正規閉包（群論）

Smallest normal group containing a set

群論では、群の部分集合の正規閉包とは、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S.}$

プロパティと説明

正式には、が群であり がの正規閉包の部分集合である場合、はを含むのすべての正規部分群の共通部分である：^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.}$$

正規閉包とは、 ^[1]を含む最小の正規部分群であり、その意味ではを含むすべての正規部分群の部分集合である。 ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S.}$

部分群は、の元の共役群全体の集合によって生成される部分群です。したがって、 の元の共役群またはその逆群の積全体の集合として部分群を書くこともできます。 ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S^{G}=\{s^{g}:s\in S,g\in G\}=\{g^{-1}sg:s\in S,g\in G\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\cdots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.}$$

任意の正規部分群はその正規閉包に等しい。空集合の正規閉包は 自明部分群である。^[2] ${\displaystyle \varnothing }$

文献では、正規閉包を表すために、以下のような様々な表記法が使われている。 ${\displaystyle \langle S^{G}\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle S\rangle ^{G},}$ ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle _{G},}$ ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.}$

正規閉包の概念の双対として、正規内部または正規核^{の概念があり、 [3]}に含まれるすべての正規部分群の結合として定義されます。 ${\displaystyle S.}$

グループプレゼンテーション

生成子と定義関係子を含む表示によって与えられた群に対して、表示表記は、が商群であり、が^[4]上の自由群であることを意味する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=F(S)/\operatorname {ncl} _{F(S)}(R),}$ ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle S.}$

参考文献

1. Derek F. Holt、Bettina Eick、Eamonn A. O'Brien (2005). 計算群論ハンドブック. CRC Press. p. 14. ISBN 1-58488-372-3。
2. ロットマン, ジョセフ・J. (1995). 群論入門. 大学院数学テキスト. 第148巻（第4版）. ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. p. 32. doi :10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 0-387-94285-8. MR  1307623。
3. Robinson, Derek JS (1996). 『群論講座』 . 『数学大学院テキスト』. 第80巻（第2版）. Springer-Verlag . p. 16. ISBN 0-387-94461-3. Zbl  0836.20001.
4. リンドン、ロジャー・C.シュップ、ポール E. (2001)。組み合わせ群理論。数学の古典。シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン。 p. 87.ISBN​  3-540-41158-5. MR  1812024。

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