同次微分方程式

Type of ordinary differential equation

微分方程式は、 2 つの点のいずれかにおいて 同次になります。

一次微分方程式は、 fとgがxとyの同次関数であると書けるとき、同次方程式であるといわれる。^[1]この場合、変数y = uxを変化させると、2つの要素を積分することで簡単に解ける形の方程式が得られる 。 $${\displaystyle f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,}$$ $${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,}$$

それ以外の場合、微分方程式が未知関数とその導関数の同次関数である場合、その方程式は同次である。線型微分方程式の場合、これは定数項が存在しないことを意味する。任意の次数の線型常微分方程式の解は、定数項を除去して得られる同次方程式の解から積分することによって導くことができる。

歴史

同次方程式という用語は、ヨハン・ベルヌーイが1726年に発表した論文「微分方程式の積分について」の第9節で初めて微分方程式に適用されました。^[2]

同次一次微分方程式

次の形式の1階常微分方程式:

$${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$$

関数M ( x , y )と関数N ( x , y )の両方が同じ次数nの同次関数である場合、同次型である。^[3]つまり、各変数にパラメータλを掛けると、

$${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$$

解決方法

商において、 t = ⁠とすることができる。 ${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$1/×⁠この商を一変数関数fに簡略化すると⁠y/×⁠ :

$${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$$つまり $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).}$$

変数変換 y = uxを導入し、積の法則を使って微分します。

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}$$

これにより、元の微分方程式が分離可能な形式または直接積分できる形式に変換されます。ln x は右辺の原始微分方程式に等しくなります(常微分方程式を参照)。 $${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}$$

特殊なケース

af ≠ be となる（ a、b、c、e、f、gはすべて定数）一次微分方程式は、両変数（ αとβは定数）の線形変換によって同次型に変換できます。ここで 、 af = beの場合、変数変換u = ax + byまたはu = ex + fyを導入します。微分の結果は、 それぞれの置換に対して、またはとなります 。どちらも変数分離によって解くことができます。 $${\displaystyle \left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0}$$ $${\displaystyle t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,,}$$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {cf-bg}{af-be}};\;\;\beta ={\frac {ag-ce}{af-be}}\,.}$$ $${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=a-b{\bigg (}{\frac {ac+au}{ag+eu}}{\bigg )},}$$ $${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=e-f{\bigg (}{\frac {ec+au}{eg+eu}}{\bigg )},}$$

同次線形微分方程式

線型微分方程式が 同次であるとは、未知関数とその導関数に関して同次線型方程式であることを意味する。したがって、 φ ( x )が解であるならば、任意の（非零の）定数cに対してcφ ( x )も解となる。この条件が成立するためには、線型微分方程式の各非零項が未知関数またはその導関数に依存していなければならない。この条件を満たさない線型微分方程式は非同次と呼ばれる。

線型微分方程式は、y ( x )に作用する線型演算子として表すことができます。ここで、 xは通常独立変数、yは従属変数です。したがって、線型同次微分方程式の一般的な形は次のようになります。

$${\displaystyle L(y)=0}$$

ここで、Lは微分演算子であり、導関数の和（「0 次導関数」を元の微分されていない関数として定義します）であり、それぞれにxの関数f _iを乗じたものです。

$${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$$ここで、f _{i は}定数である可能性がありますが、すべてのf _{i が}ゼロであるとは限りません。

たとえば、次の線形微分方程式は同次です。

$${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$$

一方、次の 2 つは不均質です。

$${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$$

$${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$$上記の例のように、定数項の存在は方程式が不同次であるための十分な条件です。

参照

• 変数の分離

注記

1. デニス・G・ジル（2012年3月15日）『微分方程式入門：モデリング応用編』Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2。
2. "De integraionibus aequationum Differentialium".コメンタリー科学科学帝国ペトロポリタナエ学会。1 : 167–184。1726年 6 月。
3. 1956年以降、18ページ

参考文献

• ボイス、ウィリアム E.; ディプリマ、リチャード C. (2012)、初等微分方程式と境界値問題（第 10 版）、Wiley、ISBN 978-0470458310（これは微分方程式の入門書として最適です。）
• インス、EL（1956）、常微分方程式、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0486603490 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)（これは 1926 年に最初に出版された、常微分方程式に関する古典的な参考書です。）
• アンドレイ・D・ポリアニン、ヴァレンティン・F・ザイツェフ（2017年11月15日）『常微分方程式ハンドブック：厳密解、手法、問題集』CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9。
• マシュー・R・ボルキンス、ジャック・L・ゴールドバーグ、マール・C・ポッター（2009年11月5日）『線形代数による微分方程式』オックスフォード大学出版局、274頁～。ISBN 978-0-19-973666-9。

外部リンク

• MathWorldにおける同次微分方程式
• ウィキブックス: 常微分方程式/置換法 1

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