンク

• 「ローラン級数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「ローラン級数」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• ワイスタイン、エリック・W.「ローランシリーズ」。マスワールド。
• ロバート・ムナフォによるローラン級数とマンデルブロ集合

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Laurent_series&oldid=1321395887"