四元数グループ

四元数群の乗算表（簡略版）
	$1$	$私$	$j$	$け$
$1$	$1$	$私$	$j$	$け$
$私$	$私$	$-1$	$け$	$- j$
$j$	$j$	$- k$	$-1$	$私$
$け$	$け$	$j$	$- 私$	$-1$

Q _8のサイクル図。各色は、単位元 e = 1 に連結された任意の元の累乗の級数を表します。例えば、赤色のサイクルは、i ² = e、i ³ = i、i ⁴ = e であることを示しています。また、赤色のサイクルは、 i ² = e、i ³ = i 、i ⁴ = e であることを示しています。

群論において、四元数群Q ₈（Qと表記されることもある）は、乗法のもとで四元数の8元部分集合に同型な、位数8の非可換群である。これは群の表示によって与えられる。 $\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$

\mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,

ここで、eは単位元であり、群の他の元と可換である。WR ハミルトンによって発見されたこれらの関係は、実数上の代数として四元数も生成する。

_Q8の別のプレゼンテーションは

\mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .

他の多くの有限群と同様に、これは代数的数体のガロア群として実現できる。^[1]

二面体群と比較して

四元数群 Q _{8 は}二面体群 D ₄と同じ順序を持ちますが、ケーリーグラフとサイクルグラフで示されるように構造が異なります。

	質問₈	D4
ケイリーグラフ	赤い矢印はg → gi を接続し、緑の矢印はg → gjを接続します。
サイクルグラフ

_{D 4}の図では、群の要素は定義表現R ^{2 の}文字 F への作用で示されています。Q _{8については、}R ²やR ³に忠実な表現がないため、同様のことは行えません。D _{4 は、Q}_{8 が}四元数の部分集合として見ることができるのと同様に、分割四元数の部分集合として実現できます。

ケイリー表

_Q8のケイリー表（掛け算表）は次のように表される：^[2]

×	e	e	私	私	j	j	け	け
e	e	e	私	私	j	j	け	け
e	e	e	私	私	j	j	け	け
私	私	私	e	e	け	け	j	j
私	私	私	e	e	け	け	j	j
j	j	j	け	け	e	e	私	私
j	j	j	け	け	e	e	私	私
け	け	け	j	j	私	私	e	e
け	け	け	j	j	私	私	e	e

プロパティ

Q ₈において、要素i、j、k はすべて位数4であり、そのうちの2つが群全体を生成します。この冗長性を回避するために、2つの要素のみに基づくQ ₈^[3]の別の表現は次のようになります。

\left\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\right\rangle .

たとえば、グループ要素を辞書式最小正規形で記述すると、次のようになります。

$\{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}\leftrightarrow \{e,x^{2},x,x^{3},y,x^{2}y,xy,x^{3}y\}.$

四元数群はハミルトン群であるという珍しい性質を持つ。Q ₈は非可換群であるが、すべての部分群は正規群である。^{[4]すべてのハミルトン群には Q}₈のコピーが含まれる。^[5]

四元数群 Q ₈と二面体群 D _4は、べき零非可換群の 2 つの最小の例です。

Q ₈の中心と交換子部分群は部分群である。Q ₈の内部自己同型群は、その中心を法とする群、すなわちクラインの4元群Vと同型な因子群によって与えられる。Q ₈の完全自己同型群は、4文字の対称群であるS _4と同型であり（以下の行列表現を参照）、したがってQ _8の外部自己同型群はS ₄ /Vであり、これはS ₃と同型である。 $\{e,{\bar {e}}\}$ $\mathrm {Q} _{8}/\{e,{\bar {e}}\},$

四元数群Q ₈には5つの共役類があり、したがって1, 1, 1, 1, 2の次元を持つ複素数上の 5つの既約表現があります。 $\{e\},\{{\bar {e}}\},\{i,{\bar {i}}\},\{j,{\bar {j}}\},\{k,{\bar {k}}\},$

自明な表現。

i, j, k核による符号表現：Q ₈には3つの最大正規部分群、すなわちそれぞれi, j, kによって生成される巡回部分群が存在する。各最大正規部分群Nに対し、2元商群 G / Nを因数分解する1次元表現が得られる。この表現は、 Nの元を1に、N外の元を-1にする。

2次元表現：後述の行列表現で説明されている。これは実数上では実現不可能だが、複素表現である。つまり、これは上の代数として考えられた四元数であり、その作用はによる左乗算である。 $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $Q_{8}\subset \mathbb {H}$

Q ₈の文字テーブルは D ₄の文字テーブルと同じであることがわかります。

表現(ρ)/共役類	{ e }	{ e }	{ 私、私}	{ j, j }	{ k, k }
自明な表現	1	1	1	1	1
i-kernelによる符号表現	1	1	1	−1	−1
j-kernelによる符号表現	1	1	−1	1	−1
k-カーネルによる符号表現	1	1	−1	−1	1
2次元表現	2	−2	0	0	0

それでも、上の行の既約な指標はすべて実数値を持つので、実群代数は最小の両側イデアルに分解されます。 $\chi _{\rho }$ $G=\mathrm {Q} _{8}$

\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]=\bigoplus _{\rho }(e_{\rho }),

ここで、べき等元は既約元に対応する。 $e_{\rho }\in \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]$

e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g,

となることによって

{\begin{aligned}e_{\text{triv}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{i{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{j{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{k{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{2}&={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\end{aligned}}

これらの既約イデアルはそれぞれ実中心単純代数と同型であり、最初の4つは実体と同型である。最後のイデアルは、以下の対応により四元数の歪体と同型である。 $\mathbb {R}$ $(e_{2})$ $\mathbb {H}$

{\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})&\longleftrightarrow 1,\\{\tfrac {1}{2}}(i-{\bar {i}})&\longleftrightarrow i,\\{\tfrac {1}{2}}(j-{\bar {j}})&\longleftrightarrow j,\\{\tfrac {1}{2}}(k-{\bar {k}})&\longleftrightarrow k.\end{aligned}}

さらに、によって与えられる射影準同型は、べき等によって生成される核イデアルを持つ。 $\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H}$ $r\mapsto re_{2}$

e_{2}^{\perp }=e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),

したがって、四元数は商環としても得られる。これはの実数表現としては既約であるが、複素数に拡張すると二次元既約の2つのコピーに分割される点に注意されたい。実際、複素群代数はであり、は双四元数の代数である。 $\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H}$ $Q_{8}$ $\mathbb {C} [\mathrm {Q} _{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ),$ $M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

行列表現

上述の2次元既約複素表現は、四元数群Q _8を一般線型群の部分群として与える。四元数群は、四元数代数の乗法部分群である。 $\operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )$

\mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=1\mathbb {C} +j\mathbb {C} ,

これは、右複素ベクトル空間を基底として考えた場合、それ自身への左乗法による正規表現を持ち、その空間は-線型写像に対応する。結果として得られる表現 $\rho :\mathbb {H} \to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ $\{1,j\},$ $z\in \mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\rho _{z}:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb).$

{\begin{cases}\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )\\g\longmapsto \rho _{g}\end{cases}}

は次のように与えられます。

{\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}

上記の行列はすべて単位行列式を持つので、これは特殊線型群における_Q8の表現である。^[6] $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$

変形として、ユニタリ行列による表現があります（右表）。を線形写像に対応させると、は次のように表されます。 $g\in \mathrm {Q} _{8}$ $\rho _{g}:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot jg^{-1}j^{-1},$ $\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SU} (2)$

{\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}

物理学者は、通常のパウリ行列を扱うために、行列表現に異なる規則を排他的に使用していることは注目に値します。 $\operatorname {SU} (2)$

{\begin{matrix}&e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\quad \,1_{2\times 2}&i\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-i\!\\\!\!-i\!\!&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{x}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-1\!\\1&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{y}&k\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-i\!\!&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i\sigma _{z}\\&{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-1\!&0\\0&\!\!\!-1\!\end{pmatrix}}=-1_{2\times 2}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{x}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!-1\!\!&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{y}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!-i\!\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{z}.\end{matrix}}

この特定の選択は、基底関数でスピン1/2状態を記述し、角運動量ラダー演算子を考慮する場合に便利でエレガントである。 $({\vec {J}}^{2},J_{z})$ $J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}.$

_{Q 8には}有限体上の2次元ベクトル空間への重要な作用もある（右表）。モジュラー表現は次のように与えられる。 $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,-1\}$ $\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SL} (2,3)$

{\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}

この表現は拡張フィールドから取得できます。

\mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[k]=\mathbb {F} _{3}1+\mathbb {F} _{3}k,

ここで、乗法群には位数8の4つの生成元がある。それぞれに対して、 2次元ベクトル空間には線形写像が許される。 $k^{2}=-1$ $\mathbb {F} _{9}^{\times }$ $\pm (k\pm 1),$ $z\in \mathbb {F} _{9},$ $\mathbb {F} _{3}$ $\mathbb {F} _{9}$

{\begin{cases}\mu _{z}:\mathbb {F} _{9}\to \mathbb {F} _{9}\\\mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)\end{cases}}

さらに、次を満たすフロベニウス自己同型があり、上記の表現行列は次のようになります。 $\phi (a+bk)=(a+bk)^{3}$ $\phi ^{2}=\mu _{1}$ $\phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi .$

{\begin{aligned}\rho ({\bar {e}})&=\mu _{-1},\\\rho (i)&=\mu _{k+1}\phi ,\\\rho (j)&=\mu _{k-1}\phi ,\\\rho (k)&=\mu _{k}.\end{aligned}}

この表現は、Q _{8 を}GL(2, 3)の正規部分群として実現する。したがって、各行列に対して、群の自己同型性が存在する。 $m\in \operatorname {GL} (2,3)$

{\begin{cases}\psi _{m}:\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {Q} _{8}\\\psi _{m}(g)=mgm^{-1}\end{cases}}

実際、これらは完全な自己同型群を与える： $\psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{\mathrm {Q} _{8}}.$

\operatorname {Aut} (\mathrm {Q} _{8})\cong \operatorname {PGL} (2,3)=\operatorname {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}.

これは対称群S ₄と同型である。なぜなら線型写像は射影空間の4つの点、すなわち4つの1次元部分空間を置換するからである。 $m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}$ $\mathbb {F} _{3}^{2},$ $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {F} _{3})=\operatorname {PG} (1,3).$

また、この表現は、通常の表現によって与えられた埋め込みに加えて、対称群S ₈へのQ ₈の埋め込みを与える 8 つの非ゼロベクトルを並べ替えます。 $\mathbb {F} _{3}^{2},$

ガロア群

リヒャルト・デデキントは、四元数群をガロア理論に関連付ける試みの中でこの体を考慮した。^[7] 1936年にエルンスト・ヴィットは、ガロア理論を通じた四元数群へのアプローチを発表した。^[8] $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$

1981年、リチャード・ディーンは、四元数群がガロア群Gal(T/ Q )として実現できることを示した。ここでQは有理数体、Tは多項式分解体である。

x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36

。

この展開では、ガロア理論の基本定理を用いて、 QとTの間の4つの中間体とそのガロア群、および体上の4次巡回拡大に関する2つの定理を特定している。^[1]

一般化四元数群

4 n次の一般化四元数群Q 4 _nは^[3]の表現によって定義される。

\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle

整数n ≥ 2に対して、通常の四元数群はn = 2で与えられる。^[9] コクセターはQ _{4 n を}二巡回群と呼び、これは二元多面体群の特別な場合であり、多面体群および二面体群と関連している。一般化された四元数群は、 $\langle 2,2,n\rangle$ $\langle \ell ,m,n\rangle$ $(p,q,r)$ $(2,2,n)$ $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$

\left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)

ここで[ ^3]は^[10]およびによって生成される単位四元数のサブグループとして実現することもできる。 $\omega _{n}=e^{i\pi /n}$ $x=e^{i\pi /n}$ $y=j$

一般化四元数群は、すべてのアーベル部分群が巡回的であるという性質を持つ。^[11]この性質（すべてのアーベル部分群が巡回的である）を持つ有限p群は、上で定義した巡回群または一般化四元数群のいずれかであることが示される。 ^{[12]別の特徴付けは、位数}pの唯一の部分群が存在する有限p群は、巡回群または一般化四元数群と同型の 2 群のいずれかである、ということである。^[13]特に、奇標数を持つ有限体Fに対して、SL ₂ ( F )の 2-シロー部分群は非アーベルであり、位数 2 の部分群を 1 つだけ持つため、この 2-シロー部分群は一般化四元数群でなければならない（Gorenstein 1980、p. 42）。Fのサイズをp ^r （ pは素数）とすると、 SL ₂ ( F )の2-シロー部分群のサイズは2 ⁿ（n = ord ₂ ( p ² − 1) + ord ₂ ( r ) ）です。

ブラウアー・スズキの定理は、シロー 2 部分群が一般化四元数である群は単純ではないことを示しています。

別の用語では、2のべき乗の位数の二環式群を「一般化四元数群」と呼んでおり^[14] 、これは次のように表すことができる。

\langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .

参照

注記

^ ab ディーン、リチャード (1981). 「四元数を群とする有理多項式」.アメリカ数学月刊誌. 88 (1): 42– 45. doi :10.2307/2320711. JSTOR 2320711.
^ Wolfram Alphaの表も参照
^ abc ジョンソン 1980年、44～45ページ
^ ホール（1999）190ページ参照
^ Kurosh (1979)、67ページを参照
^ アルティン 1991
^ Richard Dedekind (1887) 「Konstrucktion der Quaternionkörpern」、Ges.数学。ヴェルク II 376–84
^ Ernst Witt (1936) 「Konstruktion von galoisschen Körpern...」 Crelle's Journal 174: 237-45
^ 一部の著者（例えば、Rotman 1995、pp. 87、351）は、この群を二環群と呼び、nが2の累乗の場合に一般化四元数群という名称を使用しています。
^ ブラウン 1982、98ページ
^ ブラウン 1982、p. 101、練習問題1
^ Cartan & Ailenberg 1999、定理 11.6、p. 262
^ ブラウン 1982、定理4.3、p.99
^ ローマン、スティーブン(2011).群論の基礎：高度なアプローチ. シュプリンガー. pp. 347– 348. ISBN 9780817683016。

参考文献

マイケル・アーティン(1991)、代数、プレンティス・ホール、ISBN 978-0-13-004763-2
ブラウン、ケネス・S.（1982）、群のコホモロジー（第3版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90688-1
アンリ・カルタン;サミュエル・アイレンバーグ(1999)、ホモロジー代数、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-04991-5
Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980).離散群の生成元と関係. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9。
ディーン、リチャード A. (1981)「四元数群である有理多項式」アメリカ数学月刊88:42–5。
ゴレンスタイン、D.（1980）、有限群、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR 0569209
ジョンソン、デイヴィッド・L.（1980）、グループプレゼンテーション理論のトピック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-23108-4、MR 0695161
ロトマン、ジョセフ・J.（1995）、群論入門（第4版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94285-8
PRジラール（1984）「四元数群と現代物理学」、ヨーロッパ物理学ジャーナル5：25–32。
ホール、マーシャル（1999年）、群論（第2版）、AMS書店、ISBN 0-8218-1967-4
クロシュ、アレクサンダー・G.（1979）『群論』AMS書店、ISBN 0-8284-0107-1

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「四元数群」。MathWorld。
GroupNames 上の四元数グループ
GroupProps 上の Quaternion グループ
コンラッド、キース。「一般化四元数」

[:0-1] ディーン、リチャード (1981). 「四元数を群とする有理多項式」.アメリカ数学月刊誌. 88 (1): 42– 45. doi :10.2307/2320711. JSTOR 2320711.

[2] Wolfram Alphaの表も参照

[Johnson44-45-3] ジョンソン 1980年、44～45ページ

[4] ホール（1999）190ページ参照

[5] Kurosh (1979)、67ページを参照

[6] アルティン 1991

[7] Richard Dedekind (1887) 「Konstrucktion der Quaternionkörpern」、Ges.数学。ヴェルク II 376–84

[8] Ernst Witt (1936) 「Konstruktion von galoisschen Körpern...」 Crelle's Journal 174: 237-45

[9] 一部の著者（例えば、Rotman 1995、pp. 87、351）は、この群を二環群と呼び、nが2の累乗の場合に一般化四元数群という名称を使用しています。

[10] ブラウン 1982、98ページ

[11] ブラウン 1982、p. 101、練習問題1

[12] Cartan & Ailenberg 1999、定理 11.6、p. 262

[13] ブラウン 1982、定理4.3、p.99

[Roman-14] ローマン、スティーブン(2011).群論の基礎：高度なアプローチ. シュプリンガー. pp. 347– 348. ISBN 9780817683016。

×	e	e	私	私	j	j	け	け
e	e	e	私	私	j	j	け	け
e	e	e	私	私	j	j	け	け
私	私	私	e	e	け	け	j	j
私	私	私	e	e	け	け	j	j
j	j	j	け	け	e	e	私	私
j	j	j	け	け	e	e	私	私
け	け	け	j	j	私	私	e	e
け	け	け	j	j	私	私	e	e

×	e	e	私	私	j	j	け	け
e	e	e	私	私	j	j	け	け
e	e	e	私	私	j	j	け	け
私	私	私	e	e	け	け	j	j
私	私	私	e	e	け	け	j	j
j	j	j	け	け	e	e	私	私
j	j	j	け	け	e	e	私	私
け	け	け	j	j	私	私	e	e
け	け	け	j	j	私	私	e	e

×	e	e	私	私	j	j	け	け
e	e	e	私	私	j	j	け	け
e	e	e	私	私	j	j	け	け
私	私	私	e	e	け	け	j	j
私	私	私	e	e	け	け	j	j
j	j	j	け	け	e	e	私	私
j	j	j	け	け	e	e	私	私
け	け	け	j	j	私	私	e	e
け	け	け	j	j	私	私	e	e