ヤンコグループJ1

Sporadic simple group

群論として知られる現代代数学の分野において、ヤンコ群 J ₁は散在的な単純群であり、

${\displaystyle 175,560=2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 19\approx 2\times 10^{5}}$。

歴史

${\displaystyle J_{1}}$26ある散在群の一つで、1965年にズヴォニミール・ヤンコによって初めて記述されました。ヤンコ自身によって存在が証明された唯一のヤンコ群であり、 19世紀のマシュー群の発見以来初めて発見された散在群です。この発見は、現代の散在群理論の礎を築きました。

1986年、ロバート・A・ウィルソンは、がモンスター群の部分群にはなり得ないことを示した。^{[1]したがって、モンスター群は}パーリア群 と呼ばれる6つの散在群の1つである。 ${\displaystyle J_{1}}$

プロパティ

の最小の忠実な複素表現は次元56である。^{[2] は}、アーベル2-シロー部分群を持ち、その中心化が位数2の群と位数60の交代群の直積、すなわち回転二十面体群と同型である反転を持つ唯一の単純群として抽象的に特徴付けることができる。これがヤンコによるこの群の当初の構想であった。 ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle A_{5}}$

実際、ヤンコとトンプソンはリー群 に似た群を調査していて、単純群がアーベルシロー 2 部分群と、少なくとも 3 の素数べきに対しての形の反転の中心化を持つ場合、 が3 のべき乗でリー群と同じ位数を持つか (後に、この場合は がリー群でなければならないことが示された)、 が4 または 5 であることを示した。 であることに注意してください。この最後の例外的なケースからヤンコ群 が生まれました。 ${\displaystyle ^{2}G_{2}(3^{2n+1})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \operatorname {PSL} _{2}(q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(4)=\operatorname {PSL} _{2}(5)=A_{5}}$ ${\displaystyle J_{1}}$

${\displaystyle J_{1}}$外部自己同型を持たず、そのシュアー乗数は自明である。

${\displaystyle J_{1}}$は、位数 2 の外部自己同型によって固定された元の部分群としてO'Nan 群に含まれる。

${\displaystyle J_{1}}$は、任意の非自明な共役類に対して、 の任意の元が の任意の元に対してに等しいという性質を持つ唯一の有限群である。^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle C}$

建設

モジュロ11表現

ヤンコは、 11個の元からなる体における直交行列のモジュラー表現を発見した。その生成元は次のように与えられる。 ${\displaystyle 7\times 7}$

${\displaystyle Y=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0\end{matrix}}\right)}$

そして

${\displaystyle Z=\left({\begin{matrix}-3&+2&-1&-1&-3&-1&-3\\-2&+1&+1&+3&+1&+3&+3\\-1&-1&-3&-1&-3&-3&+2\\-1&-3&-1&-3&-3&+2&-1\\-3&-1&-3&-3&+2&-1&-1\\+1&+3&+3&-2&+1&+1&+3\\+3&+3&-2&+1&+1&+3&+1\end{matrix}}\right).}$

${\displaystyle Y}$は7次の位数を持ち、5次の位数を持つ。Janko (1966)は、この表現がDicksonの単純群G ₂ (11)（11個の要素を持つ体上の7次元表現を持つ）への埋め込みであるとWA Coppelが認識したとしている。 ${\displaystyle Z}$

順列表現

${\displaystyle J_{1}}$は、 266の頂点と1463の辺を持つ距離推移グラフであるリビングストングラフの自己同型群です。頂点の安定子は であり、辺の安定子は です。 ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(11)}$ ${\displaystyle 2\times A_{5}}$

この置換表現は、部分群から始めて11個の反転 を付加することで暗黙的に構築できる。はこれらの反転を例外的な11点表現の下で置換するため、ペイリー複平面の点と同一視できる。 を定義するには、以下の関係式（組み合わせ）で十分である。^[4] ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(11)}$ ${\displaystyle t^{0},\dots ,t^{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(11)}$ ${\displaystyle J_{1}}$

• 点 および を考えると、との両方を含む直線が 2 本あり、3 つの点はどちらの直線上にもありません。この場合、積は、これら 3 つの点を固定するにおける唯一の反転です。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t^{i}t^{j}t^{i}t^{j}t^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(11)}$
• 共通直線上にない点、、 が与えられると、積はを に、を に、に戻すにおける 6 次一意の元であり、これら 3 点を固定する一意の反転でもあります。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t^{i}t^{j}t^{k}t^{i}t^{j}}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(11)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (t^{i}t^{j}t^{k}t^{i}t^{j})^{j}}$

プレゼンテーション

ジェネレータのペアも存在し、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=(abab^{-1})^{10}=1}$

${\displaystyle J_{1}}$したがって、 は(2,3,7) 三角形群の有限準同型像であるフルヴィッツ群である。

最大部分群

ヤンコ (1966)は、表に示すの最大部分群の 7 つの共役類を発見しました。位数 660 の最大単純部分群は、次数 266 の置換表現を提供します。彼は、交代群に同型な部分群の共役類が 2 つ存在することを発見しました。これらはどちらも位数 660 の単純部分群に存在します。 には、同型性の型が 2 つしかない非可換単純真部分群があります。 ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle J_{1}}$

J ₁の最大部分群

いいえ。	構造	注文	索引	説明
1	L 2 (11)	660 = 2 2 ·3·5·11	266 = 2·7·19	最小順列表現の点を固定する
2	2 3 :7:3	168 = 2 3 ·3·7	1,045 = 5·11·19	シロー2部分群の正規化子
3	2× A5	120 = 2 3 ·3·5	1,463 = 7·11·19	退化の中心化者
4	19:6	114 = 2·3·19	1,540 = 2 2 ·5·7·11	シロー19部分群の正規化子
5	11時10分	110 = 2·5·11	1,596 = 2 2 ·3·7·19	シロー11部分群の正規化子
6	D 6 × D 10	60 = 2 2 ·3·5	2,926 = 2·7·11·19	シロー3部分群とシロー5部分群の正規化子
7	7時6分	42 = 2·3·7	4,180 = 2 2 ·5·11·19	シロー7部分群の正規化子

この表では、は の位数 の二面体群です。 ${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$

各順序の要素数

群の要素の最大位数は 19 です。共役類の位数とサイズは ATLAS に記載されています。

注文	要素数	共役
1 = 1	1 = 1	1クラス
2 = 2	1463 = 7 · 11 · 19	1クラス
3 = 3	5852 = 2 2 · 7 · 11 · 19	1クラス
5 = 5	11704 = 2 3 · 7 · 11 · 19	2クラス、パワー同等
6 = 2 · 3	29260 = 2 2 · 5 · 7 · 11 · 19	1クラス
7 = 7	25080 = 2 3 · 3 · 5 · 11 · 19	1クラス
10 = 2 · 5	35112 = 2 3 · 3 · 7 · 11 · 19	2クラス、パワー同等
11 = 11	15960 = 2 3 · 3 · 5 · 7 · 19	1クラス
15 = 3 · 5	23408 = 2 4 · 7 · 11 · 19	2クラス、パワー同等
19 = 19	27720 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 · 11	3クラス、パワー同等

参考文献

1. Wilson (1986). 「J1はモンスターのサブグループか?」ロンドン数学会報. 18 (4): 349– 350. doi : 10.1112/blms/18.4.349 .
2. ヤンセン（2005）、123ページ
3. アラド、Z。フィスマン、E. (1985)、p.7
4. Curtis, RT (1993)、「対称的表現II：ヤンコ群J ₁」、ロンドン数学会誌(2): 294– 308、doi :10.1112/jlms/s2-47.2.294、ISSN  0024-6107

• Chevalley、Claude (1995) [1967]、「Le groupe de Janko」、Séminaire Bourbaki、Vol. 10、パリ: Société Mathématique de France、pp.  293–307、MR  1610425
• ロバート・A・ウィルソン(1986). J1はモンスター群の部分群か?, Bull. London Math. Soc. 18, no. 4 (1986), 349-350
• RT Curtis, (1993)対称表現II：ヤンコ群 J1、J. London Math. Soc.、47 (2)、294-308。
• RT Curtis、(1996) Janko 群 J1 の元の対称表現、J. Symbolic Comp.、22、201-214。
• Christoph, Jansen (2005). 「散在単純群とその被覆群の忠実表現の最小次数」LMS Journal of Computation and Mathematics . 8 : 123. doi : 10.1112/S1461157000000930 .
• Zvonimir Janko, A new finite simple group with abelian Sylow subgroups, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 53 (1965) 657-658.
• ズヴォニミール・ヤンコ「 アーベル的シロー部分群を持つ新しい有限単純群とその特徴づけ」代数ジャーナル3: 147-186, (1966) doi :10.1016/0021-8693(66)90010-X
• Zvonimir Janko と John G. Thompson、「Ree の有限単純群のクラスについて」、Journal of Algebra、4 (1966)、274-292。

外部リンク

• MathWorld: ヤンコ群
• 有限群表現アトラス：J1 バージョン 2
• 有限群表現アトラス：J1 バージョン 3

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