Sporadic simple group
群論 として知られる現代代数学の分野において 、 ヤンコ群 J 3 または ヒグマン・ヤンコ・マッケイ群 HJMは、 散在 的な単純群 で あり、
50,232,960 = 2 7 · 3 5 · 5 · 17 · 19。
歴史と特性 J 3 は 26個の散在群 の一つであり、 1969年に ズヴォニミール・ヤンコ によって、 2 1+4 :A 5 を 反転の中心化群とする二つの新しい単純群の一つとして予言されました（もう一つはヤンコ群 J 2 です）。J 3 は グラハム・ヒグマン と ジョン・マッケイ によって1969年に存在が示されました 。
1982年に RLグリースは J 3 が モンスター群 の 部分商に はなり得ない ことを示した 。 [1]従って、これは パーリア群 と呼ばれる6つの散在群の1つである 。
J 3 は 位数2の 外自己同型群と位数3の シュア乗数 を持ち 、その三重被覆は4元の 有限体 上の9次元ユニタリ 表現を持つ。Weiss (1982) は基礎幾何学を用いてこれを構築した。J 3 は9元の 有限体 上の18次元のモジュラー表現を持つ 。また、J 3 は18次元の複素射影表現を持つ。
建設
行列の使用 J3は多くの異なる生成器 によって構築できる 。 [2] ATLASリストの2つは、 有限体演算 で行列乗算を実行する、9次の 有限体 上の18x18行列である。
( 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 3 7 4 8 4 8 1 5 5 1 2 0 8 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 8 6 2 4 8 0 4 0 8 4 5 0 8 1 1 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0\\3&7&4&8&4&8&1&5&5&1&2&0&8&6&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8\\4&8&6&2&4&8&0&4&0&8&4&5&0&8&1&1&8&5\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\\end{matrix}}\right)}
そして
( 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 2 7 4 5 7 4 8 5 6 7 2 2 8 8 0 0 5 0 4 7 5 8 6 1 1 6 5 3 8 7 5 0 8 8 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 2 5 5 7 2 8 1 5 5 7 8 6 0 0 7 3 8 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\4&4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0\\2&7&4&5&7&4&8&5&6&7&2&2&8&8&0&0&5&0\\4&7&5&8&6&1&1&6&5&3&8&7&5&0&8&8&6&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0\\8&2&5&5&7&2&8&1&5&5&7&8&6&0&0&7&3&8\\\end{matrix}}\right)}
サブグループPSL(2,16)を使用する 自己同型群 J 3 :2 は、部分群 PSL(2,16):4 から出発し、それに付随する 120 個の反転（これらは シロー 17 部分群と同一視される）によって構成できる。これらの 120 個の反転は J 3 :2の外元であることに注意されたい 。そして、次の関係を定義する。
( 1 1 1 0 σ t ( ν , ν 7 ) ) 5 = 1 {\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\sigma t_{(\nu ,\nu 7)}\right)^{5}=1}
ここで は4次の フロベニウス自己同型 であり、 は 17サイクルの唯一のものであって、 σ {\displaystyle \sigma } t ( ν , ν 7 ) {\displaystyle t_{(\nu ,\nu 7)}}
∞ → 0 → 1 → 7 {\displaystyle \infty \rightarrow 0\rightarrow 1\rightarrow 7}
カーティスはコンピュータを用いてこの関係式が J3 : 2を定義するのに十分であることを示した。 [3]
プレゼンテーションの使用 生成元a、b、c、dを用いて、その自己同型群J 3 :2は 次のように 表される。 a 17 = b 8 = a b a − 2 = c 2 = b c b 3 = ( a b c ) 4 = ( a c ) 17 = d 2 = [ d , a ] = [ d , b ] = ( a 3 b − 3 c d ) 5 = 1. {\displaystyle a^{17}=b^{8}=a^{b}a^{-2}=c^{2}=b^{c}b^{3}=(abc)^{4}=(ac)^{17}=d^{2}=[d,a]=[d,b]=(a^{3}b^{-3}cd)^{5}=1.}
J 3 を（異なる）生成子 a, b, c, d で 表すと、 a 19 = b 9 = a b a 2 = c 2 = d 2 = ( b c ) 2 = ( b d ) 2 = ( a c ) 3 = ( a d ) 3 = ( a 2 c a − 3 d ) 3 = 1. {\displaystyle a^{19}=b^{9}=a^{b}a^{2}=c^{2}=d^{2}=(bc)^{2}=(bd)^{2}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(a^{2}ca^{-3}d)^{3}=1.}
最大部分群 FinkelsteinとRudvalis（1974）は、 J3 の 最大部分群の9つの共役類を 次のように発見した。
J 3 の最大部分群 いいえ。 構造 注文 索引 コメント 1 L 2 (16):2 8,160 = 2 5 ·3·5·17 6,156 = 2 2 ·3 4 ·19 2,3 L 2 (19) 3,420 = 2 2 ·3 2 ·5·19 14,688 = 2 5 ·3 3 ·17 外部自己同型によって融合された2つのクラス 4 2 4 : (3 × A 5 ) 2,880 = 2 6 ·3 2 ·5 17,442 = 2·3 3 ·17·19 5 L 2 (17) 2,448 = 2 4 ·3 2 ·17 20,520 = 2 3 ·3 3 ·5·19 位数2の外部自己同型の中心化 6 （3 × A 6 ）:2 2 2,160 = 2 4 ·3 3 ·5 23,256 = 2 3 ·3 2 ·17·19 位数3の部分群の正規化子（クラス3A） 7 3 2+1+2 :8 1,944 = 2 3 ·3 5 25,840 = 2 4 ·5·17·19 シロー3部分群の正規化子 8 2 1+4 – :A 5 1,920 = 2 7 ·3·5 26,163 = 3 4 ·17·19 退化の中心化者 9 2 2+4 : (3 × S 3 ) 1,152 = 2 7 ·3 2 43,605 = 3 3 ·5·17·19
参考文献 ^ Griess (1982): p. 93: J 3 がパーリアであることの証明。 ^ J3のATLASページ ^ Bradley, JD; Curtis, RT (2006)、「対称生成と J 3 :2の存在、第三ヤンコ群の自己同型群」、 Journal of Algebra 、 304 (1): 256– 270、 doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.09.046 フィンケルスタイン, L.; ルドヴァリス, A. (1974), 「位数50,232,960のヤンコ単純群の最大部分群」, Journal of Algebra , 30 ( 1– 3): 122– 143, doi : 10.1016/0021-8693(74)90196-3 , ISSN 0021-8693, MR 0354846 RL Griess , Jr., The Friendly Giant , Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102. p. 93: J 3 がパーリアであることの証明。 ヒグマン、グラハム ； マッケイ、ジョン （1969）「位数50,232,960のヤンコ単純群について」 ロンドン数学会誌 、 1 : 89–94 、訂正p.219、 doi :10.1112/blms/1.1.89、 MR 0246955 Z. Janko, Some new finite simple groups of finite order , 1969 Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1967/68), Vol. 1 pp. 25–64 Academic Press, London, および The theory of finite groups (Edited by Brauer and Sah) p. 63-64, Benjamin, 1969. MR 0244371 ワイス、リチャード (1982)。 「Janko のグループ J 3 の幾何学的構造 」。 数学的ツァイシュリフト 。 179 (179): 91–95 。 土井 :10.1007/BF01173917。
外部リンク MathWorld: ヤンコ群 有限群表現アトラス：J3 バージョン 2 有限群表現アトラス：J3 バージョン 3 
![{\displaystyle a^{17}=b^{8}=a^{b}a^{-2}=c^{2}=b^{c}b^{3}=(abc)^{4}=(ac)^{17}=d^{2}=[d,a]=[d,b]=(a^{3}b^{-3}cd)^{5}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d1b22df8960eecb0fa0cb95e013899c64d4e30)
