二面体群

Group of symmetries of a regular polygon

数学において、二面体群とは正多角形の対称性の群であり[ ^{1] [2]、}回転と鏡映を含む。二面体群は有限群の最も単純な例の一つであり、群論、幾何学、化学において重要な役割を果たしている。^[3]

二面体群の表記法は幾何学と抽象代数学で異なります。幾何学では、D _nまたはDih _{n は}、位数2 nの群であるn角形の対称性を指します。抽象代数学では、D _{2 n は}同じ二面体群を指します。^[4]本稿では、幾何学の慣例であるD _nを使用します。

意味

「二面体」という言葉は、「di-」と「-hedron」に由来します。後者はギリシャ語の「hédra」に由来し、「幾何学的立体の面」を意味します。つまり、多角形の2つの面を指します。

要素

辺を持つ正多角形には、回転対称性と鏡映対称性の2つの異なる対称性があります。ここでは、 です。関連する回転と鏡映は二面体群を構成します。が奇数の場合、各対称軸は一方の辺の中点を反対側の頂点に結びます。 が偶数の場合、反対側の辺の中点を結ぶ対称軸と、反対側の頂点を結ぶ対称軸が存在します。どちらの場合でも、対称群には対称軸と要素が存在します。 ^[5] 1つの対称軸で鏡映した後、別の対称軸で鏡映すると、軸間の角度の2倍の回転が生じます。^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

この図は、一時停止標識におけるの16個の要素の効果を示しています。ここで、最初の行は8回の回転の効果、2番目の行は8回の反射の効果を示しています。いずれの場合も、左上に示されている向きで一時停止標識に作用します。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{8}}$

グループ構造

他の幾何学的物体と同様に、正多角形の2つの対称性の合成は、この物体の対称性となる。対称性の合成から別の対称性を生成するという二項演算を用いると、多角形の対称性は有限群の代数的構造を持つ。^[7]

S ₀、S ₁、S ₂とラベル付けされた反射線は、空間（ページ上）で固定されたままであり、三角形に対して対称操作（回転または反射）を実行しても、反射線自体は移動しません（対称性の合成を行うときに重要です）。

次のケーリー表は、 6次の二面体群における合成の効果、つまり正三角形の対称性を示しています。ここで、は恒等回転、はそれぞれ反時計回りに120°と240°回転することを表します。また、、、 は隣の図に示されている3本の直線を挟んだ鏡映関係を表します。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{2}}$

	r 0	r 1	r 2	秒0	1ページ	2ページ
r 0	r 0	r 1	r 2	秒0	1ページ	2ページ
r 1	r 1	r 2	r 0	1ページ	2ページ	秒0
r 2	r 2	r 0	r 1	2ページ	秒0	1ページ
秒0	秒0	2ページ	1ページ	r 0	r 2	r 1
1ページ	1ページ	秒0	2ページ	r 1	r 0	r 2
2ページ	2ページ	1ページ	秒0	r 2	r 1	r 0

例えば、 は、鏡映変換 s ₂の後に鏡映変換 s 2が続くと120° 回転するからです。合成を表す要素の順序は右から左で、要素がその右側の式に作用するという慣例を反映しています。合成演算は可換ではありません。^[7] ${\displaystyle \mathrm {s} _{2}\mathrm {s} _{1}=\mathrm {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$

一般に、この群には要素とが含まれ、その構成は次の式で表されます。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ ${\displaystyle r_{0},\dots ,r_{n-1}}$ ${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{n-1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},&\qquad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\\\mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},&\qquad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.\end{aligned}}}$$

いずれの場合も、添字の加算と減算は、を法とするモジュラー演算を使用して実行されます。 ${\displaystyle n}$

行列表現

正多角形を原点に中心を置くと、二面体群の元は平面の線型変換として作用する。これにより、 の元は行列として表され、その合成は行列の乗算となる。これは（2次元）群表現の例である。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$

例えば、8 位の二面体群（正方形の群対称性）の元は、次の 8 つの行列で表すことができます。^[8]ここで、これらの行列は、原点を中心とする軸に沿った正方形 の対称性を表し、平面上で座標 の列ベクトルへの乗算として作用します。元 は恒等関数を表します。元と は、水平軸と垂直軸を挟んだ鏡映変換を表します。元と は、対角線を挟んだ鏡映変換を表します。他の 3 つの元、、 は、中心の周りの回転です。 ^[8] ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}}$$ ${\textstyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle \mathrm {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {r} _{3}}$

一般に、 の要素の行列は次の形式をとります。ここで、 要素は回転行列であり、 の角度で反時計回りに回転することを表します。 要素は、 -軸と の角度をなす直線を鏡映するものです。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{and}}\\[5pt]\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathrm {r} _{k}}$ ${\displaystyle 2\pi k/n}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{k}}$ ${\displaystyle \pi k/n}$ ${\displaystyle x}$

その他の定義

D _nは自己同型を介して作用する半直積である。^[9] ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}=\{1,s\}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{s}(r)=r^{-1}}$

そのため、プレゼンテーションがあります^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs^{-1}=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=(sr)^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}}$

関係 を用いると、関係 が得られる。従って、は とによって生成される。この置換により、が の表現を持つ ことも分かる。 ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle r=s\cdot sr}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t:=sr}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\left\langle s,t\mid s^{2}=1,t^{2}=1,(st)^{n}=1\right\rangle .}$

特に、D _{n は}Coxeter 群のクラスに属します。

小さな二面体群

六方二面対称性からの部分群の例

D ₁は位数 2 の巡回群Z ₂と同型です。

D ₂はクラインの4元群であるK ₄と同型です。

D ₁とD ₂は次の点で例外的です。

• D ₁とD ₂はアーベル二面体群である。それ以外の場合、D _nは非アーベル群である。
• D _{n は}、 n ≥ 3の対称群S _nの部分群です。n = 1またはn = 2の場合に は2 n > n !となるため、これらの値ではD _nは部分群としては大きすぎます。
• D ₂の内部自己同型群は自明ですが、 nの他の偶数値の場合、これはD _n / Z ₂です。

二面体群のサイクルグラフは、n 元サイクルと n 元サイクルから構成されます。以下の様々な二面体群のサイクルグラフにおいて、黒い頂点は単位元を表し、その他の頂点は群の他の元を表します。サイクルは、単位元に接続されたいずれかの元の連続するべき乗で構成されます。

サイクルグラフ

D 1 = Z 2	D 2 = Z 2 2 = K 4	D3​	D4​	D5​
D 6 = D 3 × Z 2	D7​	D8​	D9​	D 10 = D 5 × Z 2

D 3 = S 3	D4​

2次元では対称群、3次元では回転群としての二面体群

抽象群D _nの一例であり、それを視覚化する一般的な方法として、原点を固定したユークリッド平面等長変換群が挙げられます。これらの群は、2次元における2系列の離散点群のうちの1つを形成します。D n_は、原点を中心とした360°/ nの倍数のn 回転と、互いに180°/ nの倍数の角度をなす、原点を通るn本の直線による鏡映から構成されます。これは、 n辺を持つ正多角形の対称群です（n ≥ 3の場合。これは、n = 1およびn = 2の場合にも適用され、それぞれ「1角形」の中心および「2角形」または線分からオフセットされた点を持つ平面となります）。

D _nはn 次回転rと2 次反射sによって生成され、

${\displaystyle \mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\,}$

幾何学的に言えば、鏡に映った回転は逆回転のように見えます。

複素数に関しては、 による乗算と複素共役です。 ${\displaystyle e^{2\pi i \over n}}$

行列形式では、

${\displaystyle \mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[4pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

とを定義して、 D _nの積の規則を次のように書くことができる。 ${\displaystyle \mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}}$ ${\displaystyle \mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}}$ ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n-1\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {r} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {s} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {s} _{(j-k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {r} _{(j-k){\text{ mod }}n}\end{aligned}}}$

(座標回転と反射を比較してください。)

二面体群 D ₂は、 r を 180 度回転し、x軸を挟んで s を鏡映することによって生成されます。D ₂の元は{e, r, s, rs} と表すことができます。ここで、 e は恒等変換または零変換、 rs はy軸を挟んで鏡映変換です。

_{D 2}の4つの要素（ここではx軸が垂直）

D _2はクラインの4元群と同型である。

n > 2の場合、一般に回転と反射の操作は交換できず、 D _{n は}アーベルではありません。たとえば、D ₄では、90 度回転した後に反射すると、反射した後に 90 度回転した場合とは異なる結果になります。

D ₄は非可換です (ここでは x 軸が垂直です)。

したがって、平面上の対称性の問題への明らかな応用を超えて、これらの群は非アーベル群の最も単純な例の 1 つであり、アーベル群に限定された定理に対する簡単な反例として頻繁に現れます。

D _nの 2 n 個の要素は、e , r , r 2 , ^... , r ^{n −1} , s , rs , r ² s , ... , r ^{n −1} sと表記できます。最初のn個の要素は回転であり、残りのn個の要素は軸反射（いずれも次数 2）です。2 つの回転または 2 つの反射の積は回転であり、回転と反射の積は反射です。

これまで、D _{n は}O(2)のサブグループ、つまり、平面の (原点の周りの) 回転と (原点を通る軸の周りの) 反射のグループであると考えてきました。しかし、表記D _{n は}、抽象グループ型D _nでもあるSO(3)のサブグループにも使用されます。これは、 3 次元空間に埋め込まれた正多角形の適切な対称グループです( n ≥ 3 の場合)。このような図形は、面が 2 個数えられた退化した正立体と見なすことができます。したがって、これは二面体(ギリシャ語で 2 つの面を持つ立体) とも呼ばれ、これが二面体グループ(それぞれ正四面体、八面体、二十面体の適切な対称グループを指す、四面体、八面体、二十面体グループとの類似性) の名前の由来です。

2次元二面対称性の例

• 
  2D D ₁₆対称 – 日本の皇室の璽。16枚の花びらを持つ八重の菊を表現。
• 
  2D D ₆対称性 –赤いダビデの星
• 
  2D D ₁₂対称性 — 中華民国海軍旗（白太陽）
• 
  2D D ₂₄対称性 -インド共和国の国旗に描かれているアショーカ チャクラ。

プロパティ

n ≥ 3の二面体群D _nの性質は、nが偶数か奇数かによって異なります。例えば、nが奇数の場合、 D _nの中心は単位元のみで構成されますが、nが偶数の場合、中心は単位元と r ^{n /2}の2つの要素を持ちます（D _nがO(2) の部分群である場合、これは反転です。これは -1 によるスカラー倍であるため、任意の線形変換と可換であることは明らかです）。

2D 等長変換の場合、これは反転を追加し、既存のものの間で回転とミラーリングを行うことに相当します。

nが奇数の2倍の場合、抽象群D _nはD _{n / 2}とZ ₂の直積と同型です。一般に、m がn を割り切る場合、D _nにはD _m型の部分群がn / m個と、部分群_{m が}1つあります。したがって、 D _n ( n ≥ 1)の部分群の総数はd ( n ) + σ( n ) に等しくなります。ここで、 d ( n ) はnの正の約数の個数、σ ( n ) はnの正の約数の和です 。n ≤  8 の場合については 、小群の一覧を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

位数8の二面体群（D _{4 ）は、} T群ではない群の最小の例である。その2つのクライン四群部分群（D _{4では正規）はいずれも、D 4}における鏡映（反転）によって生成される位数2の部分群を正規部分群として持つが、これらの部分群はD ₄では正規ではない。

反射の共役類

nが奇数の場合、すべての鏡映は互いに共役ですが、 nが偶数の場合、鏡映は2つの共役類に分類されます。正n角形の等長変換を考えてみましょう。nが奇数の場合、群内の鏡のペアごとに回転が生じますが、nが偶数の場合、これらの回転によって1つの鏡から到達できる鏡は半分だけです。幾何学的には、奇数多角形のすべての対称軸は頂点と辺を通りますが、偶数多角形には2組の軸があり、それぞれが共役類に対応しています。つまり、2つの頂点を通る軸と2つの辺を通る軸です。

代数的には、これは共役シロー定理（n が奇数の場合）の一例です。nが奇数の場合、各反射は恒等反射とともに位数 2 のサブグループを形成し、これはシロー 2 サブグループ（2 = 2 ¹は 2 が2 n = 2[2 k + 1]を割り切る最大の累乗です）ですが、 nが偶数の場合、これらの位数 2 のサブグループは、グループの位数が 4（2 のより大きな累乗）で割り切れるため、シロー サブグループではありません。

nが偶数の場合、代わりに 2 種類の反射を交換する外部自己同型が存在します(正確には、内部自己同型によってすべて共役となる外部自己同型のクラス)。

自己同型群

D _nの自己同型群は/ nの正則写像、すなわちHol( / n ) = { ax + b | ( a , n ) = 1 }と同型であり、位数はnϕ ( n ) です。ここでϕはオイラーのトーティエント関数、つまりnと互いに素な1, ..., n − 1内のkの個数です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

これは、反射と基本回転（k がnと互いに素である場合のk (2 π / n ) による回転）の生成元の観点から理解できます。どの自己同型が内部で外部であるかは、nの偶奇性に依存します。

• nが奇数の場合、二面体群は中心を持たないため、どの要素も非自明な内部自己同型を定義します。n が偶数の場合、 180° 回転 (原点を通した反射) が中心の非自明な要素です。
• したがって、 n が奇数の場合、内部自己同型群の位数は 2 nとなり、nが偶数の場合（ n = 2以外）、内部自己同型群の位数はnとなります。
• nが奇数の場合、すべての反射は共役です。n が偶数の場合、それらは 2 つのクラス (2 つの頂点を通るものおよび 2 つの面を通るもの) に分類され、外部自己同型によって関連付けられ、π / n (最小回転の半分) による回転で表すことができます。
• 回転は正規部分群である。鏡映による共役は回転の符号（方向）を変えるが、それ以外は変化しない。したがって、角度をk倍する自己同型（n と互いに素）は、 k = ±1 でない限り外同型である。

自己同型群の例

D ₉には18個の内部自己同型写像​​があります。2次元等長群 D ₉と同様に、この群は20°間隔で鏡像写像を持ちます。18個の内部自己同型写像​​は、鏡像写像の20°の倍数の回転と鏡映写を提供します。等長群として、これらはすべて自己同型写像​​です。抽象群として、これらに加えて、回転角を2倍にするなど、 36個の外部自己同型写像​​があります。

D ₁₀には10個の内部自己同型が存在する。2次元等長群 D ₁₀として、この群は18°間隔で鏡像を持つ。10個の内部自己同型は、鏡像を36°の倍数で回転させ、鏡映関係を与える。等長群として、さらに10個の自己同型が存在する。これらは群外の等長変換によって共役となり、鏡像を内部自己同型に対して18°回転させる。抽象群として、これらの10個の内部自己同型と10個の外部自己同型に加えて、さらに20個の外部自己同型が存在する。例えば、回転を3倍にするなどである。

オイラーのトーシェント関数の値 6 と 4 を比較してください。これは、n = 9 と 10のnを法とする整数の乗法群です。これは、等長写像（回転の順序を同じにするか、順序を逆にするか）としての 2 つの自己同型と比較して、自己同型の数がそれぞれ 3 倍と 2 倍になります。

φ ( n )=2となるnの値は3、4、6のみであり、したがって、それ自身の自己同型群と同型な二面体群はD3（位数6）、_D4（位数8）、D6 （_位数12）の3つだけである。[ ^{11] [} ₁₂ ^{] [13]}

内部自己同型群

D _nの内部自己同型群は次式と同型である: ^[14]

• nが奇数の場合はD _{n 。}
• nが偶数の場合、 D _n / Z _{2 （} n = 2の場合、D ₂ / Z ₂ = 1）。

一般化

二面体群にはいくつかの重要な一般化があります。

• 無限二面体群は、有限二面体群に類似した代数構造を持つ無限群である。これは整数の対称性の群として見ることができる。
• 直交群O(2)、すなわち円の対称群も二面体群と同様の性質を持つ。
• 一般化二面体群のファミリーには、上記の両方の例のほか、他の多くの群が含まれます。
• 準二面体群は二面体群と同様の特性を持つ有限群のファミリーです。

参照

• 座標回転と反射
• 二面体群のサイクル指数
• 二環式基
• 3次元における二面体対称群
• 3次元における二面対称性

参考文献

1. Weisstein, Eric W.「二面体群」。MathWorld。
2. ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004). 『抽象代数（第3版）』John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9。
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14. Miller, GA (1942年9月). 「二面体群の自己同型性」. Proc Natl Acad Sci USA . 28 (9): 368– 71. Bibcode :1942PNAS...28..368M. doi : 10.1073/pnas.28.9.368 . PMC 1078492. PMID  16588559 . 

外部リンク

• Shawn Dudzik による 2n 次の二面体群 n、Wolfram Demonstrations Project。
• Groupprops の二面体グループ
• ワイスタイン、エリック・W.「二面体群」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「二面体群D3」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「二面体群D4」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「二面体群D5」。MathWorld。
• デイビス、デクラン. 「二面体群 D6」. MathWorld .
• GroupNames 上の二面体群

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