コンウェイグループ Co2
| Algebraic structure → Group theory Group theory |
|---|
 |
群論として知られる現代代数学の分野では、コンウェイ群 Co 2は散在的な単純群であり、
- 42,305,421,312,000
- = 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23
- ≈ 4 × 1013 .
歴史と特性
Co 2は26個の散在群の一つであり、( Conway 1968, 1969)によって、型 2の格子ベクトルを固定したリーチ格子Λの自己同型群として発見された。したがって、 Co 0の部分群である。Co 1の部分群と同型である。直積 2×Co 2はCo 0において最大となる。
シュアー乗数と外部自己同型群は両方とも自明である。
表現
Co 2 は2300点上の階数3の順列群として作用する。これらの点は、タイプ2の頂点を6つ持つリーチ格子の平面六角形と同一視できる。
Co 2 は、ノルム4のベクトルに直交するリーチ格子の部分格子として与えられる、行列式4の根を持たない23次元偶整数格子に作用する。2元体上では22次元の忠実な表現を持つ。これは任意の体上で最小の忠実な表現である。
Feit (1974) は、有限群が次元 23 の絶対既約な忠実な有理表現を持ち、指数 23 または 24 のサブグループを持たない場合、その有限群はZ /2 Z × Co 2またはZ /2 Z × Co 3のいずれかに含まれることを示した。
マシュー群M 23はCo 2の極大部分群と同型であり、置換行列における表現の一つはタイプ2ベクトルu = (-3,1 23 )を固定する。反転η = のブロック和ζは
-η の5つのコピーも同じベクトルを固定します。したがって、Co 2はCo 0の標準表現の内部に便利な行列表現を持ちます。ζのトレースは-8ですが、M 23の反転はトレース8です。
η と -η の 24 次元ブロック和がCo 0に含まれるのは、η のコピー数が奇数の場合のみです。
別の表現では、ベクトルv = (4,-4,0 22 ) を固定する。単項式かつ最大部分群には M 22 :2 の表現が含まれる。ここで、任意の α は最初の2つの座標を入れ替えることで、ベクトルを反転し、 v を復元する。また、八組（トレース8）、16組（トレース-8）、および十二組（トレース0）に対応する対角反転も含まれる。Co 2には反転の共役類が3つだけあることが示される。η は (4,-4,0,0) を変更しない。ブロック和 ζ は、Co 2のこの表現を完成させる非単項式生成子を提供する。
vの安定集合を構築する別の方法がある。ここでuとu + v = (1,-3,1 22 ) は2-2-2三角形の頂点である（下記参照）。するとu、u + v、v、およびそれらの負の集合は、ζとM 22で固定された共面六角形を形成し、これらは群Fi 21 ≈ U 6 (2) を生成する。α（上記参照）はこれを Fi 21 :2 に拡張し、これはCo 2で最大となる。最後に、Co 0はタイプ2の点に対して推移的であるため、23サイクルの固定u は共役固定vを持ち、生成は完了する。
最大部分群
いくつかの極大部分群は、リーチ格子の2次元部分格子を固定または反射します。これらの平面は、通常、 hkl三角形、つまり原点を頂点とし、辺（頂点の差）がh、k、l型のベクトルである三角形で定義されます。
ウィルソン（2009）は、 Co 2の最大部分群の11個の共役類を次のように発見した。
| いいえ。 | 構造 | 注文 | 索引 | コメント |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Fi 21 :2 ≈ U 6 (2):2 | 18,393,661,440 = 2 16 ·3 6 ·5·7·11 | 2,300 = 2 2 ·5 2 ·23 | 6つのタイプ2点からなる共平面六角形の対称／鏡映群。Co 2のランク3置換表現における1つの六角形を、そのような六角形2300個に固定する。この部分群の下では、六角形は1、891、および1408の軌道に分割される。Fi 21は、平面を定義する2-2-2三角形を固定する。 |
| 2 | 2 10 : M 22 :2 | 908,328,960 = 2 18 ·3 2 ·5·7·11 | 46,575 = 3 4 ·5 2 ·23 | は上記の単項式表現を持ちます。2 10 : M 22は 2-2-4 三角形を固定します。 |
| 3 | マックL | 898,128,000 = 2 7 ·3 6 ·5 3 ·7·11 | 47,104 = 2 11 ·23 | 2-2-3の三角形を固定する |
| 4 | 21+8 +:Sp 6 (2) | 743,178,240 = 2 18 ·3 4 ·5·7 | 56,925 = 3 2 ·5 2 ·11·23 | クラス2Aの退縮の中心化（トレース-8） |
| 5 | HS :2 | 88,704,000 = 2 10 ·3 2 ·5 3 ·7·11 | 476,928 = 2 8 ·3 4 ·23 | 2-3-3三角形を固定するか、そのタイプ3の頂点を符号を変えて交換する |
| 6 | （2 4 × 21+6 +）。A 8 | 41,287,680 = 2 17 ·3 2 ·5·7 | 1,024,650 = 2·3 4 ·5 2 ·11·23 | クラス2Bの退縮の中心化 |
| 7 | U 4 (3):D 8 | 26,127,360 = 2 10 ·3 6 ·5·7 | 1,619,200 = 2 8 ·5 2 ·11·23 | |
| 8 | 2 4+10 .(S 5 × S 3 ) | 11,796,480 = 2 18 ·3 2 ·5 | 3,586,275 = 3 4 ·5 2 ·7·11·23 | |
| 9 | M 23 | 10,200,960 = 2 7 ·3 2 ·5·7·11·23 | 4,147,200 = 2 11 ·3 4 ·5 2 | 2-3-4三角形を固定する |
| 10 | 31+4 +. 21+4 –.S 5 | 933,120 = 2 8 ·3 6 ·5 | 45,337,600 = 2 10 ·5 2 ·7·11·23 | 位数3の部分群の正規化子（クラス3A） |
| 11 | 51+2 +:4S 4 | 12,000 = 2 5 ·3·5 3 | 3,525,451,776 = 2 13 ·3 5 ·7·11·23 | 位数5の部分群（クラス5A）の正規化子 |
共役類
Co2の標準的な24次元表現における行列のトレースが示されている。[1]共役類の名前は有限群表現アトラスから取られている。[2]
構造が不明なセントラライザーは括弧で示されます。
| クラス | 中央集権化の秩序 | セントラライザー | クラスの規模 | トレース | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1A | すべてのCO2 | 1 | 24 | ||
| 2A | 7億4,317万8,240 | 2 1+8 :Sp 6 (2) | 3 2 ·5 2 ·11·23 | -8 | |
| 2B | 41,287,680 | 2 1+4 :2 4 .A 8 | 2·3 4 ·5 2 11·23 | 8 | |
| 2C | 1,474,560 | 2 10 .A 6 .2 2 | 2 3 ·3 4 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 3A | 466,560 | 3 1+4 2 1+4 A 5 | 2 11 ·5 2 ·7·11·23 | -3 | |
| 3B | 155,520 | 3×U 4 (2).2 | 2 11 ·3·5 2 ·7·11·23 | 6 | |
| 4A | 3,096,576 | 4.2 6 .U 3 (3).2 | 2 4 ·3 3 ·5 3 ·11·23 | 8 | |
| 4B | 122,880 | [2 10 ]S 5 | 2 5 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | -4 | |
| 4C | 73,728 | [2 13 .3 2 ] | 2 5 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 4 | |
| 4D | 49,152 | [2 14 .3] | 2 4 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 4E | 6,144 | [2 11 .3] | 2 7 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 4 | |
| 4階 | 6,144 | [2 11 .3] | 2 7 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 4G | 1,280 | [2 8 .5] | 2 10 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 5A | 3,000 | 5 1+2 2A 4 | 2 15 ·3 5 ·7·11·23 | -1 | |
| 5B | 600 | 5×S 5 | 2 15 ·3 5 ·5·7·11·23 | 4 | |
| 6A | 5,760 | 3.2 1+4 A5 | 2 11 ·3 4 ·5 2 ·7·11·23 | 5 | |
| 6B | 5,184 | [2 6 .3 4 ] | 2 12 ·3 2 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 6C | 4,320 | 6×S 6 | 2 13 ·3 3 ·5 2 ·7·11·23 | 4 | |
| 6D | 3,456 | [2 7 .3 3 ] | 2 11 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23 | -2 | |
| 6E | 576 | [2 6 .3 2 ] | 2 12 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 6階 | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 7A | 56 | 7× D8 | 2 15 ·3 6 ·5 3 ·11·233 | 3 | |
| 8A | 768 | [2 8 .3] | 2 10 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 8B | 768 | [2 8 .3] | 2 10 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | -2 | |
| 8C | 512 | [2 9 ] | 2 9 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 4 | |
| 8D | 512 | [2 9 ] | 2 9 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 8E | 256 | [2 8 ] | 2 10 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 8階 | 64 | [2 6 ] | 2 12 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 9A | 54 | 9×S 3 | 2 17 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23 | 3 | |
| 10A | 120 | 5×2.A 4 | 2 15 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 3 | |
| 10B | 60 | 10×S 3 | 2 16 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 2 | |
| 10C | 40 | 5× D8 | 2 15 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 11A | 11 | 11 | 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·23 | 2 | |
| 12A | 864 | [2 5 .3 3 ] | 2 13 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23 | -1 | |
| 12B | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 12世紀 | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 12D | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | -2 | |
| 12E | 96 | [2 5 .3] | 2 13 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 3 | |
| 12階 | 96 | [2 5 .3] | 2 13 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 12G | 48 | [2 4 .3] | 2 14 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 12時間 | 48 | [2 4 .3] | 2 14 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 14A | 56 | 5× D8 | 2 15 ·3 6 ·5 3 ·11·23 | -1 | |
| 14B | 28 | 14×2 | 2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23 | 1 | 電力換算値 |
| 14世紀 | 28 | 14×2 | 2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23 | 1 | |
| 15A | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 1 | |
| 15B | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 2 | 電力換算値 |
| 15C | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 2 | |
| 16A | 32 | 16×2 | 2 13 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 2 | |
| 16B | 32 | 16×2 | 2 13 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 18A | 18 | 18 | 2 17 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 20A | 20 | 20 | 2 16 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23 | 1 | |
| 20B | 20 | 20 | 2 16 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 23A | 23 | 23 | 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11 | 1 | 電力換算値 |
| 23B | 23 | 23 | 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11 | 1 | |
| 24A | 24 | 24 | 2 15 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 0 | |
| 24B | 24 | 24 | 2 15 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23 | 1 | |
| 28A | 28 | 28 | 2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23 | 1 | |
| 30A | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | -1 | |
| 30B | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 0 | |
| 30℃ | 30 | 30 | 2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23 | 0 |
参考文献
- コンウェイ、ジョン・ホートン(1968)、「8,315,553,613,086,720,000 の位数の完全群と散在単純群」、米国科学アカデミー紀要、61 (2): 398– 400、Bibcode :1968PNAS...61..398C、doi : 10.1073/pnas.61.2.398、MR 0237634、PMC 225171、PMID 16591697
- コンウェイ、ジョン・ホートン(1969)、「8,315,553,613,086,720,000 の位数の群」、ロンドン数学会報、1 : 79– 88、doi :10.1112/blms/1.1.79、ISSN 0024-6093、MR 0248216
- コンウェイ、ジョン・ホートン（1971）「例外群に関する3つの講義」、パウエル、MB；ヒグマン、グラハム（編）、有限単純群、ロンドン数学会（NATO高等研究所）主催の教育会議議事録、オックスフォード、1969年9月。ボストン、マサチューセッツ州：アカデミック・プレス、pp. 215– 247、ISBN 978-0-12-563850-0、MR 0338152Conway & Sloane (1999, 267–298)に再録
- ジョン・ホートン・コンウェイ; Sloane、Neil JA (1999)、Sphere Packings, Lattices and Groups、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 290 (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-1-4757-2016-7、ISBN 978-0-387-98585-5、MR 0920369
- フェイト、ウォルター（1974）「有限群の積分表現について」ロンドン数学会誌、第3シリーズ、29（4）：633-683、doi：10.1112/plms/s3-29.4.633、ISSN 0024-6115、MR 0374248
- トンプソン、トーマス・M.（1983）「誤り訂正符号から球面パッキングを経て単純群へ」、Carus Mathematical Monographs、第21巻、アメリカ数学協会、ISBN 978-0-88385-023-7、MR 0749038
- コンウェイ、ジョン・ホートン；パーカー、リチャード・A.；ノートン、サイモン・P.；カーティス、RT；ウィルソン、ロバート・A.（1985）有限群の地図帳、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853199-9、MR 0827219
- Griess、Robert L. Jr. (1998)、12 の散発グループ、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-662-03516-0、ISBN 978-3-540-62778-4、MR 1707296
- ウィルソン、ロバート・A.（1983）「コンウェイ群の最大部分群·2」、代数ジャーナル、84（1）：107–114、doi：10.1016/0021-8693（83）90069-8、ISSN 0021-8693、MR 0716772
- ウィルソン、ロバート A. (2009) 「有限単純群」、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi :10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5、Zbl 1203.20012
- 特定の
- ^ ウィルソン（1983）
- ^ 「ATLAS: コンウェイグループ Co2」。
外部リンク
- MathWorld: コンウェイ群
- 有限群表現のアトラス: Co2 バージョン 2
- 有限群表現のアトラス: Co2 バージョン 3
