nを法とする整数の乗法群

Group of units of the ring of integers modulo n

モジュラー算術では、n 個の非負整数の集合のうちnと互いに素な（互いに素な）整数は、 nを法とする乗法の下で群を形成し、nを法とする整数の乗法群と呼ばれます。同様に、この群の元は、nと互いに素である合同類（nを法とする剰余とも呼ばれる）と考えることができます。そのため、 nを法とする原始剰余類の群とも呼ばれます。抽象代数の分野である環理論では、これはnを法とする整数の環の単位群として説明されます。ここで、単位は乗法逆元を持つ元を指し、この環では、それらの元はまさにnと互いに素です。 ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$

この群は通常 と表記され、数論において基本的な群である。暗号、整数の因数分解、素数判定に用いられる。これはアーベル有限群であり、その位数はオイラーのトーティエント関数によって与えられる。 素数nに対してこの群は巡回群であり、一般にその構造は容易に記述できるが、生成元を求めるための簡単な一般式は知られていない。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).}$

群公理

乗算において、 nを法としてnと互いに素である合同類の集合がアーベル群の公理を満たすことを示すのは簡単な演習です。

実際、a がnと互いに素であるための必要十分条件は、 gcd ( a , n )=1である。同じ合同類a ≡ b (mod n )に属する整数は、gcd( a , n )=gcd( b , n )を満たす。したがって、一方が n と互いに素であるための必要十分条件は、他方がnと互いに素であるための必要十分条件である。このように、 nを法としてnと互いに素である合同類の概念は明確に定義されている。

gcd( a , n ) = 1かつgcd( b , n ) = 1はgcd( ab , n ) = 1を意味するので、 nと互いに素なクラスの集合は乗算に関して閉じています。

整数乗算は合同類に従います。つまり、a ≡ a'かつb ≡ b' (mod n )ならば、 ab ≡ a'b' (mod n )が成り立ちます。これは、乗算が結合法則と可換法則を持ち、1 の類が唯一の乗法単位元であることを意味します。

最後に、aが与えられたとき、nを法とするaの逆数は、 ax ≡ 1 (mod n )を満たす整数xである。これは、 a がnと互いに素である場合にのみ存在する。なぜなら、その場合gcd( a , n ) = 1となり、ベズーの補題により、ax + ny = 1を満たす整数xとy が存在するからである。方程式ax + ny = 1 は、 xがnと互いに素であることを意味するため、逆数は群に属することに注意されたい。

表記

nを法とする整数（の合同類）の集合と、その加法および乗法の演算は環である。これは  または と  表記される（この表記法は、イデアルを法とする整数の商、またはnの倍数から成る整数の  商を表す）。数論以外では、より単純な表記法がしばしば用いられるが、 n が素数である場合のp進整数と混同されることがある。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$

nを法とする整数の乗法群、すなわちこの環の単位群は、（著者によっては）   （ドイツ語のEinheitは単位と訳される）、、あるいは類似の表記法で表記される。この記事では、 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },}$   ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},}$   ${\displaystyle \mathrm {U} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),}$   ${\displaystyle \mathrm {E} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.}$

この記法は、位数nの巡回群を指します。これは、加法のもとでnを法とする整数群と同型です。また、 またはも加法のもとで群を指す場合があることに注意してください。例えば、素数pの乗法群は巡回群であるため、加法群と同型ですが、同型性は明らかではありません。 ${\displaystyle \mathrm {C} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$

構造

nを法とする整数の乗法群の位数は、 nと互いに素な整数の個数である。これはオイラーのトーシェント関数（OEISの列A000010 ）によって与えられる。素数pの場合、となる。 ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$ ${\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi (p)=p-1}$

循環的なケース

この群が巡回的となるのは、 nが1、2、4、p ^k、または2 p ^k（ただしpは奇数の素数、k > 0）の場合のみである。それ以外のnの値では、この群は巡回的ではない。^{[1] [2] [3]これは}ガウスによって初めて証明された。^[4] ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

これは、次のnに対して次のことを意味します。

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{\varphi (n)},}$どこ ${\displaystyle \varphi (p^{k})=\varphi (2p^{k})=p^{k}-p^{k-1}.}$

定義により、群が巡回的であるためには、生成元 gが存在する必要がある。つまり、 のべき乗は、nを法として n と互いに素なすべての剰余を与える（最初のべき乗は、それぞれをちょうど1回ずつ与える）。 の生成元は、 n を法として原始根と呼ばれる。^[5]生成元が1つあれば、それらの生成元は存在する。 ${\displaystyle g^{0},g^{1},g^{2},\dots ,}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle g^{0},\dots ,g^{\varphi (n)-1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \varphi (\varphi (n))}$

2の累乗

1を法として任意の2つの整数は合同である。すなわち、1と互いに素な合同類は[0]のみである。したがって、はφ(1) = 1を元とする自明な群である。その自明な性質のため、1を法として合同となるケースは一般に無視され、 n = 1の場合を定理の記述に含めない著者もいる。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /1\,\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}}$

2を法として互いに素な合同類は1つだけ存在する[1]ので、自明群も1つだけ存在する。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{1}}$

4を法として互いに素な合同類が2つある[1]と[3]ので、巡回群は2つの要素を持つ。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2},}$

8を法として、互いに素な合同類が4つあります。[1]、[3]、[5]、[7]です。これらのそれぞれの平方は1なので、クラインの4群はです。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$

16を法として、互いに素な合同類は8つ存在する[1]、[3]、[5]、[7]、[9]、[11]、[13]、[15]。は2乗捩れ部分群（つまり、各元の平方が1）であるため、巡回的ではない。3のべき乗は4の位数の部分群であり、5のべき乗も同様である。   したがって、 ${\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \{1,3,9,11\}}$ ${\displaystyle \{1,5,9,13\}.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{4}.}$

8 と 16 で示したパターンは、k > 2 のより高いべき乗 2 ^{kに対しても成り立ちます[6]}。は 2 次元捩れ部分群なので巡回できず、 3 のべき乗は2 ^{k − 2}の位数の巡回部分群なので、次のようになります。 ${\displaystyle \{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2},}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2^{k-2}}.}$

一般的な合成数

有限アーベル群の基本定理により、この群は素数冪順序の巡回群の直積に同型である。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

より具体的には、中国剰余定理^[7]によれば、 環はその素因数それぞれに対応する環の直積である。 ${\displaystyle \;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;}$

同様に、単位群は、各素数係数に対応する群の直積です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}$

奇数の素数冪に対応する因数は位数の巡回群であり、これはさらに素数冪位数の巡回群に因数分解できる。2の冪乗の場合、この因数はk = 0, 1, 2でない限り巡回群ではないが、上述のように巡回群に因数分解できる。 ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /{p^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /{2^{k}}\mathbb {Z} )^{\times }}$

群の位数は、直積における巡回群の位数の積である。群の指数、すなわち巡回群の位数の最小公倍数は、カーマイケル関数（OEISの列A002322 ）によって与えられる。言い換えれば、 はnと互いに素な各aに対して が成り立つような最小の数である。群が巡回的である場合に限り、 は n を割り切り、かつ に等しい。 ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$

偽証人のサブグループ

nが合成数の場合、 の適切な部分群が存在する可能性があり、これは「偽証群」と呼ばれ、方程式 の解、つまりn − 1乗した元がnを法として 1 と合同な元から構成されます。^[8]フェルマーの小定理によれば、 n = p が素数である場合、この群はすべての で構成されます。したがって、 n が合成数である場合、このような剰余xは、 nが素数であることの「偽陽性」または「偽証」です。この基本的な素数判定では、数x = 2 が最もよく使用され、 であり、 n = 341 がx = 2 が素数であることの偽証となる最小の合成数であるため、n = 341 = 11 × 31が注目に値します 。実際、 341 の偽証部分群には 100 個の元が含まれ、300 個の元からなる群内でインデックス 3 になります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$ ${\displaystyle x^{n-1}=1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle 2^{341-1}\equiv 1\mod 341}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{341}^{\times }}$

例

n= 9

偽証の非自明な部分群を持つ最小の例は、9 = 3 × 3です。9 と互いに素な剰余は6つあります。1、2、4、5、7、8です。8 は 9 を法として −1と合同なので、 8 ⁸は 9 を法として 1 と合同です。したがって、 1 と 8 は 9 の「素数性」に関して偽陽性です（9 は実際には素数ではないため）。実際にはこれらだけが素数であるため、部分群 {1,8} は偽証の部分群です。同じ議論から、任意の奇数の合成数nに対してn − 1が「偽証」であることが示されます。

n= 91

n = 91 (= 7 × 13)の場合、 91 と互いに素な剰余があり、その半分 (つまり 36 個) は 91 の偽証であり、つまり 1、3、4、9、10、12、16、17、22、23、25、27、29、30、36、38、40、43、48、51、53、55、61、62、64、66、68、69、74、75、79、81、82、87、88、90 です。これらのxの値の場合、x ⁹⁰は 1 mod 91 と合同であるためです。 ${\displaystyle \varphi (91)=72}$

n= 561

n = 561 (= 3 × 11 × 17) はカーマイケル数なので、 561と互いに素な任意の整数sに対して、 s ⁵⁶⁰は561 を法として 1 と合同です。この場合、偽証の部分群は適切ではなく、561 を法とする乗法単位のグループ全体であり、320 個の剰余から構成されます。

例

この表は、 n ≤ 128の巡回分解と生成集合を示している。分解と生成集合は一意ではない。例えば、 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}(\mathbb {Z} /35\mathbb {Z} )^{\times }&\cong (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} )^{\times }\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{6}\cong \mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{3}\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{12}\cong (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /13\mathbb {Z} )^{\times }\\&\cong (\mathbb {Z} /52\mathbb {Z} )^{\times }\end{aligned}}}$

（ただし）。以下の表は、最も短い分解を列挙したものである（これらのうち、辞書順で最初のものが選択されている。これにより、同型群は同じ分解で列挙されることが保証される）。生成集合も可能な限り短くなるように選択され、原始根を持つnについては、 nを法とする最小の原始根が列挙されている。 ${\displaystyle \not \cong \mathrm {C} _{24}\cong \mathrm {C} _{8}\times \mathrm {C} _{3}}$

例えば、 を例に挙げてみましょう。 は群の位数が8であることを意味します（つまり、20未満で20と互いに素な数が8個あるということです）。 は各元の位数が4を割り切ることを意味します。つまり、20と互いに素な数の4乗は1（mod 20）と合同です。集合{3,19}は群を生成します。つまり、 のすべての元は3 ^a × 19 ^bの形になります（ここで、 aは0、1、2、または3です。元3の位数は4です。同様に、bは0または1です。元19の位数は2です）。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \varphi (20)=8}$ ${\displaystyle \lambda (20)=4}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }}$

nを法とする最小の原始根は（根が存在しない場合は0）である。

0、1、2、3、2、5、3、0、2、3、2、0、2、3、0、0、3、5、2、0、0、7、5、0、2、7、2、0、2、0、3、0、0、3、0、0、2、3、0、0、6、0、3、0、0、5、5、0、3、3、0、0、2、5、0、0、0、3、2、0、2、3、0、0、0、2、0、0、0、7、0、5、5、0、0、0、0、0、3、0、2、 7、2、0、0、3、0、0、3、0、...（OEISのシーケンスA046145）

nを法とする最小生成集合の要素の数は

1、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、2、1、1、2、2、1、1、1、2、2、1、1、3、1、1、1、2、1、2、2、1、2、2、1、2、2、1、1、2、3、1、2、1、2、2、2、1、1、2、3、1、2、1、2、2、1、1、2、3、1、2、1、2、2、1、1、3、1、1、2、2、2、1、1、2、3、2、1、1、3、1、1、2、2、2、2、1、2、2、2、1、3、1、1、2、2、2、2、1、2、2、2、1、3、1、1、2、2、2、2、2、1、3、1、 1、1、3、2、1、2、3、1、2、...（OEISの配列A046072）

グループ構造 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	発電セット		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	発電セット		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	発電セット		${\displaystyle n\;}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)}$	${\displaystyle \lambda (n)\;}$	発電セット
1	C 1	1	1	0		33	C 2 ×C 10	20	10	2、10		65	C 4 ×C 12	48	12	2、12		97	C 96	96	96	5
2	C 1	1	1	1		34	C 16	16	16	3		66	C 2 ×C 10	20	10	5、7		98	C 42	42	42	3
3	C 2	2	2	2		35	C 2 ×C 12	24	12	2、6		67	C 66	66	66	2		99	C 2 ×C 30	60	30	2、5
4	C 2	2	2	3		36	C 2 ×C 6	12	6	5、19		68	C 2 ×C 16	32	16	3、67		100	C 2 ×C 20	40	20	3,99
5	C4​	4	4	2		37	C 36	36	36	2		69	C 2 ×C 22	44	22	2、68		101	C 100	100	100	2
6	C 2	2	2	5		38	C 18	18	18	3		70	C 2 ×C 12	24	12	3、69		102	C 2 ×C 16	32	16	5, 101
7	C6​	6	6	3		39	C 2 ×C 12	24	12	2、38		71	C 70	70	70	7		103	C 102	102	102	5
8	C 2 ×C 2	4	2	3、5		40	C 2 ×C 2 ×C 4	16	4	3、11、39		72	C 2 ×C 2 ×C 6	24	6	5、17、19		104	C 2 ×C 2 ×C 12	48	12	3、5、103
9	C6​	6	6	2		41	C 40	40	40	6		73	C 72	72	72	5		105	C 2 ×C 2 ×C 12	48	12	2、29、41
10	C4​	4	4	3		42	C 2 ×C 6	12	6	5、13		74	C 36	36	36	5		106	C 52	52	52	3
11	C 10	10	10	2		43	C 42	42	42	3		75	C 2 ×C 20	40	20	2、74		107	C 106	106	106	2
12	C 2 ×C 2	4	2	5、7		44	C 2 ×C 10	20	10	3、43		76	C 2 ×C 18	36	18	3、37		108	C 2 ×C 18	36	18	5, 107
13	C 12	12	12	2		45	C 2 ×C 12	24	12	2、44		77	C 2 ×C 30	60	30	2、76		109	C 108	108	108	6
14	C6​	6	6	3		46	C 22	22	22	5		78	C 2 ×C 12	24	12	5、7		110	C 2 ×C 20	40	20	3, 109
15	C 2 ×C 4	8	4	2、14		47	C 46	46	46	5		79	C 78	78	78	3		111	C 2 ×C 36	72	36	2,110
16	C 2 ×C 4	8	4	3、15		48	C 2 ×C 2 ×C 4	16	4	5、7、47		80	C 2 ×C 4 ×C 4	32	4	3、7、79		112	C 2 ×C 2 ×C 12	48	12	3、5、111
17	C 16	16	16	3		49	C 42	42	42	3		81	C 54	54	54	2		113	C 112	112	112	3
18	C6​	6	6	5		50	C 20	20	20	3		82	C 40	40	40	7		114	C 2 ×C 18	36	18	5、37
19	C 18	18	18	2		51	C 2 ×C 16	32	16	5、50		83	C 82	82	82	2		115	C 2 ×C 44	88	44	2,114
20	C 2 ×C 4	8	4	3、19		52	C 2 ×C 12	24	12	7、51		84	C 2 ×C 2 ×C 6	24	6	5、11、13		116	C 2 ×C 28	56	28	3,115
21	C 2 ×C 6	12	6	2、20		53	C 52	52	52	2		85	C 4 ×C 16	64	16	2、3		117	C 6 ×C 12	72	12	2、17
22	C 10	10	10	7		54	C 18	18	18	5		86	C 42	42	42	3		118	C 58	58	58	11
23	C 22	22	22	5		55	C 2 ×C 20	40	20	2、21		87	C 2 ×C 28	56	28	2, 86		119	C 2 ×C 48	96	48	3, 118
24	C 2 ×C 2 ×C 2	8	2	5、7、13		56	C 2 ×C 2 ×C 6	24	6	3、13、29		88	C 2 ×C 2 ×C 10	40	10	3、5、7		120	C 2 ×C 2 ×C 2 ×C 4	32	4	7、11、19、29
25	C 20	20	20	2		57	C 2 ×C 18	36	18	2、20		89	C 88	88	88	3		121	C 110	110	110	2
26	C 12	12	12	7		58	C 28	28	28	3		90	C 2 ×C 12	24	12	7、11		122	C 60	60	60	7
27	C 18	18	18	2		59	C 58	58	58	2		91	C 6 ×C 12	72	12	2、3		123	C 2 ×C 40	80	40	7、83
28	C 2 ×C 6	12	6	3、13		60	C 2 ×C 2 ×C 4	16	4	7、11、19		92	C 2 ×C 22	44	22	3、91		124	C 2 ×C 30	60	30	3、61
29	C 28	28	28	2		61	C 60	60	60	2		93	C 2 ×C 30	60	30	11、61		125	C 100	100	100	2
30	C 2 ×C 4	8	4	7、11		62	C 30	30	30	3		94	C 46	46	46	5		126	C 6 ×C 6	36	6	5、13
31	C 30	30	30	3		63	C 6 ×C 6	36	6	2、5		95	C 2 ×C 36	72	36	2、94		127	C 126	126	126	3
32	C 2 ×C 8	16	8	3、31		64	C 2 ×C 16	32	16	3、63		96	C 2 ×C 2 ×C 8	32	8	5、17、31		128	C 2 ×C 32	64	32	3, 127

参照

• レンストラ楕円曲線因数分解

注記

1. ワイスタイン、エリック W.「モジュロ乗算グループ」。マスワールド。
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3. Vinogradov 2003, pp. 105–121, § VI 原始根と指数
4. ガウス 1986、52–56、82–891 ページ。
5. ヴィノグラドフ 2003、106ページ。
6. ガウス 1986年、第90～91節。
7. Rieselはこれらすべてをカバーしています。Riesel 1994、pp. 267–275。
8. エルデシュ, ポール;ポメランス, カール(1986). 「合成数における偽証の数について」.計算数学. 46 (173): 259– 279. doi : 10.1090/s0025-5718-1986-0815848-x . Zbl  0586.10003.

参考文献

『算術論』は、ガウスのキケロ語ラテン語から英語とドイツ語に翻訳されました。ドイツ語版には、彼の数論に関するすべての論文、すなわち、二次の相互法則のすべての証明、ガウス和の符号の決定、双二次の相互法則の研究、そして未発表のノートが収録されています。

• ガウス、カール・フリードリヒ（1986年）、Disquisitiones Arithmeticae（英訳、第2版、訂正版）、クラーク、アーサー・A.訳、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (German translation, Second edition) , translation by H. Maser, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0191-3
• リーゼル、ハンス（1994）、素数と因数分解のためのコンピュータ手法（第2版）、ボストン：ビルクハウザー、ISBN 978-0-8176-3743-9
• Vinogradov, IM (2003)、「§ VI 原始根と指数」、Elements of Number Theory、ミネオラ、ニューヨーク州：Dover Publications、pp.  105– 121、ISBN 978-0-486-49530-9

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W.「モジュロ乗算グループ」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック・W.「原始根」。MathWorld。
• John Jonesによるグループテーブルを対話的に計算するWebベースのツール
• OEISシーケンスA033948（原始根を持つ数（nを法とする乗法群が巡回的））
• nを法とする乗法群がk巡回群の直積となるような数n：
  • k = 2 OEIS配列A272592（2つの巡回群）
  • k = 3 OEIS配列A272593（3つの巡回グループ）
  • k = 4 OEIS配列A272594（4つの巡回グループ）
• OEISシーケンスA272590（mを法とする乗法群がn巡回群の直積となるような最小の数m）

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