正確な微分方程式

Type of differential equation subject to a particular solution methodology

数学において、厳密な微分方程式または全微分方程式は、物理学や工学で広く使用されているある種の常微分方程式です。

意味

の単連結かつ開集合Dと、D上で連続な2つの関数IとJが与えられると、次の形式の暗黙的な1階常微分方程式が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,}$

が正確な微分方程式と呼ばれるのは、ポテンシャル関数と呼ばれる連続的に微分可能な関数Fが存在するときで ある^{[1] [2]。}

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=I}$

そして

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=J.}$

正確な方程式は次の形式で表すこともできます。

${\displaystyle I(x,y)+J(x,y)\,y'(x)=0}$

ここで、微分方程式が正確であるためには、 IとJに同じ制約が適用されます。

「厳密な微分方程式」という用語の意味は、関数の厳密な微分を指します。関数 について、に関する厳密な微分、つまり全微分は次のように与えられます 。 ${\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {dF}{dx_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dx_{0}}}.}$

例

関数は ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c}$

は微分方程式のポテンシャル関数である

${\displaystyle x\,dx+y\,dy=0.\,}$

一次厳密微分方程式

一次厳密微分方程式の同定

関数、、、（添え字​​は相対変数に関する偏微分を表す）が の領域で連続であるとする。このとき、微分方程式は ${\textstyle M}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle M_{y}}$ ${\textstyle N_{x}}$ ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$

${\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0}$

は、次の場合にのみ正確である

${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$

つまり、ポテンシャル関数と呼ばれる関数が存在し、 ${\displaystyle \psi (x,y)}$

${\displaystyle \psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

つまり、一般的には:

${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}$

証拠

証明は2つの部分から成ります。

まず、次のような関数があるとする。 ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

すると、 ${\displaystyle M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)}$

と は連続なので、とも連続となり、それらの等式が保証されます。 ${\displaystyle M_{y}}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle \psi _{xy}}$ ${\displaystyle \psi _{yx}}$

証明の第二部では、 の構築について述べ、これは一階の厳密な微分方程式を解く手順としても使える。 と を仮定し、に対して ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

まず、最初の方程式を について積分します。実際には、適切な変数について積分が行われていれば、最初の方程式と2番目の方程式のどちらを積分しても問題ありません。 ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)}$$ $${\displaystyle \psi (x,y)=\int M(x,y)\,dx+h(y)}$$ $${\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)}$$

ここで、 は となる任意の微分可能関数です。 関数は積分の定数としての役割を果たしますが、単なる定数ではなく の関数です。 はとの両方の関数であり、 についてのみ積分しているからです。 ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle Q_{x}=M}$ ${\displaystyle h(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

ここで、となるような が常に見つかるということを示します。 ${\displaystyle h(y)}$ ${\displaystyle \psi _{y}=N}$ $${\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)}$$

両辺を について微分します。 ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)}$$

結果を に設定し、 を解きます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h'(y)}$ $${\displaystyle h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)}$$

この方程式からを求めるには、右辺は のみに依存しなければなりません。これは、 の に関する微分が常にゼロであることを示すことで証明できます。したがって、右辺を について微分します。 ${\displaystyle h'(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)}$$

なので、最初の仮定に基づいて、これはゼロになります。 ${\displaystyle Q_{x}=M}$ $${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)}$$ ${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$

したがって、 $${\displaystyle h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)}$$ $${\displaystyle h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}}$$

$${\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+\int \left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)\,dy+C}$$

これで証明は完了です。

一次厳密微分方程式の解

一次厳密微分方程式は次のようになる。 $${\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0}$$

ポテンシャル関数で表すことができる ${\displaystyle \psi (x,y)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0}$$

どこ $${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}$$

これはの全微分を取ることと同じです。 ${\displaystyle \psi (x,y)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0}$$

厳密な微分方程式の解は次のように与えられる。 $${\displaystyle \psi (x,y(x))=c}$$

そして問題は を見つけることに帰着します。 ${\displaystyle \psi (x,y)}$

これは、 と の 2 つの式を積分し、結果の式の各項を 1 回だけ書き出して合計し、 を取得することで実行できます。 ${\displaystyle M(x,y)\,dx}$ ${\displaystyle N(x,y)\,dy}$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$

その理由は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}$$

両辺を統合すると、 $${\displaystyle {\begin{cases}\psi (x,y)=\int M(x,y)\,dx+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int N(x,y)\,dy+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}}$$

したがって、 $${\displaystyle Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)}$$

ここで、 およびは、および となる微分可能関数です。 ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q_{x}=M}$ ${\displaystyle P_{y}=N}$

これが真であり、両辺が全く同じ式、すなわち となるためには、 が の式内に含まれている必要があります。なぜなら、 は の関数ではなく の関数であるため、 内に含めることができず、 とは何の関係も持た​​ないからです。類推として、は の式内に含まれている必要があります。 ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle h(y)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$

したがって、 $${\displaystyle Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)}$$

いくつかの式とに対して、となる。上の式に代入すると、となり、とな​​るので、とは同じ関数となる。したがって、 ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ $${\displaystyle g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)}$$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ $${\displaystyle Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)}$$

すでに示したように $${\displaystyle {\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}}$$

すると $${\displaystyle \psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)}$$

したがって、とを実行し、得られた 2 つの式内で見つかった共通の項 ( ) を取り、そのいずれかにのみ見つかる項 ( と ) を追加することで、を構築できます。 ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \int M(x,y)\,dx}$ ${\displaystyle \int N(x,y)\,dy}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(y)}$

2階厳密微分方程式

厳密な微分方程式の概念は2階微分方程式に拡張することができる。^[3]まず1階厳密な方程式から考えてみよう。

${\displaystyle I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0}$

関数 、 は両方とも2変数の関数であるため、多変数関数を暗黙的に微分すると次の式が得られます。 ${\displaystyle I(x,y)}$ ${\displaystyle J(x,y)}$

${\displaystyle {dI \over dx}+\left({dJ \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

全導関数を展開すると、

${\displaystyle {dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

そして

${\displaystyle {dJ \over dx}={\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}}$

これらの用語 を組み合わせると ${\textstyle {dy \over dx}}$

${\displaystyle {\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I \over \partial y}+{\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

方程式が正確であれば、 となる。さらに、 の全微分はその暗黙の常微分 に等しい。このことから、書き直した方程式は次のようになる。 ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$ ${\displaystyle J(x,y)}$ ${\textstyle {dJ \over dx}}$

${\displaystyle {\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

さて、2階微分方程式があるとする。

${\displaystyle f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

正確な微分方程式の 場合、 ${\displaystyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$

${\displaystyle \int \left({\partial I \over \partial y}\right)\,dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)\,dy}$

そして

${\displaystyle \int \left({\partial I \over \partial y}\right)\,dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)\,dy=I(x,y)-h(x)}$

ここで、 は のみの任意の関数であり、を について偏微分した際にゼロに微分されたものである。符号は正になる可能性もあるが、積分の結果は、偏微分されてゼロになった 元々の関数が欠落していると考える方が直感的である。 ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle I(x,y)}$ ${\displaystyle h(x)}$

次に、もし

${\displaystyle {dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

の項はとのみの​​関数となる。なぜなら に関する偏微分は一定となり の導関数は生成されないからである。2次方程式において ${\displaystyle {\partial I \over \partial x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

項 のみがとの純粋な項である。 とする。 ならば、 ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\partial I \over \partial x}=f(x,y)}$ ${\displaystyle {\partial I \over \partial x}=f(x,y)}$

${\displaystyle f(x,y)={dI \over dx}-{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}}$

の に関する全微分は暗黙の常微分と等しいので、 ${\displaystyle I(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {dI \over dx}}$

${\displaystyle f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}(I(x,y)-h(x))+{dh(x) \over dx}}$

それで、

${\displaystyle {dh(x) \over dx}=f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))}$

そして

${\displaystyle h(x)=\int \left(f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right)\,dx}$

したがって、2階微分方程式

${\displaystyle f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))=0}$

は、以下の式が成り立つ場合にのみ正確である。 ${\displaystyle g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}}$

${\displaystyle \int \left(f(x,y)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right)\,dx=\int \left(f(x,y)-{\partial \left(I(x,y)-h(x)\right) \over \partial x}\right)\,dx}$

は のみの関数です。を任意定数で計算したら、 に加えて を作成します。方程式が正確な場合、1次厳密方程式に通常の方法で解ける1次厳密形に簡約できます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle I(x,y)-h(x)}$ ${\displaystyle I(x,y)}$

${\displaystyle I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0}$

ただし、最終的な暗黙的な解には、 2次方程式から予想されるように、 の 2 倍の に関する の積分からの項と、2 つの任意定数が含まれます。 ${\displaystyle C_{1}x}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C_{2}}$

例

微分方程式

${\displaystyle (1-x^{2})y''-4xy'-2y=0}$

項を調べることで、正確性はいつでも簡単に確認できます。この場合、 の偏微分と全微分はどちらもなので、それらの和は となり、これは の前の項と全く同じです。正確性の条件の1つが満たされると、次のように計算できます。 ${\displaystyle y''}$ ${\displaystyle 1-x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -2x}$ ${\displaystyle -4x}$ ${\displaystyle y'}$

${\displaystyle \int (-2x)\,dy=I(x,y)-h(x)=-2xy}$

貸し出す、そして ${\displaystyle f(x,y)=-2y}$

${\displaystyle \int \left(-2y-2xy'-{d \over dx}(-2xy)\right)\,dx=\int (-2y-2xy'+2xy'+2y)\,dx=\int (0)\,dx=h(x)}$

したがって、は確かに のみの関数であり、2階微分方程式は正確である。したがって、であり、 である。これを1階厳密な方程式に簡約すると、 ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h(x)=C_{1}}$ ${\displaystyle I(x,y)=-2xy+C_{1}}$

${\displaystyle -2xy+C_{1}+(1-x^{2})y'=0}$

利回りに関して積分する ${\displaystyle I(x,y)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle -x^{2}y+C_{1}x+i(y)=0}$

ここで、 は の任意の関数です。 を について微分すると、導関数と項を相関させる方程式が得られます。 ${\displaystyle i(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$

${\displaystyle -x^{2}+i'(y)=1-x^{2}}$

したがって、完全な暗黙の解は次のようになります。 ${\displaystyle i(y)=y+C_{2}}$

${\displaystyle C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0}$

利回りを明示的に解く ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}}$

高階厳密微分方程式

厳密な微分方程式の概念は任意の次数まで拡張できる。厳密な2次方程式から始めると、

${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}(J(x,y))+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+f(x,y)=0}$

以前、この式は次のように定義されることが示されました。

${\displaystyle f(x,yt)={dht(x) \over dx}+{d \over dx}(I(x,y)-h(x))-{\partial J \over \partial x}{dy \over dx}}$

正確な2階微分方程式を暗黙的に微分すると、方程式の形から容易に導き出せる新たな正確性条件を持つ階微分方程式が得られる。例えば、上記の2階微分方程式を1回微分すると、3階の正確な方程式が得られる。これは以下の形となる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+2)}$

${\displaystyle {d^{3}y \over dx^{3}}(J(x,y))+{d^{2}y \over dx^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+{df(x,y) \over dx}=0}$

どこ

${\displaystyle {df(x,y) \over dx}={d^{2}h(x) \over dx^{2}}+{d^{2} \over dx^{2}}(I(x,y)-h(x))-{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$

であり、 はとのみの​​関数である。 から来ないすべての項と項を組み合わせると、 ${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {dy \over dx}}$ ${\displaystyle {dy \over dx}}$ ${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}}$ ${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)}$

${\displaystyle {d^{3}y \over dx^{3}}(J(x,y))+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0}$

したがって、三階微分方程式の正確性に関する3つの条件は、項が であり、項が であり、 ${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}}$ ${\displaystyle 2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}}$ ${\displaystyle {dy \over dx}}$ ${\displaystyle {d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)}$

${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}(I(x,y)-h(x))+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)}$

は のみの関数である必要があります。 ${\displaystyle x}$

例

非線形三階微分方程式を考える

${\displaystyle yy'''+3y'y''+12x^{2}=0}$

ならば、となり、これらを足し合わせると となる。幸いにも、これはこの式に現れている。最後の正確さの条件として、 ${\displaystyle J(x,y)=y}$ ${\displaystyle y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)}$ ${\displaystyle 2y'y''}$ ${\displaystyle y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''}$ ${\displaystyle 3y'y''}$

${\displaystyle F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I(x,y)-h(x)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}}$

これは確かに のみの関数である。したがって、この微分方程式は正確である。2回積分すると となる。この方程式を1階の正確な微分方程式として書き直すと、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h(x)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I(x,y)}$

${\displaystyle x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0}$

を積分すると となる。 を微分し、それを一次方程式のの前の項と等しくするととなり、 となる。完全な暗黙解は ${\displaystyle I(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i(y)=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle i'(y)=y}$ ${\displaystyle i(y)={y^{2} \over 2}+C_{3}}$

${\displaystyle {x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0}$

明確な解決策は

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}{5}}}}}$

参照

• 正確な微分
• 不正確な微分方程式

参考文献

1. Wolfgang Walter (2013年3月11日). 常微分方程式. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0601-9。
2. ウラジミール・A・ドブルシュキン（2014年12月16日）『応用微分方程式：初級コース』CRC Press. ISBN 978-1-4987-2835-5。
3. テネンバウム、モリス、ポラード、ハリー (1963). 「非定数係数を持つ線型微分方程式の解法：階数低減法」. 『常微分方程式：数学、工学、自然科学の学生のための初等教科書』 . ニューヨーク：ドーバー. pp. 248. ISBN 0-486-64940-7。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

さらに読む

• ボイス, ウィリアム・E.; ディプリマ, リチャード・C. (1986). 『初等微分方程式』（第4版）. ニューヨーク: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8

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