商群

Group obtained by aggregating similar elements of a larger group

商群または因数群とは、より大きな群の類似した元を、同値関係を用いて集約することで得られる数学的な群であり、この関係は群構造の一部を保存します（残りの構造は「因数分解」されます）。例えば、nを法とする加法の巡回群は、加法のもとでの整数群から、 nの倍数だけ異なる元を特定し、そのような各類（合同類と呼ばれる）に作用する群構造を単一の実体として定義することで得られます。これは群論と呼ばれる数学分野の一部です。 ${\displaystyle n}$

群の合同関係では、単位元の同値類は常に元の群の正規部分群であり、他の同値類はまさにその正規部分群の剰余類です。結果として得られる商は⁠ ⁠と表記されます。ここでは元の群、は正規部分群です。これは「⁠ ⁠」と読みます。ここではを法とする の略です。(表記⁠ ⁠は、一部の著者(例: Vinberg ^{[1] )は任意}の部分群におけるの左剰余類を表すためにこれを使用していますが、これらの剰余類は⁠ ⁠において正規でない場合、群を形成しません。他の著者(例: Dummit and Foote ^[2] )は、この表記を商群のみを参照するために使用し、この表記の出現は⁠ ⁠において正規であることを暗示しています。) ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G{\bmod {N}}}$ ${\displaystyle {\text{mod}}}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

商群の重要性の多くは、準同型写像との関係に由来する。第一同型定理は、任意の群の準同型写像は常に⁠ ⁠の商と同型である、ということを述べている。具体的には、準同型写像の像は⁠ ⁠の核を表す⁠ ⁠ と同型である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$ ${\displaystyle G\,/\,\ker(\varphi )}$ ${\displaystyle \ker(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

商群の双対概念は部分群であり、これらは大きな群から小さな群を形成する主な二つの方法である。任意の正規部分群には対応する商群があり、これは部分群の要素間の区別を消去することによって大きな群から形成される。圏論において、商群は部分対象と双対な商対象の例である。

定義と説明

群 と部分群⁠ ⁠、および固定元⁠ ⁠が与えられている場合、対応する左剰余類⁠ ⁠を考えることができます。剰余類は群の部分集合の自然なクラスです。例えば、通常の加算で定義される演算を持つ整数のアーベル群と、偶数の部分群を考えてみましょう。すると、剰余類はちょうど2つあります。⁠ ⁠は偶数、⁠ ⁠は奇数です（ここでは、二項演算に乗法表記ではなく加法表記を使用しています）。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle aH:=\left\{ah:h\in H\right\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0+H}$ ${\displaystyle 1+H}$

一般の部分群⁠ ⁠に対して、すべての可能な剰余類の集合 ${\displaystyle H}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\{aH:a\in G\right\}}$に対して、適合する群演算を定義することが望ましい。これは、 が正規部分群であるときにのみ可能である（下記参照）。群の部分群が正規であるためには、すべての⁠ ⁠に対して剰余類の等式が成り立つ必要がある。の正規部分群は⁠ ⁠と表記される。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aN=Na}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

意味

を群⁠ ⁠の正規部分群とします。集合を⁠ ⁠における⁠ ⁠のすべての左剰余類の集合と定義します。つまり、⁠ ⁠です。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$

単位元⁠ ⁠ ${\displaystyle e\in N}$ , ⁠ ⁠なので ${\displaystyle a\in aN}$、剰余類の集合⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$ , に対する二項演算を次のように定義します。⁠ ⁠における各およびについて、 ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ,の積は⁠ ⁠です。これは、 が各左剰余類の代表の選択、 ⁠ ⁠ , および ⁠ ⁠ の 選択に依存しないからこそ成り立ちます。これを証明するために、ある⁠ ⁠ に対しておよびを仮定します。すると ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle (aN)(bN)}$ ${\displaystyle (ab)N}$ ${\displaystyle (ab)N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle xN=aN}$ ${\displaystyle yN=bN}$ ${\displaystyle x,y,a,b\in G}$

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N.}$

これは、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$が正規部分群であるという事実に依存します。この条件が⁠ ⁠ ${\displaystyle G\,/\,N}$上の演算を定義するために十分であるだけでなく、必要であることはまだ示されていません。

それが必然的であることを示すために、⁠ ⁠の部分群に対して、演算が明確に定義されていることを考えてみましょう。つまり、すべての ⁠ ⁠ に対して、また ⁠ ⁠に対して⁠ ⁠が成り立ちます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xN=aN}$ ${\displaystyle yN=bN}$ ${\displaystyle x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N}$

と⁠ ⁠とします。⁠ ⁠なので⁠ ⁠が成り立ちます。 ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle eN=nN}$ ${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$

さて、そして⁠ ⁠。 ${\displaystyle gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$

したがって、は⁠ ⁠の正規部分群です。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

また、この演算は常に結合的であり、単位元⁠ ⁠を持ち、元の逆元は常に⁠ ⁠で表せることも確認できます。したがって、集合と ⁠ ⁠で定義される演算を組み合わせると、 ⁠ ⁠による商群となる群が形成されます。 ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle a^{-1}N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$の正規性により、 ⁠ ⁠の左剰余類と右剰余類は同じなので、⁠ ⁠の右剰余類の集合として定義することもできます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

例: 6を法とする加算

例えば、6を法とする加法群を考えてみましょう: ⁠ ⁠ 。 ${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$アーベル群なので正規な部分群⁠ ⁠ ${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$を考えてみましょう。すると、（左）剰余類の集合の大きさは3になります: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}.}$

上記で定義した二項演算により、このセットは商群と呼ばれるグループになり、この場合は位数 3 の巡回群と同型になります。

「商」という名前の由来

商群は整数の割り算に例えることができます。12 を 3 で割ると、12 個のオブジェクトを 3 個のオブジェクトの 4 つの部分集合に再グループ化できるため、結果が 4 になります。商群も同じ考え方ですが、最終的な答えは数値ではなく群になります。一般に、群は任意のオブジェクトの集合よりも構造が複雑です。商⁠ ⁠では、群構造を使用して自然な「再グループ化」を形成します。これらは⁠ ⁠におけるの剰余類です。群と通常の部分群から始めたため、最終的な商には剰余類の数 (通常の割り算で得られるもの) 以上の情報が含まれ、代わりに群構造自体が含まれます。 ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

例

偶数と奇数の整数

整数 群（加法のもとで）と、すべての偶数からなる部分群を考えてみましょう。これは正規部分群です。なぜなら、はアーベル群だからです。剰余類は偶数集合と奇数集合の2つだけなので、商群は2つの元を持つ巡回群です。この商群は、2を法とする加法集合と同型です。非公式には、 は2を法とする加法集合に等しいと言われることもあります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$

例をさらに詳しく説明します...

を⁠ ⁠で割ったときの余りを とします。すると、が偶数の場合、 が奇数の場合となります。 ${\displaystyle \gamma (m)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \gamma (m)=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma (m)=1}$ ${\displaystyle m}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$の定義により、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$の核はすべての偶数の整数の集合です。

⁠ ⁠ ${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$とします。すると、⁠ ⁠における恒等関数、つまり⁠ ⁠は⁠ ⁠に含まれ、2つの偶数の和は偶数であり、したがって、 と が⁠ ⁠に含まれる場合、は(閉包)に含まれ、が偶数の場合、も偶数であり、したがってその逆数を含むため、 は部分群です。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -m}$ ${\displaystyle H}$

をと定義し、は左剰余類の商群である。 ${\displaystyle \mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$

が奇数の場合は ⁠ ⁠が、が偶数の場合は⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu }$が定義されていることに注意してください。 ${\displaystyle \mu (aH)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$

したがって、は ⁠ ⁠ から⁠ ⁠への同型です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

整数除算の余り

最後の例を少し一般化します。もう一度、加算による整数の群を考えてみましょう。⁠ ⁠を任意の正の整数とします。⁠​​ ⁠のすべての倍数からなる⁠ ⁠の部分群を考えます。はアーベルなので、ここでも ⁠ ⁠ は正規です。剰余類は⁠ ⁠ の集合です。整数は⁠ ⁠剰余類に属し、 は⁠ ⁠で割ったときの余りです。商は⁠ ⁠を法とする「余り」の群と考えることができます。これは⁠ ⁠位数の巡回群です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

1の複素整数根

12 乗根Gにおける 4乗根 Nの剰余類。

複素単位円上の点である12乗根は、乗法アーベル群⁠ ⁠を形成します。これは、右の図に色付きのボールで示され、各点の数字はその複素引数を示します。赤いボールで示されている、1 の 4 乗根で構成されるその部分群を考えます。この正規部分群は、群を赤、緑、青で示されている 3 つの剰余類に分割します。剰余類が 3 つの要素からなる群を形成することを確認できます (赤い要素と青い要素の積は青、青い要素の逆は緑、など)。したがって、商群は3 色の群であり、3 つの要素を持つ巡回群であることがわかります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

整数を法とする実数

加法のもとでの実数 の群と整数の部分群を考えてみましょう。におけるの各剰余類は⁠ ⁠の形式をとる集合です。ここでは実数です。と は、の非整数部分が等しいときに同一の集合となるので、意味を変えることなく制約を課すことができます。このような剰余類の加算は、対応する実数を加算し、結果が 1 以上であれば 1 を引くことで行います。商群は、円周群、乗算のもとでの絶対値1の複素数の群、またはそれに対応して、2D における原点の周りの回転の群、つまり特殊直交群⁠ ⁠ と同型です。同型は ⁠ ⁠ によって与えられます(オイラーの恒等式を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle 0\leq a<1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$

実数行列

が可逆な実数行列の群であり、が行列式1を持つ実数行列の部分群である場合、はにおいて正規である（行列式準同型の核であるため）。 の剰余類は、与えられた行列式を持つ行列の集合であり、したがって は非零実数の乗法群と同型である。この群は特殊線型群⁠ ⁠として知られている。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$

整数剰余演算

アーベル群（つまり、 4を法とする加算を含む集合）とその部分群⁠ ⁠を考えます。商群は⁠ ⁠です。これは、単位元⁠ ⁠と、 ⁠ ⁠などの群演算を含む群です。部分群と商群はどちらも⁠ ⁠と同型です。 ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

整数乗算

乗法群⁠ ⁠を考えます。 ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$⁠ ⁠番目の留数の集合は⁠ ⁠と同型な乗法部分群です。すると⁠ ⁠は正規分布し、因数群には⁠​​ ⁠ の剰余類が存在します。Paillier暗号は、 ⁠ ⁠の因数分解を知らずに⁠ ⁠のランダムな元の剰余類を決定することは困難であるという予想に基づいています。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$

プロパティ

商群は自明群（1つの元を持つ群）と同型であり、 ⁠ ⁠と同型です。 ${\displaystyle G\,/\,G}$ ${\displaystyle G\,/\,\left\{e\right\}}$ ${\displaystyle G}$

⁠ ⁠の位数（定義により要素数）は、⁠ ⁠における⁠ ⁠のインデックス⁠ ⁠ に等しくなります。 が有限の場合、インデックスは ⁠ ⁠の位数を⁠ ⁠の位数で割った値にも等しくなります。 と はどちらも無限ですが、集合は有限である場合があります（例：⁠ ⁠）。 ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \vert G:N\vert }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$

⁠ ⁠の各元を ⁠ ⁠が属する⁠ ⁠の剰余類に写す「自然な」射影 群準同型写像 が存在する。つまり、 ⁠ ⁠ である。この写像は⁠ ⁠ の⁠ ⁠への標準射影と呼ばれることもある。その核は⁠ ⁠である。 ${\displaystyle \pi :G\rightarrow G\,/\,N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi (g)=gN}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$

を含むの部分群と⁠ ⁠の部分群の間には全単射対応が存在する。 が⁠ ⁠を含むの部分群である場合、対応する ⁠ ⁠ の部分群は⁠ ⁠である。この対応はおよびの正規部分群にも成り立ち、格子定理で形式化されている。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \pi (H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

商群のいくつかの重要な性質は、準同型性に関する基本定理と同型定理に記録されています。

がアーベル、冪零、可解、巡回、または有限生成である場合、 ⁠ ⁠ もそうです。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

が有限群⁠ ⁠の部分群であり、⁠ ⁠ の位数が ⁠ ⁠の位数の半分である場合、 は正規部分群であることが保証されるため、が存在し、 ⁠ ⁠と同型です。この結果は「指数2の任意の部分群は正規である」とも述べられ、この形式では無限群にも適用されます。さらに、 が有限群⁠ ⁠の位数を割り切る最小の素数である場合、 が位数⁠ ⁠を持つ場合、は⁠ ⁠の正規部分群でなければなりません。^[3] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

と正規部分群⁠ ⁠が与えられている場合、⁠ ⁠ による⁠ ⁠の群拡大です。この拡大が自明か分割か、つまり⁠ ⁠の直積か半直積かを尋ねることができます。これは拡大問題の特殊なケースです。拡大が分割されない例は次のとおりです。⁠ ⁠、および⁠ ⁠とします。これは⁠ ⁠と同型です。すると⁠ ⁠も同型になります。しかしは自明な自己同型のみを持つため、との唯一の半直積は直積です。は⁠ ⁠とは異なるため、は ⁠ ⁠と⁠ ⁠の半直積ではないと結論付けられます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle N=\left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

リー群の商

がリー群であり、が⁠ ⁠の正規かつ閉リー部分群（代数的な意味ではなく位相的な意味で）である場合、その商もリー群となる。この場合、元の群はファイバー束（具体的には主⁠ ⁠ -束）の構造を持ち、基底空間とファイバー⁠ ⁠を持つ。 の次元は⁠ ⁠に等しい。^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \dim G-\dim N}$

が閉じているという条件が必要であることに注意してください。実際、が閉じていない場合、商空間はT1空間ではありません（商には、開集合によって恒等集合から分離できない剰余類が存在するため）。したがって、ハウスドルフ空間でもありません。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

非正規リー部分群⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$の場合、左剰余類の空間は群ではなく、単に が作用する微分可能多様体である。その結果は同次空間として知られる。 ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$

参照

• グループ拡張
• 商カテゴリ
• 短い完全列

注記

1. Vinberg, Ė B. (2003). 『代数学講座』 . 大学院数学研究科. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会. p. 157. ISBN 978-0-8218-3318-6。
2. ダミット＆フット（2003年、95ページ）
3. ダミット＆フット（2003年、120ページ）
4. ジョン・M・リー『滑らかな多様体入門』第2版、定理21.17

参考文献

• ダミット、デイビッド・S.; フット、リチャード・M. (2003) 『抽象代数（第3版）』ニューヨーク：ワイリー、ISBN 978-0-471-43334-7
• Herstein, IN (1975), Topics in Algebra (2nd ed.), New York: Wiley , ISBN 0-471-02371-X

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quotient_group&oldid=1320489539"