Functions of an angle
三角法の基礎: 2 つの 直角三角形の 鋭角 が等しい場合 、それらは 相似で あり、対応する辺の長さは 比例します 。 数学 において 、 三角関数 （ 円関数 、 角度関数 、 ゴニオメトリック関数 とも呼ばれる） [1]は 、直角三角形 の角度と2辺の長さの比を関連付ける 実関数 です。 航海 、 固体力学 、 天体力学 、 測地学 など、幾何 学に関連するあらゆる科学分野で広く用いられています 。三角関数は最も単純な 周期関数の 一つであり 、 フーリエ解析 を通して周期現象を研究するために広く用いられています。
現代数学で最も広く使用されている三角関数は、 正弦関数 、 余弦関数 、 正接 関数です。 これらの 逆関数 はそれぞれ コセカント 、 セカント 、 コタンジェント 関数ですが、あまり使われません。これら6つの三角関数にはそれぞれ対応する 逆関数があり、 双曲線関数 にも類似関数があります 。
三角関数の最も古い定義は、直角三角形に関連しており、 鋭角 に対してのみ定義されています。正弦関数と余弦関数を、 実数直線 全体を定義 域 とする関数に拡張するために、標準 単位円(つまり、 半径 1 単位の円 ) を使用する幾何学的定義がよく使用されます。この場合、他の関数の定義域は、孤立点がいくつか除去された実数直線になります。現代の定義では、三角関数は 無限級数または 微分方程式 の解として表現されます。これにより、正弦関数と余弦関数の定義域を 複素平面 全体に拡張でき 、他の三角関数の定義域を孤立点がいくつか除去された複素平面に拡張できます。
表記 慣例的に、各三角関数の名前の略語が、数式内の記号として使用されます。今日、これらの略語の最も一般的なバージョンは、正弦の場合は「 sin 」、余弦の場合は「 cos 」、正接の場合は「 tan 」または「 tg 」、正割の場合は「 sec 」、余割の場合は「 csc 」または「 cosec 」、余接の場合は「 cot 」または「 ctg 」です。歴史的に、これらの略語は最初は散文で特定の 線分 または任意の円弧 に 関連するその長さを示すために使用され、後に長さの比を示すために使用されましたが、17 世紀から 18 世紀に 関数の概念が発展する につれて、これらは実数値の角度測度の関数と見なされるようになり、関数表記 法 で記述されます(例: sin( x ) ) 。煩雑さを減らすために括弧は今でも省略されることがよくありますが、必要な場合もあります。例えば、式は 通常次のように解釈される ので、括弧で囲む必要がある。 sin x + y {\displaystyle \sin x+y} ( sin x ) + y , {\displaystyle (\sin x)+y,} sin ( x + y ) . {\displaystyle \sin(x+y).}
関数の記号の後に上付き文字として現れる 正の整数 は、 関数合成 ではなく べき乗 を表します。例えば 、と は べき乗ではないこと を表します 。これは、（歴史的に後発の）一般的な関数表記法とは異なります。 sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x} sin 2 ( x ) {\displaystyle \sin ^{2}(x)} ( sin x ) 2 , {\displaystyle (\sin x)^{2},} sin ( sin x ) . {\displaystyle \sin(\sin x).} f 2 ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) . {\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}
対照的に、上付き文字は 逆関数 を 表すのによく使われ 、 逆関数 を 表すのには使われません。例えば 、 とは 逆三角関数 を表します。 また、 と書くこともできます。 この式は、 ではないこと を意味します。 この場合、上付き文字は合成 関数 または反復関数 を表すものと考えられます が 、 以外の負の上付き文字は 一般的には使われません。 − 1 {\displaystyle -1} sin − 1 x {\displaystyle \sin ^{-1}x} sin − 1 ( x ) {\displaystyle \sin ^{-1}(x)} arcsin x . {\displaystyle \arcsin x\,.} θ = sin − 1 x {\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x} sin θ = x , {\displaystyle \sin \theta =x,} θ ⋅ sin x = 1. {\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.} − 1 {\displaystyle {-1}}
直角三角形の定義 この直角三角形において、角BACの大きさをAとすると、 sin A = 1つの / c ; cos A = b / c ; tan A = 1つの / b 。 6つの三角関数、単位円、そして角度 θ = 0.7 ラジアン の直線をプロットした図。1 、 Sec( θ ) 、 Csc( θ ) とラベル付けされた点は、 原点 からその点までの線分の長さを表します。Sin ( θ ) 、 Tan( θ ) 、および 1は、 x 軸から始まる直線までの高さであり 、 Cos( θ ) 、 1 、および Cot( θ )は、原点から始まる x 軸に沿った長さです 。 鋭角 θ が与えられている場合、角度 θ を持つ直角三角形は互いに 相似で ある。これは、任意の2辺の長さの比が θのみに依存することを意味する。したがって、これらの6つの比は、 θ の6つの関数 、すなわち三角関数を定義する。以下の定義において、 斜辺 は直角の反対側の辺の長さ、 対辺は与えられた角度 θ の反対側の辺 、 隣接辺は角度 θ と直角 の間の辺を表す。 [2] [3]
正弦 sin θ = o p p o s i t e h y p o t e n u s e {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}} コセカント csc θ = h y p o t e n u s e o p p o s i t e {\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}} 余弦 cos θ = a d j a c e n t h y p o t e n u s e {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}} 割線 sec θ = h y p o t e n u s e a d j a c e n t {\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}} 正接 tan θ = o p p o s i t e a d j a c e n t {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}} 余接 cot θ = a d j a c e n t o p p o s i t e {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}}
これらの定義を覚えるために、さまざまな記憶術 を使用できます。
直角三角形では、2つの鋭角の和は直角、つまり 90° または π / 2 ラジアン 。したがって 、と は同じ比を表し、等しい。この恒等式と他の三角関数間の類似関係は、次の表にまとめられている。 sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} cos ( 90 ∘ − θ ) {\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}
上： 四象限における 選択された角度 θ 、 π − θ 、 π + θ 、および 2 π − θ に対する三角関数 sin θ 。下： 正弦と角度の関係を示すグラフ。上図の角度が識別されます。 三角関数の関係のまとめ [4] 関数 説明 関係 ラジアン を使用する 度数 を使用して 正弦 反対 / 斜辺 sin θ = cos ( π 2 − θ ) = 1 csc θ {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}} sin x = cos ( 90 ∘ − x ) = 1 csc x {\displaystyle \sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}} 余弦 隣接 / 斜辺 cos θ = sin ( π 2 − θ ) = 1 sec θ {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,} cos x = sin ( 90 ∘ − x ) = 1 sec x {\displaystyle \cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,} 正接 反対 / 隣接 tan θ = sin θ cos θ = cot ( π 2 − θ ) = 1 cot θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}} tan x = sin x cos x = cot ( 90 ∘ − x ) = 1 cot x {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}} 余接 隣接 / 反対 cot θ = cos θ sin θ = tan ( π 2 − θ ) = 1 tan θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}} cot x = cos x sin x = tan ( 90 ∘ − x ) = 1 tan x {\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}} 割線 斜辺 / 隣接 sec θ = csc ( π 2 − θ ) = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}} sec x = csc ( 90 ∘ − x ) = 1 cos x {\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}} コセカント 斜辺 / 反対 csc θ = sec ( π 2 − θ ) = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}} csc x = sec ( 90 ∘ − x ) = 1 sin x {\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}
ラジアンと度 幾何学の応用において、三角関数の偏角は一般に角度 の尺度となります 。この目的のためには、 角度の単位は どれでも便利です。一般的な単位の一つは 度で 、直角は90°、回転は360°となります（特に 初等数学 において）。
しかし、 微積分学 や 数学解析学 では、三角関数は一般に、角度ではなく、 実数 または 複素数 の関数として、より抽象的にみなされています。 実際、関数 sin および cos は、あらゆる複素数に対して、 指数関数 、級数 [5] を介して定義するか、特定の初期値を与えられた 微分方程式の解 [6] （ 下記参照 ）として、幾何学的概念を参照することなく 定義できます 。 他の 4 つの三角関数（ tan 、 cot 、 sec 、 csc ）は、分母に 0 がある場合を除いて、 sin および cos の商および逆数として定義できます。 実引数については、引数をラジアン単位の角度と見なすと、これらの定義は初等幾何学の定義と一致することが証明できます。 [5]さらに、これらの定義から、三角関数の 導関数 と 不定積分 の簡単な式が得られます 。 [7] このように、初等幾何学以外の設定では、ラジアンは角度の尺度を記述するための数学的に自然な単位と見なされます。
ラジアン （rad）が用いられる場合 、角度は 単位円 の 弧 の長さとして表される。単位円上の長さ1の弧の角度は1rad（≈57.3°）である [8] 。また、 1 回転（360°）は 2π （≈6.28）rad の角度である [9] 。ラジアンは無次元、すなわち1rad = 1であるため、度記号は1° = π /180 ≈ 0.0175のような 数学的な定数 係数 とみなすこともできる 。 [ 要出典 ]
単位円の定義 角度 θ (シータ) のすべての三角関数は、 O を中心とする単位円に基づいて幾何学的に構築できます 。 単位円上の正弦関数（上）とそのグラフ（下） この図では、任意の角度 θの6つの三角関数が、 単位円 に関連する点の 直交座標 として表されています 。 A 、 B 、 D の y軸座標はそれぞれ sin θ 、 tan θ 、 csc θ で あり、 A 、 C 、 E の x軸横座標はそれぞれ cos θ 、 cot θ 、 sec θ です 。 各象限における三角関数の符号。 「 すべての 学生 は 微積分学 を受講 する 」のような 記憶法は 、第1象限から第4象限まで正弦、余弦、正接が正であること を 示し ます 。 [ 10] 6つの三角関数は、ユークリッド平面 上の点の 座標値 として定義できます 。これら の点は 単位円 （この座標系の原点 Oを中心とする半径1の 円 ）を基準としています。直角三角形の定義では、 0 から ラジアン （90°）までの角度に対する三角関数の定義が可能ですが、 単位円の定義では、三角関数の定義域をすべての正負の実数に拡張できます。 π 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}}
x 軸 の正の半分を 角度 θ 回転して得られる光線を とします ( の場合は 反時計 回り 、 の場合は時計回り)。この 光線 は点で単位円と交差します。必要に応じて 直線 に延長された 光線は、 点で 方程式の直線と交差し、 点で 方程式の直線と交差します 。点 A における単位円の接線 は y 軸と x 軸に 垂直 で、 点でこれら と 交差します。これらの点の 座標は 、 次のように、
任意の実数値 θ に対してすべての三角関数の値を与えます。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} θ > 0 , {\displaystyle \theta >0,} θ < 0 {\displaystyle \theta <0} A = ( x A , y A ) . {\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).} L , {\displaystyle {\mathcal {L}},} x = 1 {\displaystyle x=1} B = ( 1 , y B ) , {\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),} y = 1 {\displaystyle y=1} C = ( x C , 1 ) . {\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).} L , {\displaystyle {\mathcal {L}},} D = ( 0 , y D ) {\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })} E = ( x E , 0 ) . {\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}
三角関数 cos と sinはそれぞれ点 A の x 座標値と y 座標値として定義される 。つまり、 [ 11] cos θ = x A {\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad } sin θ = y A . {\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}
範囲 において 、この定義は直角三角形の定義と一致します。直角三角形の斜辺を単位半径 OA と すると、この定義は直角三角形の定義と一致します 。また、この式は単位円上の すべての点に対して成立するため 、この余弦と正弦の定義は ピタゴラスの定理 も満たします。 0 ≤ θ ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2} x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} P = ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)} cos 2 θ + sin 2 θ = 1. {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}
他の三角関数は単位円に沿って次のように表すことができ ます 。 tan θ = y B {\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad } cot θ = x C , {\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },} csc θ = y D {\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad } sec θ = x E . {\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}
ピタゴラスの恒等式と幾何学的証明法を適用することで、これらの定義は正弦と余弦における正接、余接、割線、余割の定義と一致することが容易に証明できる。 tan θ = sin θ cos θ , cot θ = cos θ sin θ , sec θ = 1 cos θ , csc θ = 1 sin θ . {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}
三角関数: 正弦 、 余弦 、 正接 、 余割（点線） 、 割線（点線） 、 余接（点線） – アニメーション 角度 の回転では 図形の位置やサイズは変化しないため、点 A 、 B 、 C 、 D 、 E は、差が の整数倍である 2 つの角度に対して同じになります 。したがって三角関数は 周期 の 周期関数 です。つまり、等式 と は、 任意の角度 θ および任意の 整数 k に対して成り立ちます。他の 4 つの三角関数についても同様です。4 つの象限における関数 sin、cos、cosecant、secant の符号と単調性を観察することにより、 が周期的である最小の値である (つまり、 がこれらの関数の 基本周期 である ) ことがわかります。ただし、角度 の回転後には 、点 B と C は 元の位置に戻るため、正接関数と余接関数の基本周期は になります 。つまり、等式 と は、 任意の角度 θ および任意の整数 k に対して成り立ちます。 ± 2 π {\displaystyle \pm 2\pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } sin θ = sin ( θ + 2 k π ) {\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad } cos θ = cos ( θ + 2 k π ) {\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)} 2 π {\displaystyle 2\pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } tan θ = tan ( θ + k π ) {\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad } cot θ = cot ( θ + k π ) {\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}
代数的値 単位 円 。いくつかの点にコサインとサイン（この順序で）のラベルが付けられ、対応する角度がラジアンと度で示されています。 最も重要な角度の 代数式 は次のとおりです。
sin 0 = sin 0 ∘ = 0 2 = 0 {\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0} （ ゼロ角度 ） （ 直角 ） sin π 6 = sin 30 ∘ = 1 2 = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}} sin π 4 = sin 45 ∘ = 2 2 = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}} sin π 3 = sin 60 ∘ = 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}} sin π 2 = sin 90 ∘ = 4 2 = 1 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}
分子を、 分母が2である連続する非負整数の 平方根として書くと、値を覚えやすくなります。 [12]
このような単純な式は、直角の有理倍数である他の角度では一般に存在しません。
単純な代数値 次の表は、0 度から 90 度までの 15 度の倍数の正弦、余弦、正接を示します。
角度 θ 、in sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} cos ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )} tan ( θ ) {\displaystyle \tan(\theta )} ラジアン 度 0 {\displaystyle 0} 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} 15 ∘ {\displaystyle 15^{\circ }} 6 − 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} 6 + 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 5 π 12 {\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}} 75 ∘ {\displaystyle 75^{\circ }} 6 + 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} 6 − 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 未定義
分析における定義 正弦、余弦、正接の グラフ 正弦関数 (青) は、 原点を中心とした完全なサイクルに対して、7 次 テイラー多項式(ピンク) によって近似されます。 テイラー多項式によるコサインの近似のアニメーション。 cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 最初のテイラー多項式とともに p n ( x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}} GHハーディは 1908年の著書 『純粋数学講座』 の中で、単位円による三角関数の定義は、実数で測定できる角度の概念に暗黙的に依存しているため不十分であると指摘した。 [ 説明が必要 ] [13] そのため、現代の解析学では、三角関数は通常、幾何学を参照せずに構築されます。
文献には、分析に適した方法で三角関数を定義するさまざまな方法があります。これには次のものが含まれます。
単位円の「幾何学」を用いて、円の弧の長さ（または扇形の面積）を解析的に定式化する必要がある。 [13] べき級数 によって表され 、これは特に複素変数に適している。 [13] [14] 無限積展開を用いることにより。 [13] 逆三角関数を反転することで、代数関数または有理関数の積分として定義することができます。 [13] 微分方程式の解として。 [15]
微分方程式による定義 正弦と余弦は初期値問題 の唯一の解として定義できる ： d d x sin x = cos x , d d x cos x = − sin x , sin ( 0 ) = 0 , cos ( 0 ) = 1. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}
もう一度微分すると、 となり 、正弦と余弦はどちらも同じ 常微分方程式 の解となります
。 正弦は、 y (0) = 0 および y ′(0) = 1の場合に唯一解となります。余弦は 、 y (0) = 1 および y ′(0) = 0 の場合に唯一解となります 。 d 2 d x 2 sin x = d d x cos x = − sin x {\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x} d 2 d x 2 cos x = − d d x sin x = − cos x {\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x} y ″ + y = 0 . {\displaystyle y''+y=0\,.}
すると、定理として、解は 周期的であり、同じ周期を持つことが証明できる。この周期を と書くことで、 幾何学に依存しない 実数の定義が得られる。 cos , sin {\displaystyle \cos ,\sin } 2 π {\displaystyle 2\pi } π {\displaystyle \pi }
正接に 商の法則 を適用すると 、 正接関数は常微分方程式を満たし、 y (0) = 0 となる唯一の解となります 。 tan x = sin x / cos x {\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x} d d x tan x = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 + tan 2 x , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,} y ′ = 1 + y 2 . {\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}
べき級数展開 基本的な三角関数は、以下の冪級数 展開によって定義できます 。 [17] これらの級数は、三角関数の テイラー級数 または マクローリン級数 とも呼ばれます。
これらの級数の 収束半径は 無限 大です。したがって、正弦関数と余弦関数は、 （定義により） 複素平面 全体で 定義され、正則な 複素数 値関数である 整関数 （「正弦関数」および「余弦関数」とも呼ばれます）に拡張できます 。 sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}
項ごとに微分すると、級数によって定義される正弦と余弦は前述の微分方程式に従うことが示され、逆に、微分方程式から導かれる基本的な再帰関係からこれらの級数を取得できます。
他の三角関数は整関数の分数として定義されるため、 有理型関数 、すなわち複素平面全体において正則な関数（ただし、 極と 呼ばれる孤立点を除く）に拡張できる。ここで、極とは、接線と正接、または 余接と余割 の形の数のことである。ただし、 k は任意の整数である。 ( 2 k + 1 ) π 2 {\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}} k π {\displaystyle k\pi }
他の三角関数の テイラー級数 の係数についても、漸化式を計算することができる。これらの級数は有限の 収束半径 を持つ。その係数は 組合せ論的な解釈が可能であり、有限集合の 交互順列を 列挙する 。 [18]
より正確には、定義
U n 、 n 番目の アップ/ダウン番号 、 B n 、 n 次の ベルヌーイ数 、および E n はn 番目の オイラー数 であり 、 次のような級数展開がある: [19] tan x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + ⋯ , for | x | < π 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
csc x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − 1 + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + ⋯ , for 0 < | x | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}
sec x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + ⋯ , for | x | < π 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
cot x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − 1 − 1 3 x − 1 45 x 3 − 2 945 x 5 − ⋯ , for 0 < | x | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}
連分数展開 次の 連分数は 複素平面全体で有効です。
[20] sin x = x 1 + x 2 2 ⋅ 3 − x 2 + 2 ⋅ 3 x 2 4 ⋅ 5 − x 2 + 4 ⋅ 5 x 2 6 ⋅ 7 − x 2 + ⋱ {\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}
cos x = 1 1 + x 2 1 ⋅ 2 − x 2 + 1 ⋅ 2 x 2 3 ⋅ 4 − x 2 + 3 ⋅ 4 x 2 5 ⋅ 6 − x 2 + ⋱ {\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}} [ 要引用 ]
tan x = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − ⋱ = 1 1 x − 1 3 x − 1 5 x − 1 7 x − ⋱ {\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}
最後のものは、 πが無理数であることの歴史上最初の証明 に使われました。 [21]
に対しては急速に収束する連分数が存在する ： [22] tan ( x ) {\displaystyle \tan(x)}
tan x = 1 + 5 x 2 T 0 + 5 x 2 , T k = ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 5 ) − 4 x 2 ( 4 k + 3 ) + x 2 ( 4 k + 1 ) 1 + x 2 ( 4 k + 9 ) T k + 1 {\displaystyle \tan x=1+{\cfrac {5x^{2}}{T_{0}+5x^{2}}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4x^{2}(4k+3)+{\cfrac {x^{2}(4k+1)}{1+{\cfrac {x^{2}(4k+9)}{T_{k+1}}}}}} 次に、次の連分数表現 では、（漸近的に）サイクルごとに 12.68 個の新しい正しい小数点以下の桁数が得られます。 x = 1 {\displaystyle x=1} tan 1 = 1 + 5 T 0 + 5 , T k = ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 5 ) − 4 ( 4 k + 3 ) + 4 k + 1 1 + 4 k + 9 T k + 1 {\displaystyle \tan 1=1+{\cfrac {5}{T_{0}+5}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4(4k+3)+{\cfrac {4k+1}{1+{\cfrac {4k+9}{T_{k+1}}}}}}
部分分数展開 逆関数を 単純に平行移動させて合計した 部分分数展開 として級数表現があり 、 コタンジェント関数と逆関数の極が一致する: [ 23]この恒等式は、 ヘルグロッツの トリック
で証明できる : [24] (– n ) 次項と n 次項を
組み合わせると、 絶対収束 級数になる : 同様に、セカント関数、コセカント関数、タンジェント関数の部分分数展開を見つけることができる:
これらの級数は 、ミッタク・レフラー 展開
から演繹できる( ミッタク・レフラーの定理を 使用 )。 π cot π x = lim N → ∞ ∑ n = − N N 1 x + n . {\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.} π cot π x = 1 x + 2 x ∑ n = 1 ∞ 1 x 2 − n 2 . {\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.} π csc π x = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n x + n = 1 x + 2 x ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x 2 − n 2 , {\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},} π 2 csc 2 π x = ∑ n = − ∞ ∞ 1 ( x + n ) 2 , {\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},} π sec π x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ( n + 1 2 ) 2 − x 2 , {\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},} π tan π x = 2 x ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 2 ) 2 − x 2 . {\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}
無限の製品拡張 正弦の次の無限積は レオンハルト・オイラー によるもので、複素解析において非常に重要である。 [25] これは、上記の の部分分数分解、つまり の対数微分 から得られる 。 [26] このことから、次の式も導かれる。 sin z = z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 π 2 ) , z ∈ C . {\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .} cot z {\displaystyle \cot z} sin z {\displaystyle \sin z} cos z = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 ( n − 1 / 2 ) 2 π 2 ) , z ∈ C . {\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}
cos ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )} および はそれぞれ の実数部と虚数部です 。 sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} オイラーの公式は 、正弦と余弦を 指数関数 に関連付けます。
この公式は、通常、 x の実数値について考えられますが、すべての複素数値に対しても当てはまります。 e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
証明 ： と j = 1, 2 のとき 、 が成り立つ 。 商の法則 から が成り立つ 。したがって、 は定数関数であり、 と等しい。 f 1 ( x ) = cos x + i sin x , {\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,} f 2 ( x ) = e i x . {\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.} d f j ( x ) / d x = i f j ( x ) {\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)} d / d x ( f 1 ( x ) / f 2 ( x ) ) = 0 {\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0} f 1 ( x ) / f 2 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)} 1 、 これは式を証明します。 f 1 ( 0 ) = f 2 ( 0 ) = 1. {\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}
一つは e i x = cos x + i sin x e − i x = cos x − i sin x . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}
この 線形システムを 正弦と余弦で解くと、指数関数で表すことができます。 sin x = e i x − e − i x 2 i cos x = e i x + e − i x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}
x が実数の場合 、これは次のように書き直される。 cos x = Re ( e i x ) , sin x = Im ( e i x ) . {\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}
ほとんどの 三角関数の恒等式は 、上記の公式を使用して三角関数を複素指数関数で表し、次に恒等式を使用して 結果を簡略化することで証明できます。 e a + b = e a e b {\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}
オイラーの公式は、位相群 という言語を用いて、以下のように基本的な三角関数を直接定義するのにも用いることができる 。 [27] 単位元複素数全体の集合は、コンパクトで連結な位相群であり、実数直線に同相な単位元近傍を持つ。したがって、位相群として 、同型写像 を介して 1次元トーラス群 と同型である。 簡単に言えば、 であり、この同型写像は複素共役を取らない限り一意である。 U {\displaystyle U} R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } e : R / Z → U . {\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.} e ( t ) = exp ( 2 π i t ) {\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}
非零の実数 （ 基数 ）に対して、関数 は 群 の同型性を定義します 。 の実部と虚部は それぞれコサインとサインであり、 は 角度を測るための基数として用いられます。例えば、 のとき 、ラジアン単位の角度と通常の三角関数が得られます。 のとき 、度単位で測られた角度のサインとコサインが得られます。 a {\displaystyle a} t ↦ e ( t / a ) {\displaystyle t\mapsto e(t/a)} R / a Z → U {\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U} e ( t / a ) {\displaystyle e(t/a)} a {\displaystyle a} a = 2 π {\displaystyle a=2\pi } a = 360 {\displaystyle a=360}
は、 において導関数が 正の虚数部を持つ 単位ベクトル と
なる唯一の値である ことに注意してください 。この事実は、定数 を定義する際にも利用できます 。 a = 2 π {\displaystyle a=2\pi } d d t e ( t / a ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)} t = 0 {\displaystyle t=0} 2 π {\displaystyle 2\pi }
統合による定義 解析学における三角関数を定義する別の方法は、積分を用いることです。 [13] [28] 実数 に対して 、 この逆正接関数を定義する を置きます。また、は カール・ワイエルシュトラス に遡る定義 によって定義されます 。 [29] t {\displaystyle t} θ ( t ) = ∫ 0 t d τ 1 + τ 2 = arctan t {\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t} π {\displaystyle \pi } 1 2 π = ∫ 0 ∞ d τ 1 + τ 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}
区間 において 、三角関数は の関係を反転させることで定義されます。したがって、三角関数 は のグラフ上の 点にあり 、正の平方根が取られる で定義されます
。 − π / 2 < θ < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2} θ = arctan t {\displaystyle \theta =\arctan t} tan θ = t , cos θ = ( 1 + t 2 ) − 1 / 2 , sin θ = t ( 1 + t 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}} ( t , θ ) {\displaystyle (t,\theta )} θ = arctan t {\displaystyle \theta =\arctan t}
これは 上の三角関数を定義します。 、 、 なので となり、 となる こと をまず観察することで、定義をすべての実数に拡張できます 。したがって 、 と は 連続的に拡張され、 となります 。ここで、条件と は、すべての実数に対して、 周期 を持つ周期関数として正弦関数と余弦関数を定義します 。 ( − π / 2 , π / 2 ) {\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)} θ → π / 2 {\displaystyle \theta \to \pi /2} t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } cos θ = ( 1 + t 2 ) − 1 / 2 → 0 {\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0} sin θ = t ( 1 + t 2 ) − 1 / 2 → 1 {\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1} cos θ {\displaystyle \cos \theta } sin θ {\displaystyle \sin \theta } cos ( π / 2 ) = 0 , sin ( π / 2 ) = 1 {\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1} cos ( θ + π ) = − cos ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )} sin ( θ + π ) = − sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )} 2 π {\displaystyle 2\pi }
正弦と余弦の基本的な性質、特に正弦と余弦が解析的であるという事実を証明するには、まず加法公式を確立する必要がある。まず、 を代入した後 となるため、 を仮定すると が成立する 。特に、 の極限ケースでは と なる
。 したがって、 となり 、 と
なる。 したがって、正弦関数と余弦関数は、4分の1周期 の平行移動によって関連付けられる 。 arctan s + arctan t = arctan s + t 1 − s t {\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}} arctan s + arctan t ∈ ( − π / 2 , π / 2 ) {\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)} arctan s + arctan t = ∫ − s t d τ 1 + τ 2 = ∫ 0 s + t 1 − s t d τ 1 + τ 2 {\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}} τ → s + τ 1 − s τ {\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}} s → ∞ {\displaystyle s\to \infty } arctan t + π 2 = arctan ( − 1 / t ) , t ∈ ( − ∞ , 0 ) . {\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).} sin ( θ + π 2 ) = − 1 t 1 + ( − 1 / t ) 2 = − 1 1 + t 2 = − cos ( θ ) {\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )} cos ( θ + π 2 ) = 1 1 + ( − 1 / t ) 2 = t 1 + t 2 = sin ( θ ) . {\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).} π / 2 {\displaystyle \pi /2}
関数方程式を用いた定義 さまざまな関数方程式 を使用して三角関数を定義することもできます 。
例えば、 [30] 正弦と余弦は、 差分式 と追加条件を満たす
唯一の 連続関数のペアを形成します。 cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y {\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,} 0 < x cos x < sin x < x for 0 < x < 1. {\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}
複素平面では 複素数 の正弦と余弦は、次のように実正弦、実余弦、 双曲線関数 で表すことができます 。 z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y {\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}
定義域彩色 を利用することで 、三角関数を複素数値関数としてグラフ化することができます。グラフからは、複素関数特有の様々な特徴を見ることができます。例えば、正弦関数と余弦関数は、虚数部が 大きくなるにつれて無限大になることがわかります（白色は無限大を表すため）。また、関数が単純な 零点または極を 含むことは、色相が各零点または極の周りをちょうど1回循環していることから明らかです。これらのグラフを対応する双曲関数のグラフと比較すると、両者の関係が明確になります。 z {\displaystyle z}
周期性と漸近線 正弦関数と余弦関数は 周期 で、周期 は最小の正の周期です。 したがって、余弦関数と正弦関数の 周期も になります。 2 π {\displaystyle 2\pi } sin ( z + 2 π ) = sin ( z ) , cos ( z + 2 π ) = cos ( z ) . {\displaystyle \sin(z+2\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+2\pi )=\cos(z).} 2 π {\displaystyle 2\pi }
関数の正弦と余弦にも半周期があり 、 したがって と なります ( 補角を 参照)。 π {\displaystyle \pi } sin ( z + π ) = − sin ( z ) , cos ( z + π ) = − cos ( z ) {\displaystyle \sin(z+\pi )=-\sin(z),\quad \cos(z+\pi )=-\cos(z)} tan ( z + π ) = tan ( z ) , cot ( z + π ) = cot ( z ) . {\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z).} sin ( x + π / 2 ) = cos ( x ) , cos ( x + π / 2 ) = − sin ( x ) {\displaystyle \sin(x+\pi /2)=\cos(x),\quad \cos(x+\pi /2)=-\sin(x)}
関数は ストリップ に 唯一の零点（ ）を持ちます 。関数は 同じストリップに 2つの零点を持ちます。周期性のため、正弦関数の零点は です。 余弦関数の零点は です。 すべての零点は単純零点であり、どちらの関数も それぞれの零点で微分を持ちます。 sin ( z ) {\displaystyle \sin(z)} z = 0 {\displaystyle z=0} − π < ℜ ( z ) < π {\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi } cos ( z ) {\displaystyle \cos(z)} z = ± π / 2 {\displaystyle z=\pm \pi /2} π Z = { … , − 2 π , − π , 0 , π , 2 π , … } ⊂ C . {\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .} π 2 + π Z = { … , − 3 π 2 , − π 2 , π 2 , 3 π 2 , … } ⊂ C . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .} ± 1 {\displaystyle \pm 1}
正接関数は で単純な零点を持ち 、 で垂直漸近線を 持ち、そこでは留数 の単純な極を持つ 。ここでも周期性により、零点はすべて の整数倍 、極は の奇数倍となり 、すべて同じ留数を持つ。極は の垂直漸近線に対応する。 tan ( z ) = sin ( z ) / cos ( z ) {\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)} z = 0 {\displaystyle z=0} z = ± π / 2 {\displaystyle z=\pm \pi /2} − 1 {\displaystyle -1} π {\displaystyle \pi } π / 2 {\displaystyle \pi /2} lim x → π − tan ( x ) = + ∞ , lim x → π + tan ( x ) = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty .}
余接関数は 、の整数倍で留数1の単純な極を持ち 、の奇数倍で単純な零点を持つ 。これらの極は、垂直漸近線に対応する。 cot ( z ) = cos ( z ) / sin ( z ) {\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)} π {\displaystyle \pi } π / 2 {\displaystyle \pi /2} lim x → 0 − cot ( x ) = − ∞ , lim x → 0 + cot ( x ) = + ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}
基本的なアイデンティティ 三角関数には、相互に関係する多くの 恒等式が あります。このセクションでは、最も基本的な恒等式を取り上げます。その他の恒等式については、「三角 関数の恒等式の一覧」を 参照してください。これらの恒等式は、単位円の定義または直角三角形の定義から幾何学的に証明できます (ただし、後者の定義では、区間 [0, π /2]内にない角度に注意する必要があります。 「三角関数の恒等式の証明」を 参照してください)。 微積分 のツールだけを使用する非幾何学的な証明では 、上記のオイラーの恒等式の証明と同様の方法で、微分方程式を直接使用できます。また、オイラーの恒等式を使用して、すべての三角関数を複素指数で表し、指数関数の特性を使用することもできます。
パリティ 余弦と正弦は 偶関数 です。その他の三角関数は 奇関数 です。つまり、 sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x csc ( − x ) = − csc x sec ( − x ) = sec x . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}
生理 すべての三角関数は 周期 2πの 周期関数です。これは、 π が最小周期である正接関数と余接関数を除けば、最小周期 です 。これは、任意の整数k に対して、次の式が成り立つこと を意味します 。周期性と漸近線を参照してください。 sin ( x + 2 k π ) = sin x cos ( x + 2 k π ) = cos x tan ( x + k π ) = tan x cot ( x + k π ) = cot x csc ( x + 2 k π ) = csc x sec ( x + 2 k π ) = sec x . {\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}
ピタゴラスの定理 ピタゴラスの定理は、 ピタゴラスの定理 を三角関数で表現したものです。 です 。 を または で割ると 、 と が 得られます 。 sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} cos 2 x {\displaystyle \cos ^{2}x} sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x} tan 2 x + 1 = sec 2 x {\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x} 1 + cot 2 x = csc 2 x {\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x} sec 2 x + csc 2 x = sec 2 x csc 2 x {\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x}
和と差の公式は、2つの角度の和または差の正弦、余弦、正接を、それぞれの角度の正弦、余弦、正接を用いて展開することを可能にします。これらは、 プトレマイオス に遡る議論を用いて幾何学的に導くことができます（ 角度の和と差の恒等式を参照）。また、 オイラーの公式 を用いて代数的に導くこともできます 。
和 sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y , cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y , tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 − tan x tan y . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}
違い sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y , cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y , tan ( x − y ) = tan x − tan y 1 + tan x tan y . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}
2 つの角度が等しい場合、和の公式は、 倍角の公式 と呼ばれるより単純な方程式になります。
sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 tan x 1 + tan 2 x , cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x = 1 − tan 2 x 1 + tan 2 x , tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}
これらの恒等式は積和恒等式 を導くために使用できます 。
を設定することにより （ 半角の公式 を参照）、 のすべての三角関数は の 有理分数 として表すことができます 。 これ とともに、 接線半角置換があり、これにより三角関数の 積分 と 不定微分 の計算が 有理分数の計算にまで削減されます。 t = tan 1 2 θ {\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta } θ {\displaystyle \theta } t {\displaystyle t} sin θ = 2 t 1 + t 2 , cos θ = 1 − t 2 1 + t 2 , tan θ = 2 t 1 − t 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}} d θ = 2 1 + t 2 d t , {\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}
導関数と反導関数 三角関数の微分 は 、正弦関数と余弦関数の微分に 商の法則を適用することで得られます。次の表に示されている 不定積分 の値は、 微分することで確認できます。C は 積分定数 です 。
f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} ∫ f ( x ) d x {\textstyle \int f(x)\,dx} sin x {\displaystyle \sin x} cos x {\displaystyle \cos x} − cos x + C {\displaystyle -\cos x+C} cos x {\displaystyle \cos x} − sin x {\displaystyle -\sin x} sin x + C {\displaystyle \sin x+C} tan x {\displaystyle \tan x} sec 2 x {\displaystyle \sec ^{2}x} ln | sec x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x\right|+C} csc x {\displaystyle \csc x} − csc x cot x {\displaystyle -\csc x\cot x} ln | csc x − cot x | + C {\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C} sec x {\displaystyle \sec x} sec x tan x {\displaystyle \sec x\tan x} ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C} cot x {\displaystyle \cot x} − csc 2 x {\displaystyle -\csc ^{2}x} − ln | csc x | + C {\displaystyle -\ln \left|\csc x\right|+C}
注: の積分は と書くこともできます。 また、 の積分はと 書きます。 ここ では 逆双曲線正弦 です 。 0 < x < π {\displaystyle 0<x<\pi } csc x {\displaystyle \csc x} − arsinh ( cot x ) , {\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),} sec x {\displaystyle \sec x} − π / 2 < x < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2} arsinh ( tan x ) , {\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),} arsinh {\displaystyle \operatorname {arsinh} }
あるいは、三角関数の恒等式と連鎖律を使用して、「共関数」の導関数を取得することもできます。
d cos x d x = d d x sin ( π / 2 − x ) = − cos ( π / 2 − x ) = − sin x , d csc x d x = d d x sec ( π / 2 − x ) = − sec ( π / 2 − x ) tan ( π / 2 − x ) = − csc x cot x , d cot x d x = d d x tan ( π / 2 − x ) = − sec 2 ( π / 2 − x ) = − csc 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}
逆関数 三角関数は周期的であるため 単射で はないため、厳密に言えば 逆関数 は存在しません。ただし、三角関数が 単調で ある各区間では逆関数を定義することができ、これにより逆三角関数は 多値関数 として定義されます。真の逆関数を定義するには、関数が単調である区間に定義域を制限し、この区間から関数によるその像に 全単射となるようにする必要があります。この区間の一般的な選択は 主値 の集合と呼ばれ 、次の表に示されています。通常どおり、逆三角関数は、関数の名前またはその略語の前に接頭辞「arc」を付けて表されます。
関数 意味 ドメイン 主要な価値観のセット y = arcsin x {\displaystyle y=\arcsin x} sin y = x {\displaystyle \sin y=x} − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} − π 2 ≤ y ≤ π 2 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}} y = arccos x {\displaystyle y=\arccos x} cos y = x {\displaystyle \cos y=x} − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} 0 ≤ y ≤ π {\textstyle 0\leq y\leq \pi } y = arctan x {\displaystyle y=\arctan x} tan y = x {\displaystyle \tan y=x} − ∞ < x < ∞ {\displaystyle -\infty <x<\infty } − π 2 < y < π 2 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}} y = arccot x {\displaystyle y=\operatorname {arccot} x} cot y = x {\displaystyle \cot y=x} − ∞ < x < ∞ {\displaystyle -\infty <x<\infty } 0 < y < π {\textstyle 0<y<\pi } y = arcsec x {\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x} sec y = x {\displaystyle \sec y=x} x < − 1 or x > 1 {\displaystyle x<-1{\text{ or }}x>1} 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π 2 {\textstyle 0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}} y = arccsc x {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x} csc y = x {\displaystyle \csc y=x} x < − 1 or x > 1 {\displaystyle x<-1{\text{ or }}x>1} − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y ≠ 0 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0}
sin −1 、 cos −1 などの表記は、 arcsin や arccos などの関数を表すのによく用いられます。 この表記法を用いると、逆関数が乗法逆関数と混同される可能性があります。「arc」を接頭辞として用いることでこのような混乱を避けることができますが、arcsecant を表す「arcsec」は「 arcsecond 」と混同される可能性があります。
正弦関数や余弦関数と同様に、逆三角関数も無限級数で表すことができます。また、 複素対数 で表すこともできます。
アプリケーション
三角形の角度と辺 この節では、 A 、 B 、 Cは 三角形の3つの（内角）を表し、 a 、 b 、 c はそれぞれの対辺の長さを表します。これらは様々な公式によって関連しており、それらの公式は三角関数の名前で呼ばれます。
正弦の法則 正弦定理によれば、任意の三角形の辺が a 、 b 、 cで、それらの辺 A 、 B 、 C と 向かい合う角度が次の式で表されます 。 ここで、 Δ は三角形の面積、または同様に、 R は 三角形の 円周半径 です。 sin A a = sin B b = sin C c = 2 Δ a b c , {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},} a sin A = b sin B = c sin C = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}
これは、三角形を2つの直角三角形に分割し、上記の正弦の定義を用いることで証明できます。正弦定理は、2つの角度と1つの辺が分かっている場合、三角形の未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。これは、 2つの角度と到達可能な閉距離を測定することで未知の距離を決定する技術である
三角 測量においてよく見られる状況です。
余弦定理 余弦定理（余弦公式または余弦定理とも呼ばれる）は、ピタゴラスの定理の拡張 で ある 。 c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C , {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,} cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}
この式において、 C における角は 辺 c の反対側にあります。この定理は、三角形を2つの直角三角形に分割し、 ピタゴラスの定理 を用いることで証明できます。
余弦定理は、2辺とそれらの間の角度が分かっている場合、三角形の一辺を決定するために使用できます。また、すべての辺の長さが分かっている場合、角度の余弦（ひいては角度自体）を求めるためにも使用できます。
接線の法則 接線の法則によれば、次のようになります 。 tan A − B 2 tan A + B 2 = a − b a + b {\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}
余接の法則 三角形の半周を s （ ( a + b + c )/2） 、 三角形の 内接円の半径を r とすると、 rs は三角形の面積です。したがって、 ヘロンの公式は 次式を導きます。
r = 1 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}} 。
余接法則は 次のように
述べている。 [31] cot A 2 = s − a r {\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}} cot A 2 s − a = cot B 2 s − b = cot C 2 s − c = 1 r . {\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}
周期関数 リサージュ 曲線は 、三角法に基づく関数で形成される図形です。 倍音数が増加する 矩形波 の 加法合成 のアニメーション 正弦波基底関数（下）は、加算すると鋸歯状波（上）を形成する。すべての基底関数は鋸歯状波の節に節を持ち、基本波（ k = 1 ）を除くすべての基底関数には追加の節がある。k が 大きい場合に鋸歯状波の周囲に見られる振動は、 ギブス現象 と呼ばれる 。 三角関数は物理学においても重要です。例えば、正弦関数と余弦関数は 単振動を記述するために用いられます。単振動は、バネに取り付けられた質量の運動や、小さな角度における紐で吊るされた質量の振り子運動など、多くの自然現象をモデル化します。正弦関数と余弦関数は、 等速円運動 の一次元投影です 。
三角関数は、一般的な周期関数 の研究にも有用であることが証明されています 。周期関数の特徴的な波形は、音波や光波などの繰り返し現象をモデル化するのに役立ちます 。 [ 32]
一般的な条件下では、周期関数 f ( x )は フーリエ級数 における正弦波または余弦波の和として表すことができます 。 [33] 正弦または余弦の 基底関数を φk で表す と、周期関数 f ( t ) の展開は 次のようになります。 f ( t ) = ∑ k = 1 ∞ c k φ k ( t ) . {\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}
例えば、 矩形波は フーリエ級数 として表される。 f square ( t ) = 4 π ∑ k = 1 ∞ sin ( ( 2 k − 1 ) t ) 2 k − 1 . {\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}
右上の矩形波のアニメーションでは、わずか数項で既にかなり良好な近似値が得られていることがわかります。 鋸歯状波 の展開における複数の項の重ね合わせは下図に示されています。
歴史 三角法の研究は古代に遡りますが、今日使用されている三角関数は中世に発展しました。 弦関数は、 ニカイア の ヒッパルコス （紀元前180年～125年）と ローマ帝国エジプト の プトレマイオス （紀元90年～165年）によって定義されました 。正弦関数と 正弦関数（1 - 余弦）は、サンスクリット語からアラビア語、そしてアラビア語からラテン語への翻訳を経て、 グプタ朝時代 のインド天文学 （ アーリヤバーティーヤ 、 スーリヤ・シッダーンタ ）で使用されていた jyā 関数と koti-jyā 関数と密接 に関連しています。 [34] （ アーリヤバーターの正弦表を 参照）。
現在使われている6つの三角関数はすべて 、9世紀までには イスラム数学で知られており、 三角形を解く のに使われる 正弦定理 も同様だった。 [35] アル・フワーリズミー （780年頃-850年）は正弦と余弦の表を作成した。860年頃、 ハバシュ・アル・ハスブ・アル・マルワズィーは 正接と余接を定義し、それらの表を作成した。 [36] [37] ムハンマド・イブン・ジャービル・アル・ハッラーニー・アル・バッターニー （853年-929年）は、正割と余割の逆関数を定義し、1°から90°までの各度に対する余割の最初の表を作成した。 [37] 三角関数は後に、 オマル・ハイヤーム 、 バースカラ 2 世 、 ナシール・アル＝ディン・アル＝トゥシ 、 ジャムシード・アル・カーシー (14 世紀)、 ウルグ・ベク (14 世紀)、 レジオモンタヌス (1464 年)、 レティカス 、レティカスの学生 ヴァレンティヌス・オト などの数学者によって研究されました。 。
サンガマグラマのマダヴァ （1400年頃）は、 無限級数を 用いた三角関数の 解析 において初期の進歩を遂げました。 [38] （ マダヴァ級数 と マダヴァの正弦表を 参照）。
正接関数は1467年に ジョヴァンニ・ビアンキーニ によって、恒星の座標計算をサポートするために作成された三角法の表によってヨーロッパにもたらされました。 [39]
タンジェント と セカントという 用語は、デンマークの数学者 トーマス・フィンケ が著書 『幾何学論』 （1583年）で初めて導入した 。 [40]
17世紀フランスの数学者 アルベール・ジラールは 著書 『三角法』の中で、 sin 、 cos 、 tan という略語を初めて出版した 。 [41]
1682年に発表された論文で、 ゴットフリート・ライプニッツは sin x が x の 代数関数 ではないこと を証明した 。 [42] 直角三角形 の辺の比として定義され 、したがって 有理関数 のように見えるが、ライプニッツの結果は、それらが実際にはその引数の 超越関数で あることを確立した。円関数を代数式に同化するという課題は、オイラーが『 無限の解析入門』 （1748年）で達成した。彼の方法は、正弦関数と余弦関数が、それぞれ 指数 級数の偶数項と奇数項から形成される 交代級数 であることを示すことであった。彼は「 オイラーの公式 」と、ほぼ現代的な略語（ sin. 、 cos. 、 tang. 、 cot. 、 sec. 、 cosec. ）を提示した。 [34]
歴史的には一般的であったが、現在ではほとんど使われていない関数がいくつかある。例えば、 弦 、 正弦（初期の表 [34] に登場 ）、半 正弦 、 被覆正弦 、 [43] 、半正接（半角の正接）、そして 割線などで ある。 三角関数の恒等式一覧には、 これらの関数間の関係がさらに示されている。
crd θ = 2 sin 1 2 θ , vers θ = 1 − cos θ = 2 sin 2 1 2 θ , hav θ = 1 2 vers θ = sin 2 1 2 θ , covers θ = 1 − sin θ = vers ( 1 2 π − θ ) , exsec θ = sec θ − 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {crd} \theta &=2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {vers} \theta &=1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {hav} \theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {vers} \theta =\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {covers} \theta &=1-\sin \theta =\operatorname {vers} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -\theta {\bigr )},\\[5mu]\operatorname {exsec} \theta &=\sec \theta -1.\end{aligned}}}
歴史的に、三角関数は対数正弦、対数余弦、対数正弦、対数余弦、対数正接、対数正接、対数余弦などの複合関数で 対数 と組み合わせられることが多かった。 [44] [45] [46] [47]
語源 正弦（sine ）という語 は [48] 、 ラテン語の sinus （「曲げる、湾」という意味）に由来し、より具体的には「 トーガ の上部の垂れ下がった襞 」（「衣服の胸元」）を意味します。これは、 12世紀に アル・バタニ と アル・フワーリズミーが 中世ラテン語 に翻訳した際に、アラビア語の jaib （「ポケット」または「襞」の意味）の翻訳として選ばれました。 [49]この語源は、アラビア語の jyb （ جيب ） という表記の誤読です。jybは サンスクリット語のjīvā（ジーヴァー）の 音訳に由来し、 jīvāは同義語の jyā （サンスクリット語で正弦を表す標準的な語）と共に「弓弦」と訳されます。これは 古代ギリシャ語の χορδή （弦）から借用されたものです 。 [50]
接線という 言葉は ラテン語の tangens （「接する」という意味）に由来し、直線が 単位半径の円 に接することから来ている。一方、 セカントは ラテン語の secans （「切る」という意味）に由来し、直線が 円 を切ることから来ている。 [51]
接頭辞「 co- 」（「コサイン」「コタンジェント」「コセカント」で使われる）は、 エドマンド・グンター の 『三角形の基準』 （1620年）に見られる。この基準では、 コサインを 正弦補角（ 補角 の正弦） の略語として定義し、 コタンジェン も同様に定義している 。 [52] [53]
参照
注記
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外部リンク
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0de1a2399f8c3b723b71c5e24e8f0136fd4bb18)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{0<|x|<\pi の場合 .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4b74fe732906b09b6205ecfa81326222ae0320)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8d1437d98b6b4d05d4da50fe2e18bd39a7ff9e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{0<|x|<\pi の場合 .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6645779d6fe606694a0ac157fcdee271c7e795)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos xi\sin x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d374fafbe34908c7766b67e4c51797589906940)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590e4a1bbe3ccdb7521fe06a6e5b56e538d4e729)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh yi\sin x\sinh y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1646655eab602e234f42df85cae241ffbb867cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a94648d4600a711a8851dfaea622a269be4eda5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(xy\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(xy\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(xy)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a627a03bba700c34bee8de20cfa09d78b127716)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d631768e76acdd703625fbcaf9cdf8b8e3e9200f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9eb5a515edf456acce4c943b43121632bef4d27)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {crd} \theta &=2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {vers} \theta &=1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {hav} \theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {vers} \theta =\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {covers} \theta &=1-\sin \theta =\operatorname {vers} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -\theta {\bigr )},\\[5mu]\operatorname {exsec} \theta &=\sec \theta -1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a41622d234c91baba564f48637953db4bfe0d6)
