スピングループ

Double cover Lie group of the special orthogonal group

数学において、スピン群（スピングループ）は、Spin( n )と表記され、^{[1] [2]}、その基礎多様体が特殊直交群SO( n ) = SO( n , R )の二重被覆であるリー群であり、リー群の短い正確な列が存在する（ n ≠2のとき）

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

二重被覆上の群乗法則は、上の乗法を持ち上げることによって与えられます。 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

リー群として、Spin( n ) は次元を共有する。n ( n − 1)/2⁠、および特殊直交群を含む そのリー代数。

n > 2の場合、 Spin( n ) は単連結であり、 SO( n )の普遍被覆と一致します。

カーネルの非自明な要素は −1 で表されますが、これは一般に − Iで表され、原点を通る反射の直交変換と混同しないでください。

Spin( n )はクリフォード代数Cl( n )の可逆元の部分群として構成できる。スピン表現については別の論文で議論されている。

物理モデルに使用

スピン群は物理学において、（電気的に中性で、電荷を持たない）フェルミオンの対称性を記述する際に用いられる。その複素化 Spinc は、電荷を持つフェルミオン、特に電子を記述するために使用される。厳密に言えば、スピン群は 0 次元空間内のフェルミオンを記述する。しかし、空間は 0 次元ではないので、スピン群は（擬似）リーマン多様体上の計算ツールとして（存在しない）スピン構造を定義するために使用される。スピン群はスピノル束の構造群である。スピノル束上のアフィン接続はスピン接続である。スピン接続は一般相対性理論における計算を簡素化することができる。スピン接続によって、ディラック方程式を曲がった時空（実質的にはテトラッド座標）で記述することが可能になる。

工事

スピン群の構成は、しばしば、定積二次形式qを持つ実ベクトル空間V上のクリフォード代数の構成から始まる。^{[3]クリフォード代数は、} Vのテンソル代数T Vを両側イデアルで割ったものである。実数上のテンソル代数は次のように書ける。

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

クリフォード代数Cl( V )は商代数である。

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes v-q(v)\right),}$

ここで、はベクトル に二次形式を適用したものである。結果として得られる空間は有限次元であり、自然に次数付けされている（ベクトル空間として）ため、次のように書くことができる。 ${\displaystyle q(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

ここで、 は の次元であり、である。スピン代数は、双ベクトル部分代数として定義される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

ここで、最後のは、実次元nの実ベクトル空間Vの省略形である。これは、乗法として交換子を持つリー代数である。これはVに自然な作用を持ち、特殊直交群のリー代数と同型である。集合が（実）ベクトル空間Vの直交基底である場合、上記の商はクリフォード代数に自然な反交換構造を与える。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$のために ${\displaystyle i\neq j,}$

これはについて考えることで成り立ちます。すると においてリー交換子と が成り立つので、との同型性が得られます。右辺はの外積です。2 を掛けることで、スピノルを 360 度回転させるとスピノルがマイナスになる理由が説明できます。つまり、基底元b を2 で割ると 360 度半回転することになります。 ${\displaystyle v\otimes v}$ ${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {spin}}(n)}$ ${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{j}\otimes e_{k}]=2e_{i}\otimes e_{k}}$ ${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{k}\otimes e_{l}]=0}$ ${\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\rightarrow 2e_{i}\otimes e_{j}-2e_{j}\otimes e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle e^{i\phi b}}$

ピン群 は、形式 ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

それぞれは単位長さです。 ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

スピン群は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

ここで 、は偶数個のベクトルの積である元によって生成される部分空間である。つまり、Spin( V ) は、 kが偶数であるという制約の下で、上記で与えられたPin( V )のすべての元から構成される。この偶数部分空間への制約は、以下で構築される2成分（ワイル）スピノルの形成の鍵となる。 ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$

クリフォード代数の反交換性は、フェルミオンに対するパウリの排他原理の精神を捉えているため、物理学において重要であることが判明している。正確な定式化は本稿の範囲外であるが、これはミンコフスキー時空上のスピノル束の生成を伴う。結果として生じるスピノル場は、クリフォード代数の構成の副産物として反交換性を持つと見ることができる。この反交換性は、超対称性の定式化においても鍵となる。^[要出典]クリフォード代数とスピン群には、多くの興味深く興味深い性質があり、そのいくつかを以下に挙げる。

幾何学的構成

スピン群は、クリフォード代数に頼ることなく、それほど明示的には構成できません。多様体として、は の二重被覆です。その乗法則は、次のように持ち上げることで定義できます。被覆写像を と呼びます。次に、は 2 つの要素を持つセットであり、一般性を失うことなく 1 つを恒等元として選択できます。これを と呼びます。次に、 での乗法を定義するために、に対して、 、および を満たす経路を選択します。これらは、を満たすように定義されたでの経路を定義します。は二重被覆であるため、で の持ち上げが一意に存在します。次に、積を と定義します。 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p:\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p^{-1}(\{e\})}$ ${\displaystyle {\tilde {e}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}(0)=\gamma _{b}(0)={\tilde {e}}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}(1)=a,\gamma _{b}(1)=b}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \gamma (t)=p(\gamma _{a}(t))\cdot p(\gamma _{b}(t))}$ ${\displaystyle \gamma (0)=e}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {e}}}$ ${\displaystyle a\cdot b={\tilde {\gamma }}(1)}$

すると、この定義はパスとは独立しており、乗算は連続しており、反転が連続していることで群の公理が満たされ、リー群を 形成することが示されます。 ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

二重カバー

二次空間Vに対して、 Spin( V ) による SO( V )の二重被覆は、次のように明示的に与えられる。Vの直交基底を とする。反自己同型を で 定義する。 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

これは線型性によって のすべての元に拡張できる。これは逆準同型である。 ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

は、すべての要素に対して定義できることに注目してください。 ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$ ${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

ここで、次数1の元に対して次のように与えられる自己同型を定義する。 ${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

を と表記し、これは の反自己同型である。この表記を用いると、明示的な二重被覆は次式で与えられる準同型となる。 ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$ ${\displaystyle \rho :\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)}$

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

ここで である。が 1 次（すなわち）のとき、は に直交する超平面を挟んだ鏡映である。これはクリフォード代数の反可換性から導かれる。 ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\in V}$ ${\displaystyle \rho (a)}$ ${\displaystyle a}$

これは によると によるの両方の二重被覆を与えます。なぜなら はと同じ変換を与えるからです。 ${\displaystyle \operatorname {O} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

スピノル空間

この形式論を前提として、スピノル空間とワイルスピノルがどのように構成されるかを再確認しておく価値がある。次元n = 2 mの偶数である実ベクトル空間Vが与えられたとき、その複素化はである。これは、スピノルの部分空間と反スピノルの部分空間の直和として表すことができる。 ${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

空間はのスピノルによって張られ、複素共役スピノルは を張る。スピノルが反交換であること、またスピノルと反スピノルの積がスカラーであることは容易に分かる。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq m}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$

スピノル空間は外積代数 として定義される。（複素化された）クリフォード代数はこの空間に自然に作用する。（複素化された）スピン群は長さ保存自己準同型に対応する。外積代数には自然な次数が存在する。 の奇数個のコピーの積は物理学におけるフェルミオンの概念に対応し、偶数部分空間はボソンに対応する。スピン群のスピノル空間への作用の表現は、比較的単純な方法で構築できる。^[3] ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$

複雑なケース

スピン^Cグループは、正確な配列によって定義される。

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

これはクリフォード代数の複素化 の乗法部分群であり、具体的には、スピン( V )とCの単位円によって生成される部分群である。あるいは、商 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

ここで同値性は( a , u )と(− a , − u )を同一視する。 ${\displaystyle \sim }$

これは4次元多様体理論とザイバーグ・ウィッテン理論において重要な応用を持つ。物理学では、スピン群は電荷を持たないフェルミオンを記述するのに適しており、スピン^C群は電荷を持つフェルミオンを記述するのに用いられる。この場合、U(1)対称性は特に電磁気学のゲージ群（構造群）である。

例外的な同型性

低次元では、古典リー群の間には例外同型と呼ばれる同型関係が存在する。例えば、異なる族の単純リー代数のルート系（および対応するディンキン図の同型関係）の間に低次元同型関係が存在するため、低次元スピン群と特定の古典リー群の間には同型関係が存在する。実数をR 、複素数をC 、四元数をHと書き、Cl( n )はCl( R ⁿ )の略記であり、Spin( n )はSpin( R ⁿ )の略記であるという一般的な理解に基づいて、以下の関係が成り立つ。^[3]

クリフォード代数とスピン群

${\displaystyle \operatorname {\text{Cl}} ^{even}(n)}$	${\displaystyle \operatorname {\text{Pin}} (n)}$	${\displaystyle \operatorname {\text{Spin}} (n)}$	寸法
${\displaystyle \mathbb {R} }$（実数）	{+i, −i, +1, −1}	O(1) = {+1, −1}	0
${\displaystyle \mathbb {C} }$（複素数）		U(1) = SO(2)は二重位相回転 によって作用する。アーベル関数 に対応する。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle z\mapsto u^{2}z}$ ${\displaystyle D_{1}}$	1
${\displaystyle \mathbb {H} }$（四元数）		Sp(1) = SU(2)であり、 に対応する。 ${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$	3
${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$		SU(2) × SU(2) に対応します。 ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$	6
${\displaystyle M(2,\mathbb {H} )}$（四元数係数を持つ2行2列の行列）		Sp(2)、 に対応する。 ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$	10
${\displaystyle M(4,\mathbb {C} )}$（複素係数を持つ4行4列の行列）		SU(4)、 に対応する。 ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$	15

n = 7, 8の場合には、これらの同型の痕跡がいくつか残る（詳細はSpin(8)を参照）。より大きなnでは、これらの同型は完全に消失する。

不確定署名

不定符号において、スピン群は標準的なスピン群と同様にクリフォード代数を用いて構成される。これは、不定直交群の恒等項の連結成分であるの二重被覆である。 の場合、は連結であり、 の場合、 は2つの連結成分を持つ。^{[4] : 193} ${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}_{0}(p,q)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(p,q)}$ ${\displaystyle p+q>2}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,1)}$

定符号の場合と同様に、低次元では偶然の同型性がいくつかあります。

偶然の同型性

${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$	1	2	3
1	${\displaystyle {\text{GL}}(1,\mathbb {R} )}$
2	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$
3	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\text{Sp}}(4,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\text{SL}}(4,\mathbb {R} )}$
4	${\displaystyle {\text{Sp}}(1,1)}$	${\displaystyle {\text{SU}}(2,2)}$
5	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {H} )}$
6		${\displaystyle {\text{SU}}(2,2,\mathbb {H} )}$

ご了承ください。 ${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)={\text{Spin}}(q,p)}$

位相的な考慮

連結リー群と単連結リー群は、そのリー代数によって分類される。したがって、Gが単連結リー群で、G ′がGの普遍被覆である場合、包含が存在する。

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

ここで Z( G ′)はG ′の中心である。この包含とGのリー代数はG を完全に決定する（ただし、 π ₁ ( G )がG を完全に決定するわけではないことに注意する。例えば、 SL(2, R ) と PSL(2, R ) は同じリー代数と同じ基本群Zを持つが、同型ではない）。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

確定シグネチャSpin( n )はすべてn >2に対して単連結なので、SO( n ) の普遍被覆となる。

不定符号では、Spin( p , q )は必ずしも連結ではなく、一般に恒等成分であるSpin ₀ ( p , q )は単連結ではないため、普遍被覆ではない。基本群は、 SO( p , q )の最大コンパクト部分群、すなわちSO( p ) × SO( q )を考えることで最も簡単に理解できる。そして、Spin( p , q )は2重被覆の積（したがって4重被覆）ではなく、「対角」2重被覆、つまり4重被覆の2重商であることに注意する。明示的に、Spin( p , q )の最大コンパクト連結部分群は

スピン( p )×スピン( q )/{(1,1),(−1,−1)}。

これにより、 p ≥ qをとってSO( p , q )の基本群を計算することができます。

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

したがって、p、q > 2の場合には、基本群は Z ₂になります。これは、2 つの普遍被覆の積の 2 倍の商であるためです。

基本群への写像は次のように与えられる。p、q > 2の場合、写像π ₁ (Spin( p、q )) → π ₁ (SO( p、q ))は1 ∈ Z ₂から(1, 1) ∈ Z ₂ × Z ₂へ移ることで与えられる。p = 2、q > 2の場合、この写像は1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂で与えられる。そして最後に、p = q = 2の場合、(1, 0) ∈ Z × Zは(1,1) ∈ Z × Zへ、(0, 1)は(1, −1)へ移される。

SO(n)の基本群

基本群は、ホモトピー理論の結果を用いてより直接的に導くことができます。特に、最小の3つがおなじみの基礎多様体を持つため、についてが分かります。は点多様体、、 （軸-角表現を用いて示されます）。 ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {\text{SO}} (n))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {\text{SO}} (n))}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{SO}} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{SO}} (2)\cong S^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{SO}} (3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

証明には代数位相幾何学における既知の結果が用いられる。^[5]

証拠

まず、の作用、特にベクトル への作用を考えてみましょう。このベクトルの軌道は であり、安定ベクトルは です。したがって、軌道安定定理から同型性が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v=(1,0,\cdots ,0)}$ ${\displaystyle {\text{Orbit}}_{{\text{SO}}(n)}(v)=S^{n-1}}$ ${\displaystyle {\text{Stab}}_{{\text{SO}}(n)}(v)={\text{SO}}(n-1)}$ $${\displaystyle {\text{SO}}(n)/{\text{SO}}(n-1)\cong S^{n-1}.}$$ 幾何学的には、これは繊維化を提供する $${\displaystyle {\text{SO}}(n-1)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow S^{n-1}.}$$ ハッチャーの定理4.41は、ホモトピー群の長い正確な列が存在することを示唆している。 $${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{k}({\text{SO}}(n-1))\rightarrow \pi _{k}({\text{SO}}(n))\rightarrow \pi _{k}(S^{n-1})\rightarrow \pi _{k-1}({\text{SO}}(n-1))\rightarrow \cdots }$$ そして、シーケンスの最後のセクションに注目します。 $${\displaystyle \pi _{2}(S^{n-1})\rightarrow \pi _{1}({\text{SO}}(n-1))\rightarrow \pi _{1}({\text{SO}}(n))\rightarrow \pi _{1}(S^{n-1}).}$$ ハッチャーの系4.9はに対して成り立つ。したがって に対して、正確な列は となり、したがってと は である限り同型である。 したがって に対して、 が成り立つ。 ${\displaystyle \pi _{k}(S^{n})=0}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle n>3}$ $${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{1}({\text{SO}}(n-1))\rightarrow \pi _{1}({\text{SO}}(n))\rightarrow 0,}$$ ${\displaystyle \pi _{1}({\text{SO}}(n))}$ ${\displaystyle \pi _{1}({\text{SO}}(n-1))}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle \pi _{1}({\text{SO}}(n))\cong \pi _{1}({\text{SO}}(3))}$ そして なので、 が得られます。 ${\displaystyle {\text{SO}}(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}\cong S^{3}/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}({\text{SO}}(3))\cong \mathbb {Z} _{2}}$

同じ議論を使用して、 を示すことができます。これは、が二枚双曲面 の上側シートであり、が収縮可能であり、 が適切なローレンツ群(適切な直交ローレンツ群)の単位元成分であるようなファイバレーションを検討することによって行われます。 ${\displaystyle \pi ({\text{SO}}(1,n)^{\uparrow })\cong \pi ({\text{SO}}(n))}$ $${\displaystyle {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }\rightarrow H^{n},}$$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }}$

中心

n ≥ 3のスピン群の中心（複素数と実数）は次のように与えられる：^{[4] : 208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

商群

商群は、スピン群を中心のサブグループで割ることによって得ることができ、その場合、スピン群は結果として得られる商の被覆群となり、両方の群は同じリー代数を持ちます。

中心全体で割ると、そのような最小の群、すなわち中心のない射影特殊直交群が得られる。一方、{±1}で割ると特殊直交群が得られる。中心が{±1}（つまり奇数次元）に等しい場合、これら2つの商群は一致する。スピン群が単連結である場合（n > 2の場合のSpin( n )のように）、Spinは系列における最大群であり、3つの群の系列が得られる。

スピン( n ) → SO( n ) → PSO( n )、

パリティによる分割は次のようになります。

スピン(2 n ) → SO(2 n ) → PSO(2 n )、

スピン(2 n +1) → SO(2 n +1) = PSO(2 n +1)、

これらはコンパクトリー代数の3つのコンパクト実形式（SO = PSOの場合は2つ）である。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

被覆と商のホモトピー群は、離散ファイバー（ファイバーが核）を持つファイバー化の長い正確な列によって関連付けられます。したがって、k > 1 のすべてのホモトピー群は等しいですが、π ₀と π ₁は異なる場合があります。

n > 2の場合、Spin( n ) は単連結( π ₀ = π ₁ = Z ₁は自明) なので、SO( n ) は連結されて基本群 Z ₂を持ち、 PSO( n ) は連結されて基本群が Spin( n )の中心に等しくなります。

不定符号では、被覆とホモトピー群はより複雑になります。Spin( p , q ) は単連結ではなく、商は連結成分にも影響します。極大（連結）コンパクトSO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q )とSpin( p , q )の成分群を考慮すると、解析はより単純になります。

ホワイトヘッドタワー

スピン群は、直交群によって固定されたホワイトヘッドタワーに現れます。

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

塔は、昇順のホモトピー群を順次除去（キル）することによって得られる。これは、除去すべきホモトピー群のアイレンバーグ・マクレーン空間から始まる短い完全列を構成することによって行われる。Spin( n ) におけるπ ₃ホモトピー群を除去すると、無限次元弦群String( n ) が得られる。

離散サブグループ

スピン群の離散部分群は、特殊直交群（回転点群）の離散部分群に関連付けることで理解できます。

Spin( n ) → SO( n )の二重被覆が与えられれば、格子定理により、 Spin( n ) の部分群と SO( n ) の部分群（回転点群）の間にはガロア接続が存在する。すなわち、Spin( n )の部分群の像は回転点群であり、点群の逆像は Spin( n ) の部分群であり、Spin( n ) の部分群の閉包作用素は {±1} による乗算である。これらは「二元点群」と呼ばれることがあるが、最もよく知られているのは二元多面体群として知られる3次元の場合である。

具体的には、すべての二元点群は、点群の逆像（したがって、点群Gに対して 2 Gと表記される）であるか、点群の逆像の指数2の部分群で、その点群に（同型に）写像するものである。後者の場合、完全な二元群は抽象的に（{±1} が中心であるため）である。後者の例として、 SO( n ) に奇数位数の巡回群があるとすると、その逆像は2倍位数の巡回群であり、部分群Z _{2 k +1} < Spin( n )はZ _{2 k +1} < SO( n )に同型に写像する。 ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$

特に注目すべきは次の 2 つのシリーズです。

• 高次の二元四面体群は、 n単体の対称性の2重被覆に対応する。この群は、対称群2⋅A _n → A _nの二重被覆とも考えられ、交代群はn単体の（回転）対称群である。
• 高次の二元八面体群、超八面体群の 2 重被覆(超立方体の対称性、またはその双対である交差多面体の対称性) に対応します。

向きが反転する点群の場合、ピン群が2 つ存在するため状況はさらに複雑になり、特定の点群に対応するバイナリ群も 2 つ存在することになります。

参照

• クリフォード代数
• クリフォード分析
• スピノル
• スピノル束
• スピン構造
• リー群表
• アニオン
• 方向のエンタングルメント

関連グループ

• ピン群Pin( n ) –直交群の2重被覆、O( n )
• メタプレクティック群Mp(2 n ) –シンプレクティック群の二重被覆、Sp(2 n )
• 文字列グループString(n) – ホワイトヘッドタワーの次のグループ

参考文献

1. ローソン、H. ブレイン;ミシェルソン、マリー・ルイーズ(1989).スピン幾何学.プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-08542-5。14ページ
2. フリードリヒ、トーマス（2000）、リーマン幾何学におけるディラック演算子、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2055-115ページ
3. ユルゲン・ヨスト『リーマン幾何学と幾何学解析』(2002) シュプリンガー・フェアラークISBN 3-540-42627-2 （第1章を参照）
4. Varadarajan, VS (2004).数学者のための超対称性：入門. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. ISBN 0821835742. OCLC  55487352。
5. ハッチャー、アレン (2002). 代数的位相幾何学(PDF) . ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521795401. 2023年2月24日閲覧。

外部リンク

• スピン グループの基本的な次元は OEIS:A280191 です。
• グロタンディークの「ねじれ指数」は OEIS:A096336 です。

さらに読む

• カロウビ、マックス (2008). K理論. シュプリンガー. pp.  210– 214. ISBN 978-3-540-79889-7。

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