シンプレックス

Multi-dimensional generalization of triangle

3D 空間で完全に表現できる 4 つの単体。

幾何学において、単体（シンプレックス、複数形：シンプレックスまたはシンプリス）とは、三角形または四面体の概念を任意の次元に一般化したものである。単体は、任意の次元において可能な限り最も単純な多面体を表すことからその名が付けられている。例えば、

• 0次元単体は点であり、
• 1次元単体は線分であり、
• 2次元単体は三角形であり、
• 3次元単体は四面体であり、
• 4次元単体は5 セルです。

具体的には、k単体とは、 k + 1個の頂点からなる凸包であるk次元多面体です。より正式には、k + 1個の点がアフィン独立であると仮定します。これは、 k個のベクトルが線型独立であることを意味します。すると、それらによって決定される単体は、点の集合です。 ${\displaystyle u_{0},\dots ,u_{k}}$ ${\displaystyle u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}}$ $${\displaystyle C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ and }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ for }}i=0,\dots ,k\right\}.}$$

正単体^[1]は、正多面体でもある単体である。正k単体は、正( k −1)単体から、新しい頂点を全ての元の頂点に共通の辺の長さで接続することによって構築できる。

標準単体または確率単体^[2]は、頂点がk + 1個の標準単位ベクトルであるk次元単体であり、言い換えれば、 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{k+1}}$ $${\displaystyle \left\{{\vec {x}}\in \mathbf {R} ^{k+1}:x_{0}+\dots +x_{k}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k\right\}.}$$

位相幾何学と組合せ論では、単体を「接着」して単体複体を形成するのが一般的です。

幾何学的な単体と単体複体は、抽象的な単体複体と混同しないでください。抽象的な単体複体では、単体は単なる有限集合であり、複体はそのような集合の族であり、部分集合を取ることで閉じられます。

歴史

単体の概念はウィリアム・キングドン・クリフォードにも知られており、彼は1886年にこれらの図形について著作^[要説明]を著したが、それらを「素境界」と呼んだ。 アンリ・ポアンカレは1900年に代数的位相幾何学について著作を著し、それらを「一般化された四面体」と呼んだ。1902年、ピーテル・ヘンドリック・ショウテは、この概念をラテン語の最上級形simplicissimum（「最も単純な」）で初めて記述し、その後、同じラテン語の形容詞の標準形simplex（「単純な」）で記述した。^{[3] [より詳細な出典が必要]}

正単体族は、ドナルド・コクセターによってα _nと名付けられた3つの正多面体族の最初のものである。他の2つは、交差多面体族（β _{n ）}と超立方体（ γ _{n ）}である。4つ目の族は、n次元空間を無限個の超立方体で埋め尽くすものであり、彼はδ _nと名付けた。^[4]

要素

n単体を定義するn + 1点の空でない部分集合の凸包は、単体の面と呼ばれます。面自体も単体です。特に、サイズm + 1の部分集合( n + 1 個の定義点)の凸包はm単体であり、n単体のm面と呼ばれます。0 面 (つまり、サイズ 1 の集合としての定義点自体) は頂点、1 面は辺、 ( n − 1 ) 面はファセット、唯一のn面はn単体全体です。一般に、 m面の数は二項係数に等しくなります。^{[5]したがって、} n単体のm面の数は、パスカルの三角形の ( n + 1 ) 行の( m + 1 )列にあります。単体Aは単体Bの共面であるとは、単体BがAの面であることを意味する。単体複体における単体の種類を記述する際には、面と面は異なる意味を持つことがある。 ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{m+1}}}$

n単体の拡張fベクトルは、多項式積の係数と同様に、( 1 , 1 ) ^{n +1}で計算できます。例えば、7単体は( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1 ,2, 1 ) ⁴ = ( 1 ,4,6,4, 1 ) ² = ( 1 ,8,28,56,70,56,28,8, 1 ) となります。

n単体の 1 面 (辺) の数はn番目の三角形の数、 n単体の 2 面の数は( n − 1)番目の四面体の数、 n単体の 3 面の数は( n − 2)番目の 5 セルの数、というように続きます。

n-単体要素^[6]

Δn​	名前	シュレーフリ・ コクセター	0- 面 （頂点）	1- 面 （エッジ）	2- 顔 （顔）	3- 面 （セル）	4 面	5つの 顔	6 面	7つの 顔	8つの 顔	9- 顔	10 面	合計 = 2 n +1  − 1
Δ 0	0単体 （点）	（）	1											1
Δ 1	1単体 （線分）	{ } = ( ) ∨ ( ) = 2⋅( )	2	1										3
Δ 2	2単体 （三角形）	{3} = 3⋅( )	3	3	1									7
Δ 3	3単体 （四面体）	{3,3} = 4⋅( )	4	6	4	1								15
Δ 4	4単体 （5細胞）	{3 3 } = 5⋅( )	5	10	10	5	1							31
Δ 5	5単体	{3 4 } = 6⋅( )	6	15	20	15	6	1						63
Δ 6	6単体	{3 5 } = 7⋅( )	7	21	35	35	21	7	1					127
Δ 7	7単体	{3 6 } = 8⋅( )	8	28	56	70	56	28	8	1				255
Δ 8	8単体	{3 7 } = 9⋅( )	9	36	84	126	126	84	36	9	1			511
Δ 9	9単体	{3 8 } = 10⋅( )	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1		1023
Δ 10	10単体	{3 9 } = 11⋅( )	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1	2047

n単体は、頂点が最も少なく、 n 次元を必要とする多面体です。1次元空間内の図形として線分AB を考えます (1 次元空間とは、線分が存在する直線です)。この線から外れた場所に新しい点Cを配置できます。新しい図形である三角形ABC には 2 次元が必要なため、元の 1 次元空間には収まりきりません。三角形は 2 単体で、2 次元を必要とする単純な図形です。2次元空間 (三角形が存在する平面) 内の図形である三角形ABCを考えます。この平面から外れた場所に新しい点Dを配置できます。新しい図形である四面体ABCD には 3 次元が必要なため、元の 2 次元空間には収まりきりません。四面体は 3 単体で、3 次元を必要とする単純な図形です。3次元空間 (四面体が存在する 3 次元空間) 内の図形である四面体ABCD を考えます。 3 次元空間の外側のどこかに新しい点Eを置くことができます。新しい図形ABCDE は5 セルと呼ばれ、4 次元を必要とし、4 単体と呼ばれます。つまり、元の 3 次元空間には収まりきりません (簡単に視覚化することもできません)。この考え方は一般化できます。つまり、現在占有されている空間の外側に 1 つの新しい点を追加するということです。それには、新しい図形を保持するために次のより高い次元に移動する必要があります。この考え方は逆方向にも適用できます。最初の線分は、それを保持するのに 1 次元空間を必要とする単純な図形です。つまり、線分は 1 単体です。線分自体は、0 次元空間の 1 つの点 (この最初の点は 0 単体) から始めて 2 番目の点を追加することで形成されましたが、そのためには 1 次元空間への増加が必要でした。

より正式には、( n + 1)単体は、 n単体と点 ( )の結合 (∨ 演算子) として構築できます。( m + n + 1)単体は、 m単体とn単体の結合として構築できます。2 つの単体は、両方に直交する方向に移動して、互いに完全に垂直になるように向けられます。1 単体は、2 点の結合です: ( ) ∨ ( ) = 2 ⋅ ( )。一般的な 2 単体 (不等辺三角形) は、3 点の結合です: ( ) ∨ ( ) ∨ ( )。二等辺三角形は、1 単体と点の結合です: { } ∨ ( )。正三角形は 3 ⋅ ( ) または {3} です。一般的な3単体は4点の結合です: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) ∨ ( )。鏡映対称性のある3単体は、辺と2点の結合として表すことができます: { } ∨ ( ) ∨ ( )。三角形対称性のある3単体は、正三角形と1点の結合として表すことができます: 3.( )∨( )または{3}∨( )。正四面体は4 ⋅ ( )または {3,3} などです。

上記の表の面の数は、左対角線を除いたパスカルの三角形の面の数と同じです。

面の総数は常に2の累乗から1を引いた数です。この図（テッセラクト投影図）は、正四面体の15面の重心を示しています。

いくつかの慣例^[7]では、空集合は(−1)単体として定義されます。上記の単体の定義は、n = −1の場合でも意味をなします。この慣例は、多面体の研究よりも、 代数的位相幾何学（単体ホモロジーなど）への応用でより一般的です。

正則単体の対称グラフ

これらのペトリー多角形(斜め正投影) は、円上の正単体のすべての頂点と、辺で接続されたすべての頂点ペアを表示します。

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20

標準シンプレックス

R ³の標準的な2単体

標準n単体（または単位n単体）は、 R ^{n +1}のサブセットであり、

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\ldots ,n\right\}}$。

単体Δ ^{n は}、上記の定義における制約t _i ≥ 0を除去することによって得られるアフィン超平面内にあります。

標準n単体のn + 1頂点は点e _i ∈ R ^{n +1}であり、ここで

e ₀ = (1, 0, 0, ..., 0)、

e ₁ = (0, 1, 0, ..., 0)、

⋮

e _n = (0, 0, 0, ..., 1)。

標準単体は、すべての座標が 0 または 1 である0/1 多面体の例です。また、通常の( n + 1) -正多面体の1 つの側面として見ることもできます。

標準のn単体から任意のn単体への標準写像があり、その頂点は( v ₀ , ..., v _n )で、

${\displaystyle (t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}}$

係数t _iは、 n単体における点の重心座標と呼ばれる。このような一般単体は、正準写像がアフィン変換であることを強調するために、しばしばアフィンn 単体と呼ばれる。また、正準写像が向きを保存するか反転するかの 違いがあることを強調するために、向き付きアフィンn単体と呼ばれることもある。

より一般的には、標準の-単体（n頂点）から任意のn頂点の多面体への標準写像が存在し、これは同じ方程式（インデックスを変更）で与えられます。 ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}}$

これらは一般化重心座標として知られており、すべての多面体を単体の像として表現します。 ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

R ⁿから標準 -単体の内部への一般的に使用される関数は、ソフトマックス関数、または正規化された指数関数です。これは、標準ロジスティック関数を一般化します。 ${\displaystyle (n-1)}$

例

• Δ ^0はR ¹の点1です。
• Δ ^1はR ²における(1, 0)と(0, 1)を結ぶ線分である。
• Δ ^2は、 R ³の頂点が(1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1)である正三角形です。
• Δ ³は、 R ⁴の頂点が(1, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)である正四面体です。
• Δ ⁴は、R 5内の頂点が(1, 0, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0, 0)、(0, 0, 1, 0, 0)、(0, 0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 0, 1)である通常^{の 5}セルです。

座標の増加

代替座標系は、不定和をとることによって与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}}$

これにより、順序による代替表現、つまり0 から 1 の間の 非減少nタプルとして表現されます。

${\displaystyle \Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.}$

幾何学的には、これは（余次元1）ではなく（最大次元、余次元0）のn次元部分集合である。標準的な単体では1つの座標が消滅することに対応する面は、ここでは連続する座標が等しいことに対応し、内部は不等式が厳密になること（列の増加）に対応する。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle t_{i}=0,}$ ${\displaystyle s_{i}=s_{i+1},}$

これらの表現の主な違いは、座標の入れ替えにおける挙動です。標準単体は座標の入れ替えによって安定化されますが、「順序付き単体」の要素を入れ替えても不変にはなりません。これは、順序付きシーケンスを入れ替えると、一般的に順序がなくなるためです。実際、順序付き単体は、対称群のn立方体への作用の（閉じた）基本領域です。つまり、対称群のn ! 要素の下での順序付き単体の軌道は、 n立方体をほぼ互いに素な単体（境界以外は互いに素）に分割します。これは、この単体の体積が1/ n !であることを示しています。あるいは、体積は反復積分によって計算することができ、その積分関数は 1、x、x ² /2、x ³ /3!、...、x n ^/ n !となります。 ${\displaystyle n!}$

この表現のさらなる特性は、加算ではなく順序を使用するため、任意の順序付きセット上の任意の次元で定義でき、たとえば、合計の収束の問題なしに無限次元単体を定義するために使用できることです。

標準単体への投影

特に確率論の数値応用においては、標準単体への 射影が重要である。 ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$が負の値、あるいは1を超える座標を持つ場合、 単体上の 最も近い点⁠ ⁠の座標は ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},}$

ここで 、  ${\displaystyle \Delta }$ ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

${\displaystyle \Delta }$⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$の座標をソートすることで簡単に計算できます 。^[8]ソート手法は複雑ですが 、中央値を求めるアルゴリズムを用いることでO( ​​n )の複雑度まで改善できます 。^[9]単体への射影は球への射影と計算上は似ています。整数計画法も参照してください。 ${\displaystyle O(n\log n)}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

立方体の角

最後に、単純な変形として、「合計が 1 になる」を「合計が最大で 1 になる」に置き換えます。これにより次元が 1 増加するため、表記を簡略化するためにインデックスが変わります。

${\displaystyle \Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

これにより、 n立方体の頂点としてn単体が得られ、これは標準的な直交単体です。これは単体法で使用される単体であり、原点を基準とし、 n面を持つ多面体上の頂点を局所的にモデル化します。

通常の直交座標n次元単体におけるRⁿ

R ⁿの正n単体を書き出す方法の 1 つは、最初の 2 つの頂点となる 2 つの点を選択し、正三角形を作成するために 3 番目の点を選択し、正四面体を作成するために 4 番目の点を選択し、これを繰り返していくことです。各ステップでは、新しく選択した各頂点が、以前に選択した頂点とともに正単体を形成することを保証する満足のいく方程式が必要です。この目的で書き出して使用できる方程式のセットがいくつかあります。これには、頂点間の距離がすべて等しいこと、頂点から単体の中心までの距離がすべて等しいこと、以前に選択した任意の 2 つの頂点によって新しい頂点を通してなされる角度が であるという事実、および任意の 2 つの頂点によって単体の中心を通してなされる角度が であるという事実が含まれます。 ${\displaystyle \pi /3}$ ${\displaystyle \arccos(-1/n)}$

R ⁿに特定の正n単体を直接記述し、必要に応じて変換、回転、拡大縮小することもできます。これを行う 1 つの方法は次のとおりです。R ⁿの基底ベクトルをe ₁からe _nで表します。基底ベクトルの凸包である標準の( n − 1)単体から始めます。頂点を追加することで、これらは正n単体の面になります。追加の頂点は、標準単体の重心に垂直な線上にある必要があるため、ある実数αに対して( α / n 、 ...、α / n )の形になります。2 つの基底ベクトル間の距離の 2 乗は 2 なので、追加の頂点が正n単体を形成するには、その頂点といずれかの基底ベクトル間の距離の 2 乗も 2 でなければなりません。これにより、 αの二次方程式が得られます。この方程式を解くと、追加の頂点には 2 つの選択肢があることがわかります。

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).}$

これらのいずれかを標準の基底ベクトルと組み合わせると、通常のn単体が生成されます。

上記の正則n単体は原点を中心としていません。頂点の平均を引くことで原点に移動できます。スケールを変更することで、辺の長さを単位にすることができます。その結果、以下の頂点を持つ単体が得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),}$

、および ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).}$

ここで説明されている頂点セットは2つあることに注意してください。1つは各計算で使用され、もう1つは各計算で使用されます。 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

この単体は半径 の超球面に内接します。 ${\displaystyle {\sqrt {n/(2(n+1))}}}$

異なる再スケーリングを行うと、単位超球面に内接する単体が得られる。この場合、その頂点は

${\displaystyle {\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),}$

ここで、および ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).}$

この単体の辺の長さは です。 ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$

正則n単体を構築する対称性の高い方法は、巡回群 Z _{n +1}を直交行列で表現することです。これはn × n の直交行列Qで、Q ^{n +1} = Iは単位行列ですが、Qのそれ以下のべき乗は単位行列ではありません。この行列のべき乗を適切なベクトルvに適用すると、正則n単体の頂点が生成されます。これを実行するには、まず任意の直交行列Qに対して、 Q がブロック対角行列となる基底の選択肢があることに注目してください。

${\displaystyle Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),}$

ここで、各Q _{i は}直交行列であり、2 × 2または1 × 1 である。Qがn + 1 の位数を持つためには、これらの行列すべてがn + 1を割り切る 位数を持つ必要がある。したがって、各Q _iは、唯一の要素が1 である1 × 1行列、またはn が奇数の場合は-1 である。あるいは、次の形式の2 × 2行列である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},}$

ここで、各ω _iは0からnまでの整数である。点の軌道が正則単体となるための十分条件は、行列Q _{i が}Z _{n +1}の非自明な既約実表現の基底を形成し、かつ回転するベクトルがそれらのいずれによっても安定化されないことである。

実際には、nであっ ても、これはすべての行列Q _iが2 × 2であることを意味するので、集合の等式が存在する。

${\displaystyle \{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},}$

そして、任意のQ _iに対して、 Q _{i が}作用するvの要素は両方ともゼロではない。例えば、n = 4のとき、考えられる行列の1つは次のようになる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.}$

これをベクトル(1, 0, 1, 0)に適用すると、頂点が

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},}$

それぞれは他のブロックから√5の距離を持つ。nが奇数の場合、条件は対角ブロックのちょうど1つが1 × 1で、 −1に等しく、 vの非ゼロ要素に作用することを意味する。残りの対角ブロック、例えばQ ₁ , ..., Q _{( n − 1) / 2}は2 × 2であり、集合の等式が存在する。

${\displaystyle \left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{(n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},}$

そして、各対角ブロックは、 vの要素のうち、両方とも0ではない要素のペアに作用する。したがって、例えばn = 3のとき、行列は次のように表される 。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.}$

ベクトル(1, 0, 1/ √2 )の場合、結果として得られる単体の頂点は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},}$

それぞれ他のものから距離 2 です。

幾何学的特性

音量

頂点（v ₀、...、v _n）を持つn次元空間におけるn単体の体積は、

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|}$

ここで、 n × n 行列式の各列は頂点v0から別の頂点vkを指すベクトルである。^{[10]この式は}_、が原点である場合に特に有用である。 ${\displaystyle v_{0}}$

表現

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}}$

はグラム行列式を採用しており、 n単体の頂点がn次元を超えるユークリッド空間内にある場合でも機能します(例: 内の三角形) 。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

n単体の体積を計算するより対称的な方法は、 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|.}$

単体の体積を計算するもう一つの一般的な方法はケーリー・メンガー行列式を使うことです。これはn単体の頂点がn次元以上のユークリッド空間にある場合でも機能します。^[11]

1/ n !を除けば、これはn次元平行四辺形の体積の公式である。これは次のように理解できる。Pがの基底上に構築されたn 次元平行四辺形であると仮定する。の順列が与えられたとき、頂点のリストがn次元パスである場合、 ${\displaystyle (v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}}$

（したがって、 n ! nパスが存在し、順列に依存しません）。以下の主張が成り立ちます。 ${\displaystyle v_{n}}$

Pが単位n超立方体である場合、各nパスの凸包によって形成されるn単体の和集合はPであり、これらの単体は合同であり、互いに重なり合わない。^[12]特に、このような単体の体積は

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.}$

Pが一般平行四辺形の場合、次元 > 2 では単体が対合同である必要はないという点を除けば、同じ主張が成り立ちます。しかし、n平行四辺形は単位n超立方体の線型同型写像であり、この線型同型写像は の標準基底を に写すため、体積は等しくなります。前述のように、これはnパスから来る単体の体積が次の式で表されることを意味します。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.}$

逆に、のn単体が与えられた場合、ベクトルはの基底を形成すると仮定できます。とから構築された平行四辺形を考慮すると、前の式があらゆる単体に対して有効であることがわかります。 ${\displaystyle (v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

最後に、このセクションの冒頭の式は、次のことを観察することによって得られる。

${\displaystyle \det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).}$

この式から、標準n単体（つまりR ^{n +1}の原点と単体の間）の体積は、

${\displaystyle {1 \over (n+1)!}}$

単位辺長のn単体の体積は

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}}$

前の式にx ^{n +1}を掛けて、原点からの頂点距離xの関数としてn単体の下の体積を取得し、   ( n単体の辺の長さは 1)でxについて微分し、法線ベクトルに沿って増分の長さ で正規化することで、この式が得られることがわかります。 ${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle dx/{\sqrt {n+1}}}$ ${\displaystyle (dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))}$

正三角形の二面角n-シンプレックス

正則n次元単体の任意の2つの( n −1)次元面は、それ自体が正則( n −1)次元単体であり、それらはcos ⁻¹ (1/ n )の同じ二面角を持つ。^{[13] [14]}

これは、標準単体の中心が であり、その面の中心が の座標順列であることに注目すれば分かります。そして、対称性により、から を指すベクトルは面に垂直です。したがって、面に垂直なベクトルは の順列であり、そこから二面角が計算されます。 ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle (-n,1,\dots ,1)}$

「直交コーナー」を持つ単体

ここで「直交角」とは、隣接するすべての辺が互いに直交する頂点が存在することを意味します。これは、隣接するすべての面が互いに直交していることを直ちに示しています。このような単体は直角三角形の一般化であり、ピタゴラスの定理のn次元版が存在します。すなわち、直交角に隣接する面の( n − 1)次元体積の二乗の和は、直交角の反対側の面の( n − 1)次元体積の二乗に等しいということです。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}}$

ここで面は互いに直交しているが、直交コーナーの反対側の面である面とは直交していない。^[15] ${\displaystyle A_{1}\ldots A_{n}}$ ${\displaystyle A_{0}}$

2 単体の場合、定理は直角を持つ三角形のピタゴラスの定理であり、3 単体の場合、定理は直交する角を持つ四面体のde Gua の定理です。

（との関係n+ 1)-ハイパーキューブ

n単体の面格子のハッセ図は、( n +1)超立方体の辺のグラフと同型であり、超立方体の頂点はn単体の各要素に写像され、単体全体と零多面体は格子の端点（超立方体上の2つの反対の頂点に写像される）となる。この事実は、より一般的な面格子列挙アルゴリズムは計算コストが高いため、単体の面格子を効率的に列挙するために利用できる。

n単体は( n + 1)超立方体の頂点図形でもある。また、 ( n + 1)正多面体の面でもある。

トポロジー

位相的に、n単体はn球体と同値である。すべてのn単体は、頂点を持つn次元多様体である。

確率

確率論において、 ( n +1)空間における標準n単体の点は、n +1個の可能な結果からなる有限集合上の可能な確率分布空間を形成する。この対応関係は以下の通りである。すなわち、和が（必然的に）1となるような順序付けられた( n +1)組の確率として記述される各分布に対し、それらの確率を重心座標とする単体の点を対応付ける。すなわち、単体のk番目の頂点には、 ( n +1)組のk番目の確率が重心係数として割り当てられる。この対応関係はアフィン同相写像である。

アッチソン幾何学

エイチンソン幾何学は、標準単体から内積空間を構築する自然な方法です。エイチンソン幾何学は、単体と実数に対する以下の演算を定義します。 ${\displaystyle \Delta ^{D-1}}$

摂動（加算）

${\displaystyle x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}}$

べき乗（スカラー乗算）

${\displaystyle \alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]\qquad \forall x\in \Delta ^{D-1},\;\alpha \in \mathbb {R} }$

内積

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in \Delta ^{D-1}}$

化合物

すべての単体は自己双対であるため、一連の複合を形成できます。

• 2つの三角形は六芒星{6/2}を形成します。
• 2 つの四面体は、2 つの四面体の複合体、つまりstella octangulaを形成します。
• 2 つの 5 セルは、4 次元で2 つの 5 セルの複合体を形成します。

代数的位相幾何学

代数的位相幾何学において、単体は、単体複体と呼ばれる興味深い位相空間のクラスを構築するための構成要素として用いられます。これらの空間は、単体を組み合わせ論的に接着することで構築されます。単体複体は、単体ホモロジーと呼ばれるある種のホモロジーを定義するために使用されます。

R ⁿの開集合に埋め込まれたk単体の有限集合は、アフィンk連鎖と呼ばれます。連鎖内の単体は一意である必要はなく、重複して出現しても構いません。アフィン連鎖を表すために、標準的な集合記法を使用する代わりに、集合内の各要素をプラス記号で区切るのが標準的な方法です。単体の一部が逆向きになっている場合、その前にマイナス記号が付きます。単体の一部が集合内に複数回出現する場合、その前に整数カウントが付きます。したがって、アフィン連鎖は整数係数の和という記号形式をとります。

n単体の各面はアフィン( n −1)単体であり、したがってn単体の境界はアフィン( n −1)連鎖となることに注意されたい。したがって、正に向き付けられたアフィン単体を次のように表記する。

${\displaystyle \sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]}$

が頂点を表すとすると、 σの境界は鎖である。 ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle \partial \sigma }$

${\displaystyle \partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].}$

この式と境界演算子の線形性から、単体の境界の境界はゼロであることがわかります。

${\displaystyle \partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.}$

同様に、チェーンの境界の境界は 0 です。 ${\displaystyle \partial ^{2}\rho =0}$

より一般的には、単体（および連鎖）は、滑らかで微分可能な写像 によって多様体に埋め込むことができる。この場合、集合 を表すための和の規則と境界演算は、埋め込みと可換である。つまり、 ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to M}$

${\displaystyle f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})}$

ここで、は向きと多重度を表す整数です。境界演算子については、次のようになります。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial f(\rho )=f(\partial \rho )}$

ここで、ρは連鎖です。境界演算は写像と可換です。なぜなら、連鎖は最終的に集合とそれ以上のものとして定義され、集合演算は常に写像演算と可換だからです（写像の定義により）。

位相空間Xへの連続写像は 、しばしば特異n単体と呼ばれる。（写像は、連続性などの望ましい性質を持たない場合に一般的に「特異」と呼ばれるが、この場合、この用語は連続写像が埋め込みである必要がないという事実を反映している。）^[16] ${\displaystyle f:\sigma \to X}$

代数幾何学

古典代数幾何学では多項式方程式は扱えるものの不等式は扱えないため、代数的標準n単体は、一般的にアフィン( n +1)次元空間の部分集合として定義され、すべての座標の和が1となる（したがって不等式の部分は除外される）集合である。この集合の代数的記述は であり、これは代数的n単体 上の正則関数の環（任意の環に対して）によるスキーム理論的記述に等しい。 $${\displaystyle \Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},}$$ ${\displaystyle \Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])}$ $${\displaystyle R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.}$$ ${\displaystyle R}$

古典的なn単体と同じ定義を使用することで、異なる次元nのn単体は1 つの単体オブジェクトに組み立てられ、リングは1 つの余単体オブジェクトに組み立てられます(リングのスキームのカテゴリでは、面と退化マップはすべて多項式であるため)。 ${\displaystyle R[\Delta ^{n}]}$ ${\displaystyle R[\Delta ^{\bullet }]}$

代数的n単体は高次K理論と高次Chow 群の定義で使用されます。

アプリケーション

• 統計学では、単体は構成データのサンプル空間であり、三角図のように部分集団の割合など、合計が 1 になる量をプロットする際にも使用されます。
• 確率論では、確率分布の空間を表すために単体空間がよく用いられる。例えば、ディリクレ分布は単体空間上で定義される。
• 工業統計学では、問題の定式化とアルゴリズムによる解決において、単体が生じる。パンの設計では、生産者はイースト、小麦粉、水、砂糖などを組み合わせる必要がある。このような混合物では、材料の相対的な割合のみが重要となる。すなわち、最適なパンの混合物を得るには、小麦粉を2倍にする場合はイーストも2倍にする必要がある。このような混合問題は、非負成分の合計が1になるように正規化された制約を用いて定式化されることが多く、その場合、実行可能領域は単体を形成する。パンの混合物の品質は応答曲面法を用いて推定することができ、その後、逐次二次計画法などの非線形計画法を用いて局所的最大値を計算することができる。^[17]
• オペレーションズ・リサーチでは、線形計画問題はジョージ・ダンツィグの単体アルゴリズムによって解決できます。
• ゲーム理論では、戦略は単体内の点として表現できます。この表現により、混合戦略の分析が簡素化されます。
• 幾何学的設計やコンピュータグラフィックスでは、多くの手法でまず領域の単体三角測量を実行し、次に各単体に補間 多項式を当てはめます。 ^[18]
• 化学において、 pブロック元素のほとんどの水素化物は、各原子を繋げると単体構造に似た構造をとることができます。ネオンは水素と反応しないため点状となり、フッ素は1つの水素原子と結合して線分を形成し、酸素は2つの水素原子と結合して三角形に似た曲がった形状を形成し、窒素は反応して四面体を形成し、炭素は5セルのシュレーゲル図に似た構造を形成します。この傾向は、各元素のより重い類似体、および水素原子をハロゲン原子に置き換えた場合にも当てはまります。
• レッジェ計算や因果的動的三角測量などの量子重力へのいくつかのアプローチでは、単体は時空の離散化の構成要素として、つまり単体多様体の構築に使用されます。

参照

• 3球面
• アッチソン幾何学
• 因果的動的三角測量
• 完全グラフ
• ドロネー三角形分割
• 距離幾何学
• 幾何学的プリミティブ
• ヒル四面体
• ハイパーシンプレックス
• 正多面体の一覧
• メトカーフの法則
• その他の正多面体
  • 交差多面体
  • ハイパーキューブ
  • テッセラクト
• 多面体
• シュレーフリ正方図
• シンプレックスアルゴリズム– 不等式制約を伴う最適化手法
• 単体複体
• 単体ホモロジー
• 単体集合
• スペクトラヘドロン
• 三角図

注記

1. Elte, EL (2006) [1912]. 「IV. 5次元半正則多面体」.超空間の半正則多面体. サイモン＆シュスター. ISBN 978-1-4181-7968-7。
2. ボイド＆ヴァンデンバーグ 2004
3. ミラー、ジェフ、「シンプレックス」、数学用語の最も古い使用例、 2018年1月8日閲覧。
4. Coxeter 1973、120–124ページ、§7.2。
5. コクセター 1973、120ページ。
6. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A135278（パスカルの三角形の左辺を削除したもの）」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
7. コズロフ、ディミトリー、組み合わせ代数的位相学、2008年、シュプリンガー・フェアラーク（シリーズ：数学におけるアルゴリズムと計算）
8. チェン・ユンメイ;葉暁静（2011）。 「シンプレックスへの投影」。arXiv : 1101.6081 [math.OC]。
9. MacUlan, N.; De Paula, GG (1989). 「ベクトルをnの単体に投影するための線形時間メディアン検出アルゴリズム」. Operations Research Letters . 8 (4): 219. doi :10.1016/0167-6377(89)90064-3.
10. 非常によく似た公式の導出は、Stein, P. (1966). "A Note on the Volume of a Simplex". American Mathematical Monthly . 73 (3): 299– 301. doi :10.2307/2315353. JSTOR  2315353. に示されています。
11. カレン・D・コリンズ「ケイリー・メンジャー決定因子」.マスワールド。
12. 順列に対応するすべてのnパスは、を に送るアフィン等長変換によるnパスの像であり、その線形部分はすべての iに対して に一致します。したがって、2 つのnパスはすべて等長であり、それらの凸包も等長です。これにより、単体の合同性が説明されます。その他の主張を示すには、 nパスによって決定される単体の内部が、およびとなる点の集合であることを指摘するだけで十分です。したがって、これらの点の対応する順列化された基底に関する成分は、降順で厳密に順序付けられます。これにより、単体が重複しない理由が説明されます。単体の和集合が単位n超立方体全体であるという事実も、上記の厳密な不等式を " " に置き換えればわかります。単体間の等長変換を除き、一般的な平行四辺形についても、同じ議論が成り立ちます。 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle e_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle e_{\sigma (i)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle 0<x_{i}<1}$ ${\displaystyle \scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.}$ ${\displaystyle \scriptstyle \leq }$
13. パークス, ハロルド・R. ; ウィルズ, ディーン・C. (2002年10月). 「正n単体の二面角の基本計算」.アメリカ数学月刊. 109 (8): 756–8 . doi :10.2307/3072403. JSTOR  3072403.
14. ウィルズ, ハロルド・R.; パークス, ディーン・C. (2009年6月). 順列とアルゴリズムの組合せ論と幾何学との関連 (PhD). オレゴン州立大学. hdl :1957/11929.
15. Donchian, PS; Coxeter, HSM (1935年7月). 「1142. ピタゴラスの定理のn次元拡張」. The Mathematical Gazette . 19 (234): 206. doi :10.2307/3605876. JSTOR  3605876. S2CID  125391795.
16. リー、ジョン・M. (2006). 位相多様体入門. シュプリンガー. pp.  292–3 . ISBN 978-0-387-22727-6。
17. コーネル、ジョン（2002年）『混合物の実験：デザイン、モデル、そして混合物データの分析』（第3版）ワイリー社ISBN 0-471-07916-2。
18. Vondran, Gary L. (1998年4月). 「ラジアルおよびプルーニングされた四面体補間手法」(PDF) . HP技術レポート. HPL-98-95: 1– 32. 2011年6月7日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2009年11月11日閲覧。

参考文献

• ルディン、ウォルター（1976年）『数学解析の原理』（第3版）マグロウヒル社、ISBN 0-07-054235-X。 (位相特性の簡単な復習については第 10 章を参照してください。)
• Tanenbaum, Andrew S. (2003). 「§2.5.3」.コンピュータネットワーク（第4版）. Prentice Hall. ISBN 0-13-066102-3。
• Devroye, Luc (1986). 非一様乱数変量生成. Springer. ISBN 0-387-96305-72009年5月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• コクセター, HSM (1973).正多面体（第3版）. ドーバー. ISBN 0-486-61480-8。
  • 120～121ページ、§7.2。図7-2A参照
  • p. 296、表I (iii): 正多面体、n次元の3つの正多面体（n ≥ 5）
• ワイスタイン、エリック・W.「シンプレックス」。MathWorld。
• ボイド、スティーブン、ヴァンデンベルゲ、リーヴェン (2004). 凸最適化. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-39400-1。PDFとして

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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