八角形のタイル張り

八角形のタイル張り
八角形のタイル張り
双曲面のポアンカレ円板モデル
タイプ双曲正規タイリング
頂点構成8 3
シュレーフリ記号{8,3}
t{4,8}
ウィトフ記号3 | 8 2
2 8 | 4
4 4 4 |
コクセター図

対称群[8,3]、(*832)
[8,4]、(*842)
[(4,4,4)]、(*444)
デュアル8次三角形タイル
プロパティ頂点推移、辺推移、面推移

幾何学において、八角形タイリングは双曲平面上の正八角形タイリングの一種である。これはシュレーフリ記号{8,3}で表され、各頂点の周りに3つの正八角形を持つ。また、8次の正八角形を切り詰めたタイリングt{4,8}としても構成できる。

均一な色彩

ユークリッド平面の六角形タイリングと同様に、この双曲型タイリングにも3つの均一な彩色が存在する。双対タイリングV8.8.8は[(4,4,4)]対称性の基本領域を表す。

通常切り捨て

{8,3}

t{4,8}

t{4 [3] }
＝＝
デュアルタイリング

{3,8}
＝
＝
＝＝

通常の地図

正則写像{8,3} 2,0は、{8,3}双曲タイリングの6色塗りと見ることができます。この正則写像において、同じ色の八角形は、複数の場所に示されている同じ面とみなされます。添え字の2,0は、同じ色が、反対の辺に沿って直線方向に2ステップ移動することで繰り返されることを示しています。この正則写像は、シュレーフリ記号{8/2,3}で表される立方体の二重被覆としても表現され、6つの八角形面、二重に覆われた{8/2}、24の辺、16の頂点を持ちます。これは、ブランコ・グリュンバウムが2003年に発表した論文「あなたの多面体は私の多面体と同じか？」[1]で説明されました。

このタイリングは位相的には、 Schläfli 記号{n,3}を持つ正多面体およびタイリングのシーケンスの一部です。

*通常のタイリングのn 32対称性変異: { n ,3}
球状ユークリッドコンパクトなハイパーブ。パラコ。非コンパクト双曲型
{2,3}{3,3}{4,3}{5,3}{6,3}{7,3}{8,3}{∞,3}{12i,3}{9i,3}{6i,3}{3i,3}

また、位相的には、Schläfli 記号{8,n} を持つ規則的なタイリングのシーケンスの一部でもあります。

n 82 規則的なタイリングの対称性変異: 8 n
空間球状コンパクト双曲型パラコンパクト
タイル張り
設定。8.8838 4858 6878 8...8∞

ウィトフ構築からは、正八角形のタイリングを基にして作成できる 10 個の双曲均一タイリングが存在します。

元の面には赤、元の頂点には黄色、元のエッジには青で色付けしたタイルを描くと、10 種類の形があります。

均一な八角形/三角形のタイル
対称性: [8,3], (*832)[8,3] +
(832)		[1 + ,8,3]
(*443)		[8,3 + ]
(3*4)
{8,3}t{8,3}r{8,3}t{3,8}{3,8}rr{8,3}
s 2 {3,8}		tr{8,3}sr{8,3}h{8,3}h 2 {8,3}s{3,8}




または
または




ユニフォームデュアル
V8 3バージョン3.16.16バージョン3.8.3.8バージョン6.6.8V38バージョン3.4.8.4バージョン4.6.16V3 4.8​V(3.4) 3バージョン8.6.6V3 5.4​
均一な八角形/正方形のタイル
[8,4], (*842)
([8,8] (*882)、[(4,4,4)] (*444)、[∞,4,∞] (*4222) インデックス2部分対称性)
(そして [(∞,4,∞,4)] (*4242) インデックス4部分対称性)

＝

＝
＝
＝
＝
＝

＝

＝

＝
＝


＝
{8,4}t{8,4}
r{8,4}2t{8,4}=t{4,8}2r{8,4}={4,8}rr{8,4}tr{8,4}
ユニフォームデュアル
V8 4バージョン4.16.16V(4.8) 2バージョン8.8.8V4 8バージョン4.4.4.8バージョン4.8.16
交替
[1 + ,8,4]
(*444)		[8 + ,4]
(8*2)		[8,1 + ,4]
(*4222)		[8,4 + ]
(4*4)		[8,4,1 + ]
(*882)		[(8,4,2 + )]
(2*42)		[8,4] +
(842)

＝
＝
＝
＝
＝
＝
h{8,4}s{8,4}時間{8,4}s{4,8}h{4,8}時速8,4sr{8,4}
交代双対
V(4.4) 4V3.(3.8) 2V(4.4.4) 2V(3.4) 3V8 8V4.4 4V3.3.4.3.8
均一な（4,4,4）タイリング
対称性: [(4,4,4)], (*444)[(4,4,4)] +
(444)		[(1 + ,4,4,4)]
(*4242)		[(4 + ,4,4)]
(4*22)










t 0 (4,4,4)
h{8,4}		t 0,1 (4,4,4)
h 2 {8,4}		t 1 ( 4,4,4)
{4,8 } 1/2		t 1,2 (4,4,4)
h 2 {8,4}		t 2 (4,4,4)
h{8,4}		t 0,2 (4,4,4)
r{ 4,8 } 1/2		t0,1,2(4,4,4) t
{4,8 } 1/2		s ( 4,4,4)
s{4,8 } 1/2		h(4,4,4) h {
4,8 } 1/2		時間(4,4,4)時間
{4,8 } 1/2
ユニフォームデュアル
V(4.4) 4V4.8.4.8V(4.4) 4V4.8.4.8V(4.4) 4V4.8.4.8バージョン8.8.8V3.4.3.4.3.4V8 8V(4,4) 3

参照

ウィキメディア コモンズには、オーダー 3 の八角形タイル張りに関連するメディアがあります。

参考文献

  1. ^ Grünbaum, Branko (2003). 「あなたの多面体は私の多面体と同じですか？」(PDF) .離散幾何学と計算幾何学. アルゴリズムと組合せ論. 第25巻. pp.  461– 488. doi :10.1007/978-3-642-55566-4_21. ISBN 978-3-642-62442-1. 2023年4月27日閲覧。
  • ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第19章 双曲アルキメデスのモザイク細工）
  • 「第10章：双曲空間における正則ハニカム」『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8。LCCN  99035678。
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