Lpスペース

Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces

数学において、L ^p空間は有限次元ベクトル空間のpノルムの自然な一般化を用いて定義される関数空間です。アンリ・ルベーグ(Dunford & Schwartz 1958, III.3)にちなんでルベーグ空間と呼ばれることもありますが、ブルバキ群 (Bourbaki 1987)によれば、最初に導入されたのはフリジェス・リース(Riesz 1910) です。

L ^p空間は、関数解析におけるバナッハ空間、および位相ベクトル空間の重要なクラスを形成します。測度空間と確率空間の数学的解析における重要な役割のため、ルベーグ空間は物理学、統計学、経済学、金融、工学、その他の分野における問題の理論的議論にも用いられます。

準備

そのp有限次元における -ノルム

異なる -ノルムに基づく単位円（超楕円も参照）の図解（原点から単位円へのすべてのベクトルの長さは1で、その長さは対応する の長さの公式で計算されます）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

次元実ベクトル空間におけるベクトルのユークリッド長は、ユークリッドノルムによって与えられます。 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}$$

2点間のユークリッド距離は、 2点間の直線の長さです。多くの場合、ユークリッド距離は与えられた空間における実際の距離を捉えるのに適しています。対照的に、格子状の街路図におけるタクシー運転手は、目的地までの直線の長さではなく、道路が互いに直交または平行であることを考慮に入れた直線距離で距離を測定する必要があります。 -ノルムのクラスは、これら2つの例を一般化し、数学、物理学、コンピュータサイエンスの多くの分野で豊富な応用があります ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \|x-y\|_{2}}$ ${\displaystyle p}$

実数 の場合、 の -ノルムまたは- ノルムはによって定義されます。が約分された形式で分子が偶数である有理数であり、実数の集合またはそのサブセットの 1 つから抽出される場合、絶対値バーは省略できます。 ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

上記のユークリッドノルムはこのクラスに属し、- ノルムです。 - ノルムは直線距離に対応するノルムです。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

- ノルムまたは最大ノルム（または一様ノルム）は、に対する - ノルムの極限であり、次のように定義されます 。 ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\to \infty }$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$$

すべての-ノルムと最大ノルムは、「長さ関数」（またはノルム）の性質を満たします。つまり、 ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$

• 零ベクトルのみが零長さを持ち、
• ベクトルの長さはスカラーによる乗算に関して正同次であり（正同次性）、
• 2つのベクトルの和の長さはベクトルの長さの和よりも大きくありません（三角不等式）。

抽象的に言えば、これは- ノルムと共に がノルムベクトル空間であることを意味します。さらに、この空間は完備であり、したがってバナッハ空間になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$

間の関係p-ノルム

2点間のグリッド距離または直線距離（「マンハッタン距離」と呼ばれることもあります）は、それらの間の線分の長さ（ユークリッド距離または「直線距離」）よりも短くなることはありません。正式には、任意のベクトルのユークリッドノルムは1-ノルムによって制限されることを意味します。 $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}$$

この事実は、任意のベクトルの1-ノルムがとともに増加しないという点で、1-ノルムに一般化されます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}$任意のベクトルと実数およびに対して（実際には、およびに対しても当てはまります。） ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

反対方向の場合、 1-ノルムと1-ノルムの間には次の関係が知られています。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ $${\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}$$

この不等式は、基礎となるベクトル空間の次元に依存し、コーシー・シュワルツの不等式から直接従います。 ${\displaystyle n}$

一般に、1-ノルムにおけるベクトルに対して ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 0<r<p:}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}$$

これはヘルダーの不等式の結果です。

のとき0 < p < 1

小惑星、計量における単位円 ${\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}$

において、この式は の絶対同次関数を定義しますが、結果として得られる関数は劣加法ではないため、ノルムを定義しません。一方、この式は絶対同次性を失う代償として劣加法関数を定義します。ただし、次数 の同次であるFノルムを定義します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>1,}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle 0<p<1;}$ $${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$$ ${\displaystyle p.}$

したがって、関数は計量を定義する。計量空間はで表される。 $${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}.}$

この計量における原点の周りの単位球は「凹」であるが、計量によって定義される位相は、通常のベクトル空間の位相であり、したがって局所的に凸な位相ベクトル空間である。この定性的な記述を超えて、の凸性の欠如を測定する定量的な方法は、単位球のスカラー倍が、その凸包がに等しい最小の定数で表すことである。固定されたに対してとなるという事実は、以下で定義される無限次元列空間がもはや局所的に凸ではないことを示す。^[要出典] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle C_{p}(n)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\,B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p},}$ ${\displaystyle B_{n}^{1}.}$ ${\displaystyle p<1}$ $${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }$$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

のときp = 0

ノルムが1つあり、「ノルム」（引用符付き） と呼ばれる別の関数がある ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle \ell _{0}}$

ノルムの数学的定義は、バナッハの線型演算理論によって確立されました。数列の空間は、積計量上のFノルムによって提供される完全な計量位相を持ちます。^[要出典] -ノルム 空間は、関数解析、確率論、調和解析で研究されています。 ${\displaystyle \ell _{0}}$ $${\displaystyle (x_{n})\mapsto \|x\|:=d(0,x)=\sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}}.}$$ ${\displaystyle \ell _{0}}$

別の関数は、 David Donohoによって「ノルム」と呼ばれました。引用符はこの関数が適切なノルムではないことを警告しています。これは、ベクトルの非ゼロ要素の数です。^[要出典]多くの著者は引用符を省略することで用語を乱用しています。のゼロ「ノルム」を定義すると、次のようになります 。 ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle 0^{0}=0,}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$$

0.1から2までのpノルムを0.05ずつ刻んだアニメーションGIF

これは同次ではないため、ノルムではありません。例えば、ベクトルを正の定数でスケーリングしても「ノルム」は変化しません。数学的なノルムとしてはこれらの欠陥があるにもかかわらず、非ゼロ計数「ノルム」は科学計算、情報理論、統計学、特に信号処理における圧縮センシングや計算調和解析において用いられています。ノルムではないものの、距離には同次性は求められないため、ハミング距離として知られる関連する指標は有効な距離です。 ${\displaystyle x}$

ℓ ^p空間とシーケンス空間

-ノルムは、無限個の成分（シーケンス）を持つベクトルに拡張でき、空間が生成されます。これには特別な場合として以下が含まれます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

• ${\displaystyle \ell ^{1},}$級数が絶対収束するシーケンスの空間、
• ${\displaystyle \ell ^{2},}$ヒルベルト空間である平方和可能シーケンスの空間、および
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$有界シーケンスの空間。

シーケンスの空間は、スカラー加算と乗算を適用することで、自然なベクトル空間構造を持ちます。明示的に、実数（または複素数）の無限シーケンスのベクトル和とスカラー作用は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

-ノルムを定義する： ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

ここで、右側の級数は常に収束するとは限らないという複雑な問題が発生します。たとえば、1のみで構成されるシーケンスは、に対して無限の-ノルムを持ちます。 したがって、空間は、-ノルムが有限であるようなすべての実数（または複素数）の無限シーケンスの集合として定義されます ${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$

が増加するにつれて、集合は大きくなることを確認できます。例えば、数列はには属しませんが、 については に属せます。これは、級数が（調和級数）に対して発散するためですが、 については収束するためです。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p>1,}$ $${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle p>1.}$

また、上限:とすべての有界数列の対応する空間を用いて、 -ノルムを定義します。 ^[1]右辺が有限、または左辺が無限の場合、であることが分かります。したがって、の空間を検討します。 ${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

このように で定義された -ノルムは確かにノルムであり、このノルムと一緒にバナッハ空間です。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

一般的な ℓ^p-空間

前の定義と完全に類似して、一般添字集合（および） 上の空間を と定義することができる。ここで、右辺収束は、可算個数の被加数のみが非零であることを必要とする（集合 上の絶対収束も参照）。 ノルム を用いると、空間はバナッハ空間となる。が有限で元を持つ場合、この構成は上で定義した -ノルム を与える。が可算無限の場合、これは上で定義した数列空間とまったく同じである。非可算集合の場合、これは非可分バナッハ空間であり、 -数列空間の局所凸直接極限と見なすことができる。^[2] ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ $${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}$$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

ノルムは、と呼ばれる標準内積によって誘導されます。 ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ユークリッド内積は、すべてのベクトルに対して成り立つことを意味します、分極恒等式を用いてノルムで表すことができます。その上では、次のように定義できます。場合を考えます^。[注1]を定義ここで、すべての^{[3]​​ [注2]} ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$ $${\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}.}$$ ${\displaystyle p=\infty .}$ $${\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}$$

指数集合は、離散σ-代数と計数測度を与えることで測度空間に変換できます。その場合、空間はより一般的な-空間（以下で定義）の特殊なケースになります。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

L ^p空間とルベーグ積分

空間は、絶対値の-乗がルベーグ積分可能である測度空間として定義でき、ほぼすべての場所で一致する関数は同一視されます。より一般的には、を測度空間とし、^[注3]とします。の とき、からのすべての測度関数の集合、または絶対値の-乗が有限積分を持つ、または記号で次のように考えます。^[4] ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$ ${\displaystyle p\neq \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

の集合を定義するには、集合が測定可能で測度が0であるとき、上で定義された2つの関数とがほぼすべての点で等しい（aeと表記）と言われることを思い出してください。同様に、測定可能な関数（およびその絶対値）は、（必然的に）測定可能な集合が測度が0であるとき、ほぼすべての点で実数aeによって有界（または支配）されます。空間は、ほぼすべての点で（ある実数によって）有界となるすべての測定可能な関数の集合であり、これらの境界の下限として定義されます。の とき、これはの絶対値の本質的な上限と同じです。^[注4] ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle |f|\leq C}$ ${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$ ${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

例えば、がほぼすべての点で等しい測定可能な関数である場合^[注5]、すべてのに対して、したがってすべてのに対してです ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p.}$

任意の正の に対して、可測関数のにおける値とその絶対値は常に同じです（つまり、すべての に対して）。したがって、可測関数が に属する場合、かつその絶対値が に属する場合に限ります。このため、-ノルムを含む多くの式は、非負の実数値関数に対してのみ述べられます。例えば、が測定可能、が実数、（ここでのとき）のときはいつでも成り立つ恒等式を考えてみましょう。非負性要件は、を に代入することで削除でき、次のようになります。 特に、 が有限のとき、式は-ノルムと -ノルムを関連付けることに注意してください。 ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$

乗積分可能関数の半ノルム空間 ${\displaystyle p}$

関数の各集合は、加法とスカラー乗法が点ごとに定義されるとき、ベクトル空間を形成します。 ^[注6] 2つの 乗可積分関数 と の和が再び乗可積分であることは^[証明1]から導かれます が、これはミンコフスキーの不等式からも導かれます。ミンコフスキーの不等式は、 がに対して三角不等式を満たす ことを証明しています（三角不等式は に対しては成り立ちません）。 がスカラー乗法で閉じているのは、 が絶対同次であることによるもので、これはすべてのスカラーとすべての関数に対して が成り立つことを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f.}$

絶対同次性、三角不等式、および非負性は、半ノルムの定義特性です。したがって、は半ノルムであり、 乗可積分関数の集合とは、半ノルムベクトル空間を定義します。一般に、 を満たすが と同一に等しくない測定可能な関数が存在する可能性があるため、半ノルムはノルムではありません。^[注5]（がノルムとなるのは、そのような関数が存在しないときのみです。） ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$

-セミノルムの零点集合 ${\displaystyle p}$

が測定可能でaeに等しい場合、すべての正のに対して が成り立ちます。一方、が測定可能な関数で、 が存在する場合、ほぼすべての場所で が成り立ちます。が有限の場合、これは上記の ケースと式から従います。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$

したがって、が正で、 が任意の測定可能な関数である場合、ほぼすべての場所で が成り立つ場合と同値です。右辺( ae)には が記されていないため、すべてが同じ零点集合を持つ（ に依存しない）ことがわかります。したがって、この共通集合を で表します。 この集合は、すべての正のに対してのベクトル部分空間です。 ${\displaystyle p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$

商ベクトル空間

あらゆる半ノルムと同様に、半ノルムはの標準商ベクトル空間上に、そのベクトル部分空間によって ノルム（簡単に定義）を誘導します。このノルム付き商空間はルベーグ空間と呼ばれ、本稿の主題です。まず、商ベクトル空間を定義することから始めます。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$

任意の が与えられたとき、剰余類はほぼすべての場所でに等しいすべての測定可能な関数から成ります。すべての剰余類の集合は、通常 で表され、 ベクトルの加算とスカラー乗算が と で定義されるとき、原点を持つベクトル空間を形成します。 この特定の商ベクトル空間は で表されます。2つの剰余類が等しいのは、（または同値として）の場合のみであり、これはほぼすべての場所で の場合のみに当てはまります。この場合、 と は商空間で同一視されます。したがって、厳密に言えば、は関数の同値類から成ります。^[5] ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$ ${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$ $${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$

商ベクトル空間上の -ノルム ${\displaystyle p}$

任意の が与えられたとき、剰余類上の半ノルムの値は定数であり、 に等しいので、この一意の値を で表します。 この割り当ては写像を定義し、これも商ベクトル空間上で で表されます。この写像はと呼ばれる上のノルムです。 ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle \|f\|_{p};}$ ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}$ $${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ $${\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}$$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$-ノルム。剰余類の値は、剰余類を表すために選択された特定の関数とは独立していますの剰余類である任意の に対して となります（任意の に対して）。 ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$

ルベーグ空間 ${\displaystyle L^{p}}$

ノルムベクトル空間は、 空間または- 乗可積分関数のルベーグ空間と呼ばれ、任意の に対してバナッハ空間です（つまり、完備計量空間であり、この結果はリース・フィッシャー定理と呼ばれることもあります）。基礎となる測度空間が理解されている場合、 はしばしば と略記されるか、単に と表記されます 。著者によっては、添え字の表記はまたは のいずれかを表す場合があります。 ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}$

上の半ノルムがノルムである場合（ の場合に限ります）、ノルム空間は標準写像を介してノルム商空間と線型等長同型になります（ であるため）。言い換えれば、線型等長を除いて、それらは同じノルム空間であるため、どちらも「空間」 と呼ぶことができます ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}$ ${\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

上記の定義はボッホナー空間に一般化されます。

一般に、このプロセスは逆転できません。におけるの各剰余類の「標準的な」代表値を定義する一貫した方法はありません。ただし、については、そのような回復を可能にするリフトの理論があります。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L^{\infty },}$

特殊なケース

の場合、空間は空間の特殊なケースです。が自然数で が計数測度 のときです。より一般的には、計数測度を持つ任意の集合を考えると、結果として得られる空間は と表されます。たとえば、 は整数でインデックス付けされたすべてのシーケンスの空間であり、そのような空間で -ノルムを定義するときは、すべての整数について合計します。 が要素を持つ集合である空間は、が上記で定義された -ノルム を持ちます ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(S).}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(n),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$

空間と同様に、は空間の中で唯一のヒルベルト空間です。複素数の場合、の内積はによって定義されます。 関数は、平方積分可能関数、二次積分可能関数、または平方和可能関数と呼ばれることもありますが、これらの用語は、リーマン積分の意味でなど、他の意味で平方積分可能な関数にのみ使用されることもあります（Titchmarsh 1976）。 ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x).}$$ ${\displaystyle L^{2}}$

任意のヒルベルト空間と同様に、すべての空間は適切なに線型等長であり、ここで集合の濃度はこの特定の空間の任意の基底の濃度です。 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(I),}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L^{2}.}$

複素数値関数を使用する場合、空間は点ごとの乗算と共役を含む可換C*-代数です。すべてのシグマ有限測度空間を含む多くの測度空間では、実際には可換フォンノイマン代数です。の元は、乗算によって任意の空間上の有界作用素を定義します。 ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$

のとき(0 < p < 1)

のとき、は上記のように定義できる。ただし、この場合、-ノルムは三角不等式を満たさず、準ノルムのみ を定義する。に対して有効な不等式はを意味するので、関数は上の計量である。結果として得られる計量空間は完備 である。^[6] ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ $${\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p}}$ ${\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}$ ${\displaystyle a,b\geq 0,}$ $${\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$$ $${\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}$$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$

この設定では逆ミンコフスキー不等式が満たされ、 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle u,v\in L^{p}}$ $${\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}$$

この結果はクラークソンの不等式を証明するために使用でき、これは次に、の空間の一様凸性を証明するために使用されます( Adams & Fournier 2003)。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

の空間はF空間です。つまり、ベクトル空間演算が連続となる完全な並進不変計量を許容します。これは、ほとんどの合理的な測度空間に対して局所的に凸ではないF空間の典型的な例です。つまり、関数を含むまたはすべての開凸集合は-準ノルムに対して非有界です。したがって、ベクトルは凸近傍の基本系を持ちません。具体的には、測度空間に有限の正測度の互いに素な可測集合の無限族が含まれる場合、これは真です ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$

における唯一の空でない凸開集合は空間全体である。したがって、連続双対空間である零空間には非零連続線型関数は存在しない。自然数上の計数測度（すなわち ）の場合、 上の有界線型関数は上で有界となるものとまったく同じである。すなわち、 の列によって与えられるものである。 は非自明な凸開集合を含むが、位相の基底を与えるのに十分な数の線型関数を持たない。 ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]);}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

線型関数を持たないことは、解析を行う上で非常に望ましくありません。 上のルベーグ測度の場合、についてではなく、 についてではなく、可能な限りハーディ空間H ^pで作業するのが一般的です。これは、 がかなりの数の線型関数を持ち、点同士を区別するのに十分なためです。しかし、についてH ^pでは、ハーン・バナッハの定理は依然として成り立ちません(Duren 1970, §7.5)。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle p<1}$

性質

ヘルダーの不等式

を満たすと仮定します。およびの場合、および^[7] ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}$$

この不等式はヘルダーの不等式と呼ばれ、ある意味で最適です。なぜなら、およびが可測関数で、上限をの閉単位球上に取った 場合、 および ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }$$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}$$

一般化されたミンコフスキーの不等式

が三角不等式を満たすことを述べているミンコフスキーの不等式 は、一般化できます。 可測関数 が非負である場合 ( およびは測度空間)、すべての に対して となるからです^[8] ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (M,\mu )}$ ${\displaystyle (N,\nu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ $${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,n)\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\right\|_{L^{q}(N,\nu )}~\leq ~\left\|\left\|F(m,\cdot )\right\|_{L^{q}(N,\nu )}\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\ .}$$

原子分解

ならば、すべての非負数は原子分解を持ちます。^[9]つまり、非負実数の列と、アトムと呼ばれる非負関数の列が存在し、そのサポートは、すべての整数およびに対して、 かつ となるような 、 2つに素な測度の集合です。さらに、関数の列はのみに依存します（ とは独立です）。^[9] これらの不等式は、すべての整数に対してが保証されますが、 のサポートが2つに素であることは^{[9]を意味します。} ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}$ $${\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}$$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}$$ ${\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}$$

原子分解は、まずすべての整数に対して^{[9] [注 7]}を定義し 、次に とすること で明示的に与えることができます。ここで は集合の測度を表し、は集合の指示関数を表します。 列は減少し、 に収束します[ ^9]したがって、ならば であり、はと完全に等しくなります（特に、 で割っても問題は発生しません）。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}$$ $${\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$$ ${\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}$ ${\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle t_{n}=0}$ ${\displaystyle t_{n+1}=0}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing }$ ${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}$ ${\displaystyle r_{n}=0}$

を定義するために使用されたの補累積分布関数 は、弱 -ノルムの定義（以下に示す）にも現れ、 の-ノルム（ の場合）を積分^[9]として表すために使用できます。ここで、積分は 上の通常のルベーグ測度に関するものです。 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}$ ${\displaystyle |f|=f}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,}$$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$

双対空間

に対するの双対空間は と自然同型を持ちます。ここでは となるものです。この同型は、 すべてのに対して によって定義される関数に関連付けられます ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{q}(\mu ),}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}$ $${\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$

${\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}$は、ヘルダーの不等式の極限ケースによって等長写像となる、明確に定義された連続線型写像です。 が-有限測度空間である場合、ラドン・ニコディムの定理を用いて、任意の がこのように表現できること、すなわち がバナッハ空間の等長同型であることを示すことができます。^[10]したがって、通常はが の連続双対空間であると単純に言うのが一般的です ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$

空間は反射的である。を上記のようにし、を対応する線型等長写像とする。の逆写像の転置（または随伴写像）と合成することによって得られる、からへの写像を考える。 ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}$ ${\displaystyle \kappa _{q}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:}$

$${\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}}$$

この写像は、をその双双対への標準的な埋め込みと一致する。さらに 、写像は2つの上への等長写像の合成として上への写像であり、これは反射性を証明している。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle j_{p}}$

上の測度がシグマ有限である場合、の双対はと等長的に同型である（より正確には、に対応する写像はから上への等長写像である）。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}$

の双対はより微妙です。の元は、に関して絶対連続である、上の有界符号付き有限加法測度と同一視できます。詳細はba空間を参照してください。選択公理を仮定すると、この空間は、いくつかの自明な場合を除いて、よりもはるかに大きくなります。しかし、サハロン・シェラーは、ツェルメロ・フランケル集合論（ZF + DC + 「実数のすべての部分集合はベールの性質を持つ」）の比較的一貫した拡張があり、その中での双対は^[11]であることを証明しました。 ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

埋め込み

口語的に言えば、の場合にはより局所的に特異な関数が含まれ、 の元はより広がる可能性があります。半直線上のルベーグ測度を考えてみましょう。の連続関数は の近くで爆​​発する可能性がありますが、無限大に向かって十分速く減衰する必要があります。一方、 の連続関数は全く減衰する必要はありませんが、爆発は許されません。より正式には：^[12] ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

1. の場合:に、有限だが任意に大きな測度の集合 (たとえば、任意の有限測度)が含まれない場合に限ります。 ${\displaystyle 0<p<q<\infty }$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle S}$
2. の場合：が非ゼロだが任意に小さい測度の集合（例えば、計数測度）を含まない場合、かつその場合に限ります。 ${\displaystyle 0<p<q\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle S}$

実数直線上のルベーグ測度についてはどちらの条件も成り立ちませんが、任意の有限集合上の計数測度については両方の条件が成り立ちます。閉グラフ定理の結果として、埋め込みは連続です。つまり、恒等演算子は、最初のケースでは から へ、2番目のケースでは から への有界線型写像です。実際、領域が有限測度を持つ場合、ヘルダーの不等式を用いて次の明示的な計算を行うことができ、 ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}$$ $${\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}$$

The constant appearing in the above inequality is optimal, in the sense that the operator norm of the identity ${\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}$ is precisely $${\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}$$the case of equality being achieved exactly when ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle \mu }$-almost-everywhere.

Dense subspaces

Let ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ and ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ be a measure space and consider an integrable simple function ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle S}$ given by $${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}},}$$where ${\displaystyle a_{j}}$ are scalars, ${\displaystyle A_{j}\in \Sigma }$ has finite measure and ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}$ is the indicator function of the set ${\displaystyle A_{j},}$ for ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$ By construction of the integral, the vector space of integrable simple functions is dense in ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$

More can be said when ${\displaystyle S}$ is a normal topological space and ${\displaystyle \Sigma }$ its Borel 𝜎–algebra.

Suppose ${\displaystyle V\subseteq S}$ is an open set with ${\displaystyle \mu (V)<\infty .}$ Then for every Borel set ${\displaystyle A\in \Sigma }$ contained in ${\displaystyle V}$ there exist a closed set ${\displaystyle F}$ and an open set ${\displaystyle U}$ such that $${\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U\setminus F)=\mu (U)-\mu (F)<\varepsilon ,}$$for every ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Subsequently, there exists a Urysohn function ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}$ on ${\displaystyle S}$ that is ${\displaystyle 1}$ on ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle 0}$ on ${\displaystyle S\setminus U,}$ with $${\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}$$

が有限測度を持つ開集合の増加列で覆われることができる場合、-積分連続関数の空間はにおいて稠密です。より正確には、開集合のいずれかの外側で消える有界連続関数を使用することができます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (V_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle V_{n}.}$

これは特に、 がルベーグ測度である場合、および がルベーグ測度である場合に当てはまります。例えば、連続かつコンパクトに支えられた関数の空間、および積分可能な階段関数の空間は において稠密です。 ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$

閉部分空間

が任意の正の実数、が測定可能空間上の確率測度（したがって）、がベクトル部分空間である場合、がの閉部分空間であることと、が有限次元であることに限ります^[13]（は とは独立に選択されました）。アレクサンダー・グロタンディークによるこの定理^[13]において、ベクトル空間がの部分集合であることが重要です。なぜなら、 の無限次元閉ベクトル部分空間（ の部分集合でもあります）を構築することが可能だからです。ここで、は単位円上のルベーグ測度であり、 はそれを質量で割った結果の確率測度です^[13]。 ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}$ ${\displaystyle L^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}$

応用

統計

統計学では、平均、中央値、標準偏差などの中心傾向と統計的分散の尺度は、測定基準によって定義でき、中心傾向の尺度は変分問題の解として特徴付けることができます ${\displaystyle L^{p}}$

ペナルティ付き回帰において、「L1ペナルティ」と「L2ペナルティ」は、解のパラメータ値ベクトルのノルム（つまり、絶対値の合計）またはその2乗ノルム（ユークリッド長）のいずれかにペナルティを課すことを指します。LASSOのようなL1ペナルティを使用する手法は、スパースな解（多くのパラメータがゼロ）を推奨します。^[14]弾性ネット正則化では、パラメータベクトルのノルムと2乗ノルムの組み合わせであるペナルティ項を使用します。 ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

ハウスドルフ・ヤングの不等式

実数直線（または周期関数についてはフーリエ級数を参照）のフーリエ変換は、それぞれ（または）に写像されます。ここで、およびこれはリース・トーリンの補間定理 の結果であり、ハウスドルフ・ヤングの不等式によって明確にされます。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

対照的に、フーリエ変換が ${\displaystyle p>2,}$ ${\displaystyle L^{q}.}$

ヒルベルト空間に写像されない場合

ヒルベルト空間は、量子力学から確率計算まで、多くの応用において中心的な役割を果たします。空間と はどちらもヒルベルト空間です。実際、ヒルベルト基底、すなわち または任意のヒルベルト空間の最大正規直交部分集合を選択すると、すべてのヒルベルト空間は と等長的に同型（上記と同じ）、すなわち 型のヒルベルト空間であることがわかります。 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

一般化と拡張

弱L ^p

を測度空間とし、上に実数値または複素数値を持つ測定可能な関数とします。の分布関数はに対して によって定義されます。 ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}$$

が に対して に属する場合、マルコフの不等式によって、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}$$

関数は空間弱に属する、またはに対して となる定数が存在すると言われます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle t>0,}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$$

この不等式に最適な定数はの-ノルムであり、 で表されます 。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}$$

弱はローレンツ空間と一致するため、この表記法はそれらを表すためにも使用されます ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p,\infty },}$

三角不等式が成立しないため、-ノルムは真のノルムではありません。しかしながら、特ににおいて、において ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}$ $${\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}$$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}$

実際、であり、をべき乗し、 1において最大値を取ると $${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),}$$ ${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}$$

2つの関数がほぼすべての点で等しい場合、それらは等しいという慣例の下では、空間は完備である (Grafakos 2004)。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$

任意の について、式は -ノルムと同等である。さらに、 の場合、この式は となるノルムを定義する。したがって、 に対して弱空間はバナッハ空間である(Grafakos 2004) ${\displaystyle 0<r<p}$ $${\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}$$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle r=1.}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle L^{p}}$

-空間を用いた主要な結果は、調和解析や特異積分の研究に広く応用されているマルチンキエヴィチの補間定理です。 ${\displaystyle L^{p,w}}$

重み付きL ^p空間

前と同様に、測度空間 を考えます。を可測関数とします。-重み付き空間は次のように定義されます。ここで、は次のように定義される測度です。 ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}$ ${\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}$$

または、ラドン・ニコディム微分を用いて、のノルムは明示的に ${\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}$$

空間として、重み付き空間には特別なことは何もありません。なぜなら、は に等しいからです。しかし、それらは調和解析におけるいくつかの結果の自然な枠組みです (Grafakos 2004)。例えば、ムッケンハウプトの定理に現れます。古典的なヒルベルト変換はで定義されます。ここで、は単位円とルベーグ測度を表します。（非線形）ハーディ・リトルウッド最大作用素はで有界です。ムッケンハウプトの定理は、ヒルベルト変換が で有界であり、 で最大作用素が であるような重みを記述します。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}$

L ^p多様体上の空間

多様体上の空間（多様体の固有空間と呼ばれる）を、密度を用いて定義することもできます。 ${\displaystyle L^{p}(M)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

ベクトル値L ^p空間

測度空間と局所凸空間（ここでは完備と仮定）が与えられた場合、 上の-積分可能な-値関数の空間をいくつかの方法で定義することができます。一つの方法は、ボクナー積分可能関数とペティス積分可能関数の空間を定義し、それらに（それぞれ独自の方法で）通常の位相の自然な一般化となる局所凸TVS位相を与えることです。別の方法としては、との位相テンソル積があります。ベクトル空間の元は、各単純テンソルを を送る関数と同一視できる単純テンソルの有限和です。このテンソル積には、局所的に凸な位相が与えられ、位相テンソル積 になります。最も一般的なものは、 で表される射影テンソル積とで表される入射テンソル積です。一般に、これらの空間はどちらも完全ではないため、それぞれ および で表される完備化が構築されます(これは、上のスカラー値単純関数の空間が、任意の で半ノルム化されるときに完全でないため、 で割った後にバナッハ空間 と等長的に同型になる完備化が構築されるのと類似しています)。アレクサンダー・グロタンディークは、 が核空間(彼が導入した概念)のとき、これら 2 つの構成はそれぞれ、前述のボホナー積およびペティス積つまり、それらは区別できない。 ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}$ ${\displaystyle f\times e}$ ${\displaystyle \Omega \to E}$ ${\displaystyle x\mapsto ef(x).}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$

L ⁰測定可能な関数の空間

上の測度可能関数（の同値類）のベクトル空間は（Kalton, Peck & Roberts 1984）と表記される。定義により、それはすべてのを含み、測度 における収束の位相を備えている。が確率測度（すなわち、）のとき、この収束モードは確率 における収束と呼ばれる。空間は常に位相アーベル群であるが、の場合にのみ位相ベクトル空間となる。これは、スカラー乗法が の場合にのみ連続となるためである。が-有限である場合、測度 における局所収束のより弱い位相はF-空間、すなわち完全に計量化可能な位相ベクトル空間である。さらに、この位相は、適切な確率測度の選択に対して、測度 における大域収束と等長である。 ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=1}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty .}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty .}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu .}$

が有限の場合、記述はより簡単になる。が 上の有限測度である場合、関数は測度 における収束に対して、次の近傍の基本系を許容する ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ),}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}$$

位相は、の形の任意の計量によって定義できます。ここで、 はで有界な連続凹状かつ非減少であり、の場合です（例えば、 ） 。このような計量はに対してレヴィ計量と呼ばれます。この計量の下では、空間は完備です。ただし、前述のように、スカラー乗法はこの計量に関して連続であるためには、 が必要です。これを確認するには、で定義されるルベーグ可測関数を考えてみましょう。すると明らかに となります。空間は一般に局所的に有界でも局所的に凸でもありません。 ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ ${\displaystyle \varphi (t)>0}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}$ ${\displaystyle L^{0}.}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }$ ${\displaystyle L^{0}}$

上の無限ルベーグ測度について、近傍の基本系の定義は次のように変更できます。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}$$

結果として得られる空間 は、測度における局所収束の位相を持ち、任意の正の-積分可能密度の空間 と同型です。 ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}$ ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g\,\lambda ),}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g.}$

参照

• 絶対可積分関数 – 絶対値が有限積分を持つ関数
• ボッホナー空間 – 位相空間の一種
• オルリツ空間 – 関数空間の一種
• ハーディ空間 – 複素解析における概念
• リース・トーリンの定理 – 演算子補間に関する定理
• ヘルダー平均 – 与えられた数のn乗の算術平均のN乗根Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ヘルダー空間 – 複素数値関数の連続性のタイプPages displaying short descriptions of redirect targets
• 二乗平均平方根 – 平均二乗の平方根
• 最小絶対偏差 – 統計的最適性基準
• 局所的に積分可能な関数 – その定義域で積分可能な関数 ${\displaystyle \left(L_{\text{loc}}^{1}\right)}$
• ${\displaystyle L^{p}(G)}$局所コンパクト群上の空間 ${\displaystyle G}$ – 局所コンパクトアーベル群の双対性
• 最小二乗スペクトル解析 – 周期性計算法
• バナッハ空間の一覧
• ミンコフスキー距離 – p次冪を用いたベクトル距離
• L無限大 – 有界列の空間
• L ^p和 – 関数解析における測度
• Cm空間

注釈

1. Maddox, IJ (1988), Elements of Function Analysis (2nd ed.), Cambridge: CUP、16ページ
2. ラファエル・ダーメン、ガボール・ルカーチ：位相群の長余極限 I：連続写像と同相写像。位相学とその応用No. 270、2020年。例2.14
3. ガーリング、DJH (2007)。不等式：線型解析への旅。ケンブリッジ大学出版局。p. 54。ISBN   978-0-521-87624-7。
4. Rudin 1987, p. 65.
5. Stein & Shakarchi 2012, p. 2.
6. Rudin 1991, p. 37.
7. Bahouri, Chemin & Danchin 2011, pp. 1–4.
8. Bahouri, Chemin & Danchin 2011, p. 4.
9. Bahouri, Chemin & Danchin 2011, pp. 7–8.
10. Rudin 1987, 定理6.16.
11. Schechter, Eric (1997), Handbook of Analysis and its Foundations , London: Academic Press Inc.14.77節および27.44–47節を参照
12. Villani, Alfonso (1985)、「包含関係L ^p ( μ )⊂L q ⁽ μ )に関するもう一つの注釈」、Amer. Math. Monthly、92 (7): 485–487、doi :10.2307/2322503、JSTOR  2322503、MR  0801221
13. Rudin 1991、pp. 117–119
14. Hastie, TJ ; Tibshirani, R .; Wainwright, MJ (2015). Statistical Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations . CRC Press. ISBN 978-1-4987-1216-3。

1. 条件は、がない限り、有限であることと同義ではありません。 ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$
2. ならば、 ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}$
3. との定義は（ だけでなく）すべてに拡張できますが、 がノルムであることが保証されている場合のみです（ただし、 はすべての に対して準セミノルムです）。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,}$
4. ならば、 ${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {esssup} |f|=-\infty .}$
5. 例えば、 の空でない測定可能な集合が存在する場合、その指示関数は を満たしますが、 を満たします。 ${\displaystyle N\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}$
6. 明示的に、ベクトル空間演算は次のように定義されます。すべておよびすべてのスカラーに対して。これらの演算により はベクトル空間になります。なぜなら、が任意のスカラーであり、 との両方が にも属する場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle sf}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}$
7. この最小値はによって達成され、が成り立ちます。 ${\displaystyle t_{n};}$ ${\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}$

1. 不等式は、によって定義される関数が凸 であるという事実から演繹できる場合、定義により の領域内のすべてのおよびすべてのに対してが成り立つことを意味します。と に を代入すると となり、が証明されます。三角不等式から が成り立ちます。両辺を積分することで、目的の不等式が導かれます。 ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}$ ${\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(t)=t^{p}}$ ${\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle |f|,|g|,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}$ ${\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}$ ${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

• アダムズ、ロバート・A.；フルニエ、ジョン・F.（2003年）『ソボレフ空間（第2版）』、アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-044143-3。
• バホウリ、ハジェル；シェミン、ジャン＝イヴ；ダンチン、ラファエル（2011年）、『フーリエ解析と非線形偏微分方程式』、数学科学の基礎、第343巻、ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー、ISBN  978-3-642-16830-7 。OCLC 704397128
• ブルバキ、ニコラ（1987年）『位相ベクトル空間』、『数学の原点』、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-13627-9。
• ディベネデット、エマヌエーレ（2002年）、実解析、ビルクハウザー、ISBN 3-7643-4231-5。
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• デューレン、P. (1970)、『H ^p空間の理論』 、ニューヨーク：アカデミック・プレス
• グラファコス、ルーカス(2004)、『古典的および現代フーリエ解析』、ピアソン・エデュケーション社、  253～ 257ページ、ISBN 0-13-035399-X。
• ヒューイット、エドウィン；ストロンバーグ、カール (1965)、『実解析と抽象解析』、シュプリンガー・フェアラーク。
• カルトン、ナイジェル・J .；ペック、N.・テニー；ロバーツ、ジェームズ・W.（1984）「F空間サンプラー」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第89巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511662447、ISBN 0-521-27585-7、MR  0808777
• リース、フリジェス（1910）「積分関数システムに関する考察」、数学年報、69 (4): 449–497、doi :10.1007/BF01457637、S2CID  120242933
• ルーディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学シリーズ. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：マグロウヒル サイエンス/エンジニアリング/数学. ISBN  OCLC  21163277.
• Rudin, Walter (1987)、「実解析と複素解析（第3版）」、ニューヨーク：McGraw-Hill、ISBN 978-0-07-054234-1 MR  0924157
• スタイン、エリアス M.;シャカルチ、ラミ (2012).関数解析：解析のさらなるトピックへの入門. プリンストン大学出版局. doi :10.1515/9781400840557. ISBN 978-1-4008-4055-7。
• ティッチマーシュ、EC (1976), 『関数論』オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853349-8

外部リンク

• 「ルベーグ空間」、数学百科事典、EMS出版、2001 [1994]
• Lp空間が完備であることの証明

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