変数の分離

Technique for solving differential equations

数学において、変数分離法（フーリエ法とも呼ばれる）は、常微分方程式と偏微分方程式を解くためのいくつかの方法のいずれかであり、代数によって、2 つの変数のそれぞれが方程式の異なる側に現れるように方程式を書き直すことができます。

常微分方程式（ODE）

未知数に関する微分方程式は、次の形式で書ける場合、分離可能である。 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}$

ここで、と は与えられた関数です。これは次のように書くとより分かりやすくなるかもしれません。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}$

したがって、 h ( y ) ≠ 0である限り、項を並べ替えると次の式が得られます。

${\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,}$

ここで、2つの変数xとyは分離されています。dx （および dy ）は 、単純なレベルでは、操作を補助するための便利な記憶補助として、単なる便宜的な表記法として捉えることができます。dx を微分（無限小）として正式に定義するのは、やや高度なものです。

代替表記

ライプニッツの記法を好まない人は、次のように書くのを好むかもしれない。

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

しかし、なぜこれが「変数分離」と呼ばれるのかは、これでははっきりと分かりません。方程式の両辺を について積分すると、 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,}$

A1

あるいは同等に、

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

積分の置換規則のためです。

2つの積分を評価できれば、微分方程式の解を求めることができます。この手順により、導関数を 分離可能な分数として扱うことができるようになります。これにより、以下の例に示すように、分離可能な微分方程式をより簡単に解くことができます。 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

（式（A1） では、積分の定数を２つ使用する必要がないことに注意する。

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

単一の定数は同等であるためです。 ${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$

例

人口増加はしばしば「ロジスティック」微分方程式でモデル化される。

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

ここで、は時間に対する人口、は成長率、は環境の収容力である。変数を分離すると、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P\left(1-P/K\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

これは左辺の部分分数を使って簡単に積分でき、

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

ここでAは積分定数である。t =0において、について求める ことができる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

分離型常微分方程式のn次への一般化

分離可能な一階常微分方程式について語ることができるのと同様に、分離可能な二階常微分方程式、三階常微分方程式、あるいはn階常微分方程式について語ることができます。分離可能な一階常微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

導関数は、未知の関数yに作用する演算子であることを強調するために、次のように記述することもできます。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)}$

したがって、一次方程式の変数を分離する場合、実際には演算子の分母であるdxをx変数側に移動し、d ( y )はy変数側に残ります。二階微分演算子は、類推により次のように分解されます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}(y)\right)}$

3階、4階、n階の導関数も同様に分解できる。したがって、1階の分離可能な常微分方程式が次の形に還元できるのと同様である。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

分離可能な2階常微分方程式は次の形に還元できる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(y'\right)g(x)}$

そしてn階の分離可能な常微分方程式は次のように帰納できる。

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)}$

例

単純な非線形2階微分方程式を考えてみましょう。この方程式はy''とy'のみからなる方程式であるため、上記の一般形に帰着可能であり、したがって分離可能です。2階分離方程式であるため、片側にすべてのx変数、もう片側にすべてのy'変数を集めると、次のようになります。次に、右辺をxについて、左辺をy'について積分すると、次のようになります。これは次のように簡略化されます。これは、最終的な答えを与える単純な積分問題です。 $${\displaystyle y''=(y')^{2}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx.}$$ $${\displaystyle \int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx.}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}=x+C_{1},}$$ $${\displaystyle y'=-{\frac {1}{x+C_{1}}}~.}$$ $${\displaystyle y=C_{2}-\ln |x+C_{1}|.}$$

偏微分方程式

変数分離法は、熱方程式、波動方程式、ラプラス方程式、ヘルムホルツ方程式、重調和方程式など、境界条件と初期条件を持つさまざまな線形偏微分方程式を解くのにも使用されます。

偏微分方程式を解くための変数分離の解析的手法は、偏微分方程式系を解くために使用できる不変構造における分解の計算手法にも一般化されている。^[1]

例: 同種の場合

1次元の熱方程式を考えてみましょう。方程式は

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

1

変数uは温度を表す。境界条件は同次である。

${\displaystyle u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0}$

2

境界条件を満たし、かつ次の特性を持つ非自明な解を見つけようとします。 uは、 uのx、tへの依存性が分離された積です。つまり、

${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$

3

uを式（1）に代入し、積の法則を用いると、

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda ,}$

4

ここで、右辺はxのみに依存し、左辺はtのみに依存するため、 λ は定数でなければなりません。したがって、

${\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t),}$

5

そして

${\displaystyle X''(x)=-\lambda X(x).}$

6

− λは両方の微分演算子の固有値であり、T ( t ) とX ( x ) は対応する固有関数です。

ここで、 λ≤0の値に対するX ( x )の解は発生しないことを示します。

λ < 0と仮定する。すると、実数B , Cが存在し、

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

（ ２）から次の式が得られる。

${\displaystyle X(0)=0=X(L),}$

7

したがって、B = 0 = Cとなり、u は0 であることがわかります。

λ = 0と仮定する。すると、実数B、Cが存在し、

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

（７）から、１と同様にuは0であると結論付けられる。

したがって、 λ > 0となる。すると、実数A、B、Cが存在し、

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$

そして

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

（７ ）からC = 0となり、ある正の整数nに対して、

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

これは、 uの依存性が( 3 )の特殊な形をとる特殊なケースにおける熱方程式を解きます。

一般に、境界条件( 2 )を満たす( 1 )の解の和は、( 1 )と( 3 )も満たす。したがって、完全解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

ここで、D _nは初期条件によって決定される係数です。

初期条件が与えられれば

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x),}$

8

私たちは得ることができます

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

これはf ( x )のフーリエ正弦級数展開であり、フーリエ解析に適する。両辺にを掛け、 [0, L ]にわたって積分すると、次のようになる 。 ${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$

この方法では、固有関数X（ここでは）が直交かつ完全であることが必要である。一般に、これはSturm-Liouville 理論によって保証されている。 ${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$

例: 非同次ケース

方程式が非同次であると仮定すると、

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)}$

8

境界条件は( 2 )と同じ、初期条件は( 8 )と同じである。

h ( x, t )、u ( x , t )、f ( x )を展開すると

${\displaystyle h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

9

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

10

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}},}$

11

ここで、 h _n ( t ) とb _{n は}積分によって計算できますが、u _n ( t ) は決定する必要があります。

（９）と（１０）を（８）に代入し、正弦関数の直交性を考慮すると、

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

これらは、例えばラプラス変換や積分因子などを用いて容易に解ける一連の線形微分方程式である。最終的に、

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

境界条件が非同次な場合、( 9 )と( 10 )の展開はもはや有効ではない。境界条件のみを満たす関数vを見つけ、それをuから減算する必要がある。すると関数uvは同次境界条件を満たし、上記の方法で解くことができる。

例: 混合デリバティブ

混合微分を含む方程式の中には、最初の例の熱方程式のように簡単には分離できないものもありますが、それでも変数分離は適用可能です。2次元の重調和方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.}$

通常の方法で進めていくと、次のような形の解が見つかる。

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

そして次の式を得る。

${\displaystyle {\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.}$

この式を次のように書きます

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

この式を で微分すると となり、これはまたはを意味します。同様に、で微分すると となり、したがってまたは となるため、 F ( x ) またはG ( y ) のいずれかが定数、例えば −λ である必要があります。これはさらに、または のいずれかが定数であることを意味します。XとYの式に戻ると、2つのケースがあります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E'(x)+F'(x)G(y)=0}$ ${\displaystyle G(y)=const.}$ ${\displaystyle F'(x)=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F(x)G'(y)+H'(y)=0}$ ${\displaystyle F(x)=const.}$ ${\displaystyle G'(y)=0}$ ${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$ ${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

これらはそれぞれ、との別々のケースを検討することで解くことができます。 ${\displaystyle \lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0}$ ${\displaystyle \mu _{i}=\lambda _{i}^{2}}$

曲線座標

直交曲線座標系でも変数分離は適用できますが、直交座標系とは細部が異なります。例えば、境界条件の代わりに、正則性や周期条件によって固有値が決定されることがあります。球面調和関数の例をご覧ください。

適用範囲

偏微分方程式

波動方程式、ヘルムホルツ方程式、シュレーディンガー方程式など、多くの偏微分方程式では、変数分離の適用可能性はスペクトル定理の結果である。場合によっては、変数分離が不可能なこともある。変数分離は、ある座標系では可能でも、他の座標系では不可能であり、^[2]どの座標系で分離が可能かは、方程式の対称性に依存する。^[3]以下は、この方法が特定の線形方程式に適用可能であることを示す議論の概要であるが、正確な方法は個々のケースによって異なる場合がある（例えば、上記の重調和方程式）。

2つの変数を持つ関数の初期境界値問題を考えます。 ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle D=\{(x,t):x\in [0,l],t\geq 0\}}$

${\displaystyle (Tu)(x,t)=(Su)(x,t)}$

ここでは に関する微分演算子であり、は に関する微分演算子であり、境界データは次のとおりです。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle (Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0}$のために ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle (Su)(x,0)=h(x)}$のために ${\displaystyle 0\leq x\leq l}$

ここで、は既知の関数です。 ${\displaystyle h}$

の形をした解を求めます。偏微分方程式を で割ると、 ${\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)}$ ${\displaystyle f(x)g(t)}$

${\displaystyle {\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}}$

右辺は のみに依存し、左辺は のみに依存するので、両方とも定数 に等しくなければならず、2つの常微分方程式が得られる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Tf=Kf,Sg=Kg}$

これは、およびの演算子の固有値問題として認識できます。 が、関連する境界条件を伴う空間上のコンパクトな自己随伴演算子である場合、スペクトル定理により、の固有関数からなる基底が存在し、 のスペクトルを、を固有値 を持つ固有関数とします。すると、 について各時点で二乗積分可能な任意の関数に対して、この関数を の線形結合として表すことができます。特に、解は次のように表せることが 分かっています。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ ${\displaystyle L^{2}[0,l]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda \in E}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)}$

いくつかの関数について。変数分離法では、これらの関数は ${\displaystyle c_{\lambda }(t)}$ ${\displaystyle Sg=Kg}$

したがって、スペクトル定理により、変数の分離によって（可能な場合）すべての解が見つかるということが保証されます。

のような多くの微分作用素は、部分積分によって自己随伴であることが示せます。これらの作用素はコンパクトではないかもしれませんが、その逆作用素（存在する場合）は波動方程式の場合のようにコンパクトである可能性があり、これらの逆作用素は元の作用素と同じ固有関数と固有値を持ちます（ただし、ゼロとなる可能性があります）。^[4] ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

行列

変数分離の行列形式はクロネッカー和です。

例として、規則的なグリッド上の2D離散ラプラシアンを考えます。

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

ここで、 とはそれぞれx方向とy方向の1次元離散ラプラシアンであり、 とは適切な大きさの恒等関数です。詳細については、メイン記事「離散ラプラシアンのクロネッカー和」を参照してください。 ${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$ ${\displaystyle \mathbf {D_{yy}} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

ソフトウェア

いくつかの数学プログラムは変数の分離を行うことができます。その中にはXcas ^[5]などがあります。

参照

• 分離不可能な微分方程式

注記

1. ミロシュニコフ、ビクター・A.（2017年12月15日）。『調和波動システム：ヘルムホルツ分解の偏微分方程式』サイエンティフィック・リサーチ・パブリッシング社、米国。ISBN 9781618964069。
2. ジョン・レンゼ、エリック・W・ワイスタイン、変数の分離
3. ウィラード・ミラー（1984）『対称性と変数の分離』ケンブリッジ大学出版局
4. デイヴィッド・ベンソン (2007) 『音楽：数学的提供』 ケンブリッジ大学出版局、付録 W
5. 「Xcas による記号代数と数学」(PDF)。

参考文献

• ポリアニン、アンドレイ・D. (2001年11月28日).エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック. フロリダ州ボカラトン:チャップマン・アンド・ホール/CRC . ISBN 1-58488-299-9。
• Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007).科学者とエンジニアのための線形偏微分方程式. ボストン, MA: Birkhäuser Boston . doi :10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5。
• テシュル、ジェラルド(2012). 『常微分方程式と動的システム』.大学院数学研究科. 第140巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-8328-0。

外部リンク

• 「フーリエ法」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• John Renze、Eric W. Weisstein、「変数の分離」（「微分方程式」）、MathWorldにて。
• EqWorld: 数式の世界における変数の一般化および関数分離法
• 偏微分方程式を解くために変数を分離する例
• 「変数分離の簡潔な正当化」

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