コーシー問題

Class of problems for PDEs

数学におけるコーシー問題（コーシーがくしゅう、英: Cauchy problem）は、定義域内の超曲面上に与えられた特定の条件を満たす偏微分方程式の解を求める問題である。 ^[1]コーシー問題は初期値問題または境界値問題（境界値問題についてはコーシー境界条件も参照）のいずれかである。この問題はオーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられている。

正式な声明

R ⁿ⁺¹上で定義された偏微分方程式とn次元の滑らかな多様体 S ⊂ R ⁿ⁺¹（Sはコーシー面と呼ばれる）に対して、コーシー問題は、ある値に対して^[2]の条件を満たす独立変数に関する微分方程式の未知の関数を求めることである。 ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{N}}$ ${\displaystyle t,x_{1},\dots ,x_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{for }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}<n_{j}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1}$$

ここで、曲面上に定義された関数（総称して問題のコーシーデータと呼ばれる）が与えられます。0階の微分は、関数自体が指定されていることを意味します。 ${\displaystyle \phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle S}$

コーシー・コワレフスキーの定理

コーシー・コワレフスキーの定理は、すべての関数が点 の近傍で解析的であり、すべての関数が点 の近傍で解析的である場合、コーシー問題は点 の近傍に一意の解析解を持つ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{(k)}}$ ${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$、ということを述べています。

参照

• 数学ポータル

• コーシー境界条件
• コーシー地平線

参考文献

1. アダマール、ジャック(1923). 『線型偏微分方程式におけるコーシーの問題に関する講義』 ニューヘイブン：イェール大学出版局. pp.  4– 5. OCLC  1880147.
2. Petrovsky, IG (1991) [1954]. Lectures on Partial Differential Equations . Shenitzer, A. (Dover ed.) 訳. ニューヨーク: Interscience. ISBN 0-486-66902-5。

さらに読む

• ヒレ、アイナー（1956）[1954]「コーシーの問題のいくつかの側面」1954年ICM第3巻第2節（分析、30分間の招待講演）p. 109～16。
• 溝畑 茂(溝畑 茂 1965)。コーシー問題の講義。タタ基礎研究所。
• 溝端茂 (1985). コーシー問題について. 理工学数学ノート・レポート. 3. Academic Press, Inc.. ISBN 9781483269061
• アーレント、ヴォルフガング。バティ、チャールズ。ヒーバー、マティアス。 Neubrander、Frank (2001)、ベクトル値ラプラス変換とコーシー問題、Birkhauser。

外部リンク

• MathWorldでの Cauchy 問題。

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