Type of group in mathematics
数学 において 、 古典群は 、実数 、 複素数 、四元数上の 特殊 線型群 、および実、 複素数、 四元数 の有限次元ベクトル空間上で定義された対称 または 歪対称 双線型形式 と エルミート または 歪エルミート 半線型形式 の特殊 [1] 自己同型群として定義される。 [2] これらのうち、 複素古典リー群は、 例外群 とともに 単純リー群 の分類をすべて網羅する 4つの無限族である 。 コンパクト 古典群は、複素古典群の コンパクト実形式 である 。古典群の有限類似体は、 リー型 古典 群である。「古典群」という用語は、 ヘルマン・ワイルによって造られ、1939年の彼のモノグラフ 『古典群 』のタイトルとなった 。 [3] R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } H {\displaystyle \mathbb {H} }
古典群は、線型リー群の主題の中で最も奥深く、かつ最も有用な部分を形成する。 [4] ほとんどの種類の古典群は、古典物理学と現代物理学で応用されている。いくつかの例を挙げると、 回転群 SO(3)は ユークリッド空間 とすべての基本物理法則の 対称群であり、 ローレンツ群 O(3,1)は 特殊相対論 の 時空 の対称群である 。 特殊ユニタリー群 SU(3)は 量子色力学 の対称群であり 、 シンプレクティック群 Sp( m )は ハミルトン力学 と その 量子力学的 バージョンで応用されている。
古典グループ 古典 群は、R, R, R, R上の 一般線型群 と、後述する非退化形式の自己同型群を合わせたもので ある。 [5]これらの群は通常、 行列式 1の元を持つ部分群にさらに制限され、中心は離散的となる。行列式1の条件を持つ古典群は、以下の表に列挙されている。以降の表では、 より一般性を高めるため、 行列式1の条件は一貫して用いられて いない。
名前 グループ 分野 形状 最大 コンパクト部分群 リー 代数 根系 特殊線形 SL( n ,ℝ) ℝ — SO( n ) 複素特殊線形 SL( n ,ℂ) ℂ — 太陽 ） 複雑な A m 、 n = m + 1 四元数特殊線形 SL( n , ℍ) = SU ∗ (2 n ) ℍ — Sp( n ) （不定）特殊直交 SO( p , q ) ℝ 対称的 S(O( p ) × O( q )) 複素特殊直交 SO( n ,ℂ) ℂ 対称的 SO ( n ) 複雑な { B m , n = 2 m + 1 D m , n = 2 m {\displaystyle \color {Blue}{\begin{cases}B_{m},&n=2m+1\\D_{m},&n=2m\end{cases}}} シンプレクティック Sp( n ,ℝ) ℝ 歪対称 U( n ) 複雑なシンプレクティック Sp( n ,ℂ) ℂ 歪対称 Sp ( n ) 複雑な C m 、 n = 2 m （不定）特別なユニタリー SU( p , q ) ℂ エルミート S(U( p ) × U( q )) （不定）四元数ユニタリー Sp( p , q ) ℍ エルミート Sp( p ) × Sp( q ) 四元数直交 SO ∗ (2 n ) ℍ 歪エルミート SO(2 n ) 注意！正しいのはユニタリ群である可能性があります。
複素 古典群は SL( n , ℂ) 、 SO( n , ℂ) 、 Sp( n , ℂ) である 。群が複素かどうかは、そのリー代数が複素かどうかによって決まる。 任意のリー代数は実代数なので、 実古典群はすべての古典群を指す。 コンパクト古典群は、複素古典群の コンパクト実形式 である 。これらは、順に SU( n ) 、 SO( n ) 、 Sp( n ) である。コンパクト実形式の特徴付けの 1 つは、リー代数 g によるものである。 u の 複素 化 g = u + i u であり、 {exp( X ): X ∈ u } によって生成される連結群 K がコンパクトである場合、 K はコンパクト実形式である。 [6]
古典群は、実数形式 を用いて異なる方法で一様に特徴付けることができる 。古典群（ここでは行列式1の条件を伴うが、これは必須ではない）は以下の通りである。
複素線型 代数群 SL( n ,ℂ)、SO( n ,ℂ) 、 Sp( n ,ℂ) とその 実数形式 [ 7] 例えば、 SO ∗ (2 n )は SO(2 n , ℂ) の実数形 、 SU( p , q )は SL( n , ℂ) の実数形 、 SL( n , ℍ)は SL(2 n , ℂ) の実数形です 。行列式1の条件を除けば、特性化において特殊線型群を対応する一般線型群に置き換えてください。ここで問題となる代数群はリー群ですが、「実数形」という概念を正しく理解するためには「代数的」という修飾語が必要です。
古典群はR n 、 C n 、 H n 上で定義された形式で定義されます 。ここで R と C はそれぞれ実数 と 複素数 の 体 です 。 四元数 H は 乗法が可換ではないため体を構成しません。四元数は 除算環 、 歪体 、または 非可換体 を形成します。しかし、行列四元数群を定義することは依然として可能です。このため、ベクトル空間 Vは R 、 C 、および以下の H 上で定義できます。 H の場合 、 V は 右 ベクトル空間であり、 R および C の場合と同様に、 群作用を 左 からの行列乗算として表現できるようにします。 [8]
F = R 、 C 、または H 上のある有限次元右ベクトル空間上の 形式 φ : V × V → F が 双線型で ある とは、
φ ( x α , y β ) = α φ ( x , y ) β , ∀ x , y ∈ V , ∀ α , β ∈ F . {\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.} そしてもし φ ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) = φ ( x 1 , y 1 ) + φ ( x 1 , y 2 ) + φ ( x 2 , y 1 ) + φ ( x 2 , y 2 ) , ∀ x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ V . {\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.} セスクイリニアと 呼ばれるの は
φ ( x α , y β ) = α ¯ φ ( x , y ) β , ∀ x , y ∈ V , ∀ α , β ∈ F . {\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.} そしてもし φ ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) = φ ( x 1 , y 1 ) + φ ( x 1 , y 2 ) + φ ( x 2 , y 1 ) + φ ( x 2 , y 2 ) , ∀ x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ V . {\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.} これらの慣例が選ばれたのは、 検討するすべての場合に有効だからである。φ の 自己同型とは、 V 上の線型作用素の集合における 写像 A であって、
φ ( A x , A y ) = φ ( x , y ) , ∀ x , y ∈ V . {\displaystyle \varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V.} 1
φ の自己同型全体の集合は 群を形成し、これを φ の自己同型群と呼び、 Aut( φ ) と表記する。これにより、古典群の予備的な定義が得られる。
古典群は、 R 、 C 、または H 上の有限次元ベクトル空間上で双線型またはセスクイ線型形式を保存する群です 。 この定義には冗長性が ある。F = R の場合、双線型 は セクリニアルと同値である。F = H の場合 、非零双線型形式は存在しない。 [9]
対称 形 とは、
φ ( x , y ) = φ ( y , x ) . {\displaystyle \varphi (x,y)=\varphi (y,x).} 歪対称 となるの は、
φ ( x , y ) = − φ ( y , x ) . {\displaystyle \varphi (x,y)=-\varphi (y,x).} エルミート である のは
φ ( x , y ) = φ ( y , x ) ¯ {\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}} 最後に、 歪エルミート 行列となるのは、
φ ( x , y ) = − φ ( y , x ) ¯ . {\displaystyle \varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.} 双線型形式 φ は 、対称形式と歪対称形式の和として一意に定まる。φ を 保存する変換は、両方の部分を別々に保存する。したがって、対称形式と歪対称形式を保存する群は別々に研究することができる。同様のことは、必要な変更を加えて、エルミート形式と歪エルミート形式にも当てはまる。このため、分類の目的上、純粋に対称、歪対称、エルミート、または歪エルミート形式のみを考慮する。これらの形式の 正規形は 、適切な基底の選択に対応する。これらの基底は、座標において以下の正規形を与える。
Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis: φ ( x , y ) = ± ξ 1 η 1 ± ξ 2 η 2 ± ⋯ ± ξ n η n , ( R ) Bilinear symmetric form in orthonormal basis: φ ( x , y ) = ξ 1 η 1 + ξ 2 η 2 + ⋯ + ξ n η n , ( C ) Bilinear skew-symmetric in symplectic basis: φ ( x , y ) = ξ 1 η m + 1 + ξ 2 η m + 2 + ⋯ + ξ m η 2 m = n − ξ m + 1 η 1 − ξ m + 2 η 2 − ⋯ − ξ 2 m = n η m , ( R , C ) Sesquilinear Hermitian: φ ( x , y ) = ± ξ 1 ¯ η 1 ± ξ 2 ¯ η 2 ± ⋯ ± ξ n ¯ η n , ( C , H ) Sesquilinear skew-Hermitian: φ ( x , y ) = ξ 1 ¯ j η 1 + ξ 2 ¯ j η 2 + ⋯ + ξ n ¯ j η n , ( H ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}} 歪エルミート形式の j は、 H の基底 ( 1 , i , j , k ) における3番目の基底元です 。 これら の 基底 の 存在 証明 と シルベスター の 慣性 法則 、 対称 形式 とエルミート形式における正負の符号 p と q の数の独立性 、および各式における体の有無については、Rossmann (2002) または Goodman & Wallach (2009) で説明されています。( p , q ) のペア、あるいは p − q と呼ばれることも ある ペア は 、 この 形式 の シグネチャ と 呼ば れ ます 。
体 R 、 C 、 Hの発生の説明: H 上には非自明な双線型形式は存在しません 。対称双線型の場合、 R 上の形式のみが符号を持ちます。言い換えると、「符号」 ( p 、 q ) を持つ複素双線型形式は、基底を変更することで、上記の式のすべての符号が " + " となる形式に簡約できますが、実数の場合は、この形式にすると p − q が基底に依存しないため、これは不可能です。ただし、エルミート形式は、複素数の場合も四元数の場合も、基底に依存しない符号を持ちます (実数の場合は対称形になります)。複素ベクトル空間上の歪エルミート形式は、 i を乗算することでエルミートになるため、この場合は H のみが対象となります。
自己同型群 ヘルマン・ワイルは 『古典群』 の著者である 。ワイルは古典群の表現論に多大な貢献をした。 第1節では一般的な枠組みを提示する。残りの節では、 R 、 C 、 H 上の有限次元ベクトル空間上の双線型形式および二線型形式の自己同型群として生じる質的に異なるケースを網羅的に説明する。
自動( φ ） – 自己同型群 φ が R , C , H 上の 有限次元ベクトル空間 V 上の非退化 形式である とする 。自己同型群は条件( 1 )に基づいて次のように定義される。
A u t ( φ ) = { A ∈ G L ( V ) : φ ( A x , A y ) = φ ( x , y ) , ∀ x , y ∈ V } . {\displaystyle \mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.} あらゆる A ∈ M n ( V )は φ に関して、次式 で定義される 随伴 A φを持つ。
φ ( A x , y ) = φ ( x , A φ y ) , x , y ∈ V . {\displaystyle \varphi (Ax,y)=\varphi (x,A^{\varphi }y),\qquad x,y\in V.} 2
この定義を条件（ １ ）に適用すると、自己同型群は次のように与えられることがわかる。
Aut ( φ ) = { A ∈ GL ( V ) : A φ A = 1 } . {\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):A^{\varphi }A=1\}.} [10] 3
V の基底を固定する 。この基底を用いて、
φ ( x , y ) = ∑ ξ i φ i j η j {\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}} ここで 、ξ i 、η j はx 、 y の成分である 。これは双線型形式に当てはまる。セクリニア形式も同様の表現を持ち、後ほど別途扱う。行列表記では、
φ ( x , y ) = x T Φ y {\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y} そして
A φ = Φ − 1 A T Φ {\displaystyle A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi } [11] 4
（ 2 ）より、 Φ は行列 （ φ ij ） である。非退化条件は、 Φ が逆行列であること、したがって随伴行列が常に存在することを意味する。 これを用いて表される Aut( φ )は、
Aut ( φ ) = { A ∈ GL ( V ) : Φ − 1 A T Φ A = 1 } . {\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.} 自己同型群のリー代数 aut ( φ ) は直ちに書き下すことができる。抽象的には、 X ∈ aut ( φ ) である必要十分条件は、
( e t X ) φ e t X = 1 {\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1} 全ての t に対して、リー代数の指数写像の下での（ 3 ） の条件に対応する ので、
a u t ( φ ) = { X ∈ M n ( V ) : X φ = − X } , {\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},} または基礎として
a u t ( φ ) = { X ∈ M n ( V ) : Φ − 1 X T Φ = − X } {\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{\mathrm {T} }\Phi =-X\right\}} 5
指数写像の冪級数 展開と、それに伴う演算の線形性 からわかるように、 X∈aut ( φ ) と仮定する。すると、上記の結果を用いると、 φ ( Xx , y )=φ( x , Xφy )=−φ( x , Xy ) と なる。したがって、リー代数は基底や随伴項を参照することなく、次のよう に 特徴付けることができる 。
a u t ( φ ) = { X ∈ M n ( V ) : φ ( X x , y ) = − φ ( x , X y ) , ∀ x , y ∈ V } . {\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.} 以下に、古典群ごとにφ の正規形を 示す。この正規形から行列 Φ を 直接読み取ることができる。したがって、式( 4 )および( 5 )を用いて、随伴代数とリー代数の表現を得ることができる。これは、ほとんどの非自明なケースにおいて以下で示される。
双線形ケース 対称形式の場合、 Aut( φ )は O( φ ) と呼ばれます 。歪対称形式の場合、 Aut( φ )は Sp( φ ) と呼ばれます 。これは実数と複素数の両方に当てはまります。四元数ベクトル空間上には非零双線型形式が存在しないため、四元数の場合は空です。 [12]
実際の事例 実際のケースは対称形と反対称形の 2 つのケースに分かれ、それぞれを別々に扱う必要があります。
O( p 、 q ) と O( n ） – 直交群 φ が対称でベクトル空間が実数の 場合、基底は次のように選ばれる。
φ ( x , y ) = ± ξ 1 η 1 ± ξ 2 η 2 ⋯ ± ξ n η n . {\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.} 正負の符号の数は基底に依存しない。 [13] V = R n の場合、 O( φ ) = O( p , q ) と書く。 ここで p は正符号の数、 q は負符号の数であり、 p + q = n である。q = 0の場合、 O( n ) と書く。 この場合、 行列 Φ は
Φ = ( I p 0 0 − I q ) ≡ I p , q {\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}} 必要に応じて基底を並べ替えた後、随伴演算（ 4 ）は次のようになる
。
A φ = ( I p 0 0 − I q ) ( A 11 ⋯ ⋯ A n n ) T ( I p 0 0 − I q ) , {\displaystyle A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),} これはp または q が0のときに通常の転置に簡約される。 リー代数は式（ 5 ）と適切な仮定（これは以下に Sp（ m 、 R ） の場合について詳述する ）を用いて求められる。
o ( p , q ) = { ( X p × p Y p × q Y T W q × q ) | X T = − X , W T = − W } , {\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},} そして（ ３ ） による群は次のように与えられる。
O ( p , q ) = { g ∈ G L ( n , R ) | I p , q − 1 g T I p , q g = I } . {\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.} O( p , q ) と O( q , p ) の群は 写像を通して同型である。
O ( p , q ) → O ( q , p ) , g → σ g σ − 1 , σ = [ 0 0 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 1 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0 ] . {\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].} 例えば、ローレンツ群のリー代数は次のように書ける。
o ( 3 , 1 ) = s p a n { ( 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ) } . {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.} もちろん、 q ブロックを左上（あるいは他の任意のブロック）に配置するように並べ替えることも可能である 。この場合、「時間成分」は物理的解釈において、より一般的な最初の座標ではなく、4番目の座標となる。
Sp( メートル , R) – 実シンプレクティック群 φ が歪対称でベクトル空間が実数ならば 、基底が存在し、
φ ( x , y ) = ξ 1 η m + 1 + ξ 2 η m + 2 ⋯ + ξ m η 2 m = n − ξ m + 1 η 1 − ξ m + 2 η 2 ⋯ − ξ 2 m = n η m , {\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},} ここで n = 2 m である。Aut ( φ )の場合、 Sp( φ ) = Sp( V ) と書き、 V = R n = R 2 m の場合、 Sp( m , R ) または Sp(2 m , R ) と書きます 。通常の形から、
Φ = ( 0 m I m − I m 0 m ) = J m . {\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.} 仮設を作ることで
V = ( X Y Z W ) , {\displaystyle V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),} ここで、 X 、 Y 、 Z 、 W は m 次元行列であり、( 5 )を考慮すると、
( 0 m − I m I m 0 m ) ( X Y Z W ) T ( 0 m I m − I m 0 m ) = − ( X Y Z W ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)} Sp( m , R ) のリー代数を求めると 、
s p ( m , R ) = { X ∈ M n ( R ) : J m X + X T J m = 0 } = { ( X Y Z − X T ) | Y T = Y , Z T = Z } , {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},} そして、その群は次のように与えられる。
S p ( m , R ) = { g ∈ M n ( R ) | g T J m g = J m } . {\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}
複雑なケース 実際の場合と同様に、対称の場合と反対称の場合の 2 つのケースがあり、それぞれが古典群のファミリーを生成します。
O( n , C) – 複素直交群 φ が対称でベクトル空間が複素数の場合 、基底
φ ( x , y ) = ξ 1 η 1 + ξ 1 η 1 ⋯ + ξ n η n {\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}} プラス記号のみのものは使用できる。自己同型群は、 V = C n の場合に O(n, C ) と呼ばれる。リー代数は、 o ( p , q ) の場合のリー代数の特別な場合である 。
o ( n , C ) = s o ( n , C ) = { X | X T = − X } , {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},} そして、その群は次のように与えられる。
O ( n , C ) = { g | g T g = I n } . {\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.} 単純リー代数の分類 では 、 so ( n ) は、 ルート システム B n を持つn が 奇数であるクラスと、 ルート システム D n を持つn が 偶数であるクラスの 2 つに分けられます 。
Sp( メートル , C) – 複素シンプレクティック群 φが 歪対称でベクトル空間複素数 の場合、同じ式で、
φ ( x , y ) = ξ 1 η m + 1 + ξ 2 η m + 2 ⋯ + ξ m η 2 m = n − ξ m + 1 η 1 − ξ m + 2 η 2 ⋯ − ξ 2 m = n η m , {\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},} 実数の場合と同様に適用される。Aut ( φ )の場合、 Sp( φ ) = Sp( V ) と書く 。この場合、 Sp( m , ) または Sp(2 m , ) と書く 。リー代数は sp ( m , ) のリー代数と平行である。 V = C n = C 2 m {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}} C {\displaystyle \mathbb {C} } C {\displaystyle \mathbb {C} } R {\displaystyle \mathbb {R} }
s p ( m , C ) = { X ∈ M n ( C ) : J m X + X T J m = 0 } = { ( X Y Z − X T ) | Y T = Y , Z T = Z } , {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},} そして、その群は次のように与えられる。
S p ( m , C ) = { g ∈ M n ( C ) | g T J m g = J m } . {\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}
セクスティリニアケース セクスティリニアの場合、基底の観点から形式に対して若干異なるアプローチをとる。
φ ( x , y ) = ∑ ξ ¯ i φ i j η j . {\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.} 他に変更される表現は
φ ( x , y ) = x ∗ Φ y , A φ = Φ − 1 A ∗ Φ , {\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,} [14] Aut ( φ ) = { A ∈ GL ( V ) : Φ − 1 A ∗ Φ A = 1 } , {\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},} a u t ( φ ) = { X ∈ M n ( V ) : Φ − 1 X ∗ Φ = − X } . {\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{*}\Phi =-X\}.} 6
もちろん、現実の場合、何も新しいことは起こりません。複素数と四元数の場合については、以下で考察します。
複雑なケース 定性的な観点から見ると、歪エルミート形式（同型を除く）の考察は新たな群をもたらさない。i を乗じると 歪 エルミート形式はエルミートになり、逆もまた同様である。したがって、エルミート形式の場合のみを考慮すればよい。
あなた( p 、 q ) と U( n ） – ユニタリ群 非退化エルミート形式は通常形式を持つ
φ ( x , y ) = ± ξ 1 ¯ η 1 ± ξ 2 ¯ η 2 ⋯ ± ξ n ¯ η n . {\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.} 双線型の場合と同様に、符号 ( p , q ) は基底に依存しない。自己同型群は U( V )と表記される。あるいは、 V = C n の場合は U( p , q ) と表記される。 q = 0 の場合は U( n ) と表記される 。この場合、 Φ は 以下の形をとる。
Φ = ( 1 p 0 0 − 1 q ) = I p , q , {\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},} そしてリー代数は次のように与えられる。
u ( p , q ) = { ( X p × p Z p × q Z p × q ¯ T Y q × q ) | X ¯ T = − X , Y ¯ T = − Y } . {\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.} このグループは
U ( p , q ) = { g | I p , q − 1 g ∗ I p , q g = I } . {\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.} ここで、g は一般的な nxn 複素行列であり、 g の共役転置として定義され、物理学者はこれを と呼びます 。 g ∗ {\displaystyle g^{*}} g † {\displaystyle g^{\dagger }} 比較として、ユニタリ行列U(n)は次のように定義される。
U ( n ) = { g | g ∗ g = I } . {\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.}
同じである ことに注目してください U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (n)} U ( n , 0 ) {\displaystyle \mathrm {U} (n,0)}
四元数の場合 空間 H n は 、 H 上の右 ベクトル空間 とみなされます 。これにより、 四元数 h 、四元数列ベクトル v 、四元数行列 Aに対して、 A ( vh ) = ( Av ) h が 成立します。 H n が H 上の左 ベクトル空間 である場合 、線型性を維持するためには、行ベクトル上で 右 から行列の乗算が必要になります。これは、基底が与えられている場合のベクトル空間上の群の通常の線型演算、つまり列ベクトル上で 左 から行列の乗算に対応しません。したがって、これ以降、 Vは H 上の右ベクトル空間になります。それでも、 H の非可換性のために注意が必要です 。複素表現を使用するため、（ほとんど明らかな）詳細は省略します。
四元数群を扱う場合、複素 2×2行列 を使って四元数を表すのが便利である。
q = a 1 + b i + c j + d k = α + j β ↔ [ α − β ¯ β α ¯ ] = Q , q ∈ H , a , b , c , d ∈ R , α , β ∈ C . {\displaystyle q=a\mathrm {1} +b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=Q,\quad q\in \mathbb {H} ,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} .} [15] 7
この表現を用いると、四元数の乗算は行列の乗算となり、四元数の共役はエルミート随伴行列の取得となります。さらに、複素符号化 q = x + j y に従った四元数が列ベクトル( x , y ) T として与えられた場合 、四元数の行列表現を左から乗算すると、正しい四元数を表す新しい列ベクトルが生成されます。この表現は、 四元数 に関する記事で見られるより一般的な表現とは若干異なります。より一般的な慣例であれば、同じ結果を得るには行行列の右から乗算する必要があります。
ちなみに、上記の表現から、 単位四元数群（ αα + ββ =1=detQ ） が SU(2) と同型であることがわかります。
四元数 n × n 行列は、明らかな拡張により、複素数の 2n × 2n ブロック 行列で表すことができます。 [16] 四元数 n ×1 列ベクトルを、上記の符号化に従って複素数を持つ 2n ×1 列ベクトルで表すことに同意すると、上位 n をαi 、 下位 nを βi と すると、四元数 n × n 行列 は 、αとβn×n 行列 を 含む 、 上記の形式とまったく同じ複素数 2n × 2n 行列になります 。より正式には
( Q ) n × n = ( X ) n × n + j ( Y ) n × n ↔ ( X − Y ¯ Y X ¯ ) 2 n × 2 n . {\displaystyle \left(Q\right)_{n\times n}=\left(X\right)_{n\times n}+\mathrm {j} \left(Y\right)_{n\times n}\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\bar {Y}}\\Y&{\bar {X}}\end{matrix}}\right)_{2n\times 2n}.} 8
行列 T∈GL ( 2n , C ) が ( 8 )に示す形を持つ場合 、かつその場合のみ JnT = TJn と なる 。これらの同一視により、
H n ≈ C 2 n , M n ( H ) ≈ { T ∈ M 2 n ( C ) | J n T = T ¯ J n , J n = ( 0 I n − I n 0 ) } . {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.} 空間 M n ( H ) ⊂ M 2 n ( C ) は実代数であるが、 M 2 n ( C )の複素部分空間ではない。 M n ( H ) における i の乗算（左から）を 要素ごとの四元数乗算を用いて行い、その後 M 2 n ( C )の像に写像すると、 M 2 n ( C )において i を 直接 要素ごとに乗算した場合とは異なる結果となる 。四元数乗算の規則は i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (− i Y ) となり、新しい X と Y は括弧内で表される。
四元数行列の四元数ベクトルへの作用は複素量で表現されるが、それ以外は「通常の」行列やベクトルの場合と同じである。したがって、四元数群は M 2 n ( C ) に埋め込まれる。ここで n は四元数行列の次元である。
四元数行列の行列式は、この表現では、その代表行列の通常の複素行列式として定義される。四元数乗算の非可換性は、行列の四元数表現では曖昧になる。M n ( H )が M 2 n ( C ) に埋め込まれる方法は 一意ではないが、そのような埋め込みはすべて、A ∈ O(2 n , C ) に対して g ↦ AgA −1 , g ∈ GL(2 n , C ) を介して関連しており 、 行列 式 は 影響 を 受け ない 。 [ 17 ] この 複素数 で の SL ( n , H ) の 名前 は SU ∗ ( 2 n ) で ある 。
C の場合とは対照的に 、エルミートの場合も歪エルミートの場合も、 H を考慮すると何か新しいものが導入されるため、これらのケースは別々に検討されます。
GL( n , H) および SL( n 、H) 上記の識別に基づき、
G L ( n , H ) = { g ∈ G L ( 2 n , C ) | J g = g ¯ J } ≡ U ∗ ( 2 n ) . {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).} そのリー代数 gl ( n , H ) は 、 上記の
写像 Mn ( H )↔M2n ( C ) の 像にあるすべての行列の集合である 。
g l ( n , H ) = { ( X − Y ¯ Y X ¯ ) | X , Y ∈ g l ( n , C ) } ≡ u ∗ ( 2 n ) . {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).} 四元数特殊線型群は次のように与えられる。
S L ( n , H ) = { g ∈ G L ( n , H ) | d e t g = 1 } ≡ S U ∗ ( 2 n ) , {\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),} ここで、行列式はC 2 n の行列上にとられる。あるいは、これを ディウドネ行列式 の核として定義することもできる 。リー代数は G L ( n , H ) → H ∗ / [ H ∗ , H ∗ ] ≃ R > 0 ∗ {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}
s l ( n , H ) = { ( X − Y ¯ Y X ¯ ) | R e ( Tr X ) = 0 } ≡ s u ∗ ( 2 n ) . {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).}
Sp( p 、 q ） – 四元数ユニタリ群 複素数の場合と同様に、正規形は
φ ( x , y ) = ± ξ 1 ¯ η 1 ± ξ 2 ¯ η 2 ⋯ ± ξ n ¯ η n {\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}} であり、プラス記号の数は基底に依存しない。 この形で V = H n の とき、 Sp( φ ) = Sp( p , q ) となる。この表記の理由は、上記の規定を用いて、群が 複素エルミート形式の符号 (2 p , 2 q )を保存する Sp( n , C )の部分群として表すことができるためである [18] p または q = 0 の とき、 群は U( n , H ) と表記される。これは ハイパーユニタリー群 と呼ばれることもある。
四元数表記では、
Φ = ( I p 0 0 − I q ) = I p , q {\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}} つまり、 次の形式の 四元数行列は
Q = ( X p × p Z p × q Z ∗ Y q × q ) , X ∗ = − X , Y ∗ = − Y {\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\mathcal {X}}_{p\times p}&{\mathcal {Z}}_{p\times q}\\{\mathcal {Z}}^{*}&{\mathcal {Y}}_{q\times q}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {X}}^{*}=-{\mathcal {X}},\quad {\mathcal {Y}}^{*}=-{\mathcal {Y}}} 9
満足するだろう
Φ − 1 Q ∗ Φ = − Q , {\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},} u ( p , q ) のセクションを参照してください 。四元数行列の乗算を扱う際には注意が必要ですが、ここでは I と - I のみが関係し、これらはすべての四元数行列と可換です。ここで、各ブロックに 処方箋 ( 8 ) を適用します。
X = ( X 1 ( p × p ) − X ¯ 2 X 2 X ¯ 1 ) , Y = ( Y 1 ( q × q ) − Y ¯ 2 Y 2 Y ¯ 1 ) , Z = ( Z 1 ( p × q ) − Z ¯ 2 Z 2 Z ¯ 1 ) , {\displaystyle {\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},} そして（ ９ ）の関係 は、
X 1 ∗ = − X 1 , Y 1 ∗ = − Y 1 . {\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.} リー代数は
s p ( p , q ) = { ( [ X 1 ( p × p ) − X ¯ 2 X 2 X ¯ 1 ] [ Z 1 ( p × q ) − Z ¯ 2 Z 2 Z ¯ 1 ] [ Z 1 ( p × q ) − Z ¯ 2 Z 2 Z ¯ 1 ] ∗ [ Y 1 ( q × q ) − Y ¯ 2 Y 2 Y ¯ 1 ] ) | X 1 ∗ = − X 1 , Y 1 ∗ = − Y 1 } . {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.} このグループは
S p ( p , q ) = { g ∈ G L ( n , H ) ∣ I p , q − 1 g ∗ I p , q g = I p + q } = { g ∈ G L ( 2 n , C ) ∣ K p , q − 1 g ∗ K p , q g = I 2 ( p + q ) , K = diag ( I p , q , I p , q ) } . {\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.} Sp( p , q ) の 通常の形 φ ( w , z )に戻り、 u, v, x, y ∈ C n で w → u + jv と z → x + jy を代入します 。すると
φ ( w , z ) = [ u ∗ v ∗ ] K p , q [ x y ] + j [ u − v ] K p , q [ y x ] = φ 1 ( w , z ) + j φ 2 ( w , z ) , K p , q = d i a g ( I p , q , I p , q ) {\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)} C 2 n 上のH 値形式 として見ることができる 。 [19]このように、 Sp( p , q ) の元は、 C 2 n の線型変換として見ると 、符号 (2 p , 2 q )のエルミート形式と非退化歪対称形式の両方を保存する。どちらの形式も純複素数値をとり、第2形式の j の前因子により 、それらは別々に保存される。これは、
S p ( p , q ) = U ( C 2 n , φ 1 ) ∩ S p ( C 2 n , φ 2 ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)} これはグループの名前と表記法の両方を説明します。
お ∗ （2 n ) = O( n , H)-四元数直交群 歪エルミート形式の正規形は次のように与えられる。
φ ( x , y ) = ξ 1 ¯ j η 1 + ξ 2 ¯ j η 2 ⋯ + ξ n ¯ j η n , {\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},} ここで、 j は順序付きリスト( 1 , i , j , k ) の3番目の基底四元数である 。この場合、 Aut( φ ) = O ∗ (2 n ) は、上記の複素行列符号化を用いて、署名 ( n , n ) の非退化複素歪エルミート形式を保存する O(2 n , C ) の部分群として実現できる。 [20] 正規形から、四元数表記では
Φ = ( j 0 ⋯ 0 0 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ 0 ⋯ 0 j ) ≡ j n {\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}} そして（ 6 ）から次のことが分かる。
− Φ V ∗ Φ = − V ⇔ V ∗ = j n V j n . {\displaystyle -\Phi V^{*}\Phi =-V\Leftrightarrow V^{*}=\mathrm {j} _{n}V\mathrm {j} _{n}.} 9
V ∈ o (2 n ) に対して 、
V = X + j Y ↔ ( X − Y ¯ Y X ¯ ) {\displaystyle V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)} 処方箋（ 8 ）に従って 。同じ処方箋で Φ についても同様に、
Φ ↔ ( 0 − I n I n 0 ) ≡ J n . {\displaystyle \Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.} （ ９ ）の最後の条件を 複素表記で書くと、
( X − Y ¯ Y X ¯ ) ∗ = ( 0 − I n I n 0 ) ( X − Y ¯ Y X ¯ ) ( 0 − I n I n 0 ) ⇔ X T = − X , Y ¯ T = Y . {\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.} リー代数は
o ∗ ( 2 n ) = { ( X − Y ¯ Y X ¯ ) | X T = − X , Y ¯ T = Y } , {\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},} そして、その群は次のように与えられる。
O ∗ ( 2 n ) = { g ∈ G L ( n , H ) ∣ j n − 1 g ∗ j n g = I n } = { g ∈ G L ( 2 n , C ) ∣ J n − 1 g ∗ J n g = I 2 n } . {\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.} SO ∗ (2 n ) 群は 次のように特徴付けられる。
O ∗ ( 2 n ) = { g ∈ O ( 2 n , C ) ∣ θ ( g ¯ ) = g } , {\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},} [21] ここで 、 写像 θ :GL( 2n , C ) →GL(2n , C ) は g↦ −J2ngJ2n で 定義 さ れる 。
また、群を決定する形式は C 2 n 上のH 値形式として見ることができる 。 [22] x → w 1 + iw 2 と y → z 1 + iz 2 を式に 代入すると、
φ ( x , y ) = w ¯ 2 I n z 1 − w ¯ 1 I n z 2 + j ( w 1 I n z 1 + w 2 I n z 2 ) = φ 1 ( w , z ) ¯ + j φ 2 ( w , z ) . {\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).} 形式 φ 1 はシグネチャ( n , n ) のエルミート型（左辺の最初の形式は歪エルミート型）である 。このシグネチャは、基底を ( e , f )から (( e + i f )/ √ 2 , ( e − i f )/ √ 2 ) に変更することで明らかになる。 ここで、 e 、 f は それぞれ最初の n 個の基底ベクトルと最後の n 個の基底ベクトルである。2番目の形式 φ 2は対称正定値である。したがって、因子 j により 、 O ∗ (2 n ) は両方を別々に保存し、次のように結論付けることができる。
O ∗ ( 2 n ) = O ( 2 n , C ) ∩ U ( C 2 n , φ 1 ) , {\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),} 「O」という表記について説明します。
一般体または代数上の古典群 代数学においてより広く考えられる古典群は、特に興味深い 行列群 を提供する。 行列群の係数の 体 Fが実数または複素数のいずれかである場合、これらの群は単なる古典リー群である。基底体が 有限体 である場合、古典群は リー型 の群である。これらの群は 、有限単純群の分類 において重要な役割を果たしている 。また、 F 上の単位 結合代数 R 上の古典群を考えることもできる。ここで、 R = H (実数上の代数) は重要なケースを表す。一般性を保つため、この記事では R 上の群について言及する。ここで、 R は 基底体 F 自体であってもよい。
抽象群論を考慮すると、多くの線型群は「 特殊」部分群を持ち、これは通常、基底体上の 行列式 1の元から構成され、そのほとんどには「 射影的 」商、つまり群の中心による商が伴います 。標数2の直交群の場合、「S」は異なる意味を持ちます。
群名の前に付く「一般 」という語は、 通常、その群が何らかの形式を定数倍することを許し、固定した形式のままにしないことを意味しています。添え字の n は 通常、群が作用する加 群 の次元を示します。R = F の場合、群 は ベクトル空間 です。注意：この表記法は、ディンキン図の階数である n と多少矛盾します。
一般線型群と特殊線型群 一般 線型群 GL n ( R ) は、 R n のすべてのR 線型自己同型 群の成す群である 。その部分群として 特殊線型群 SL n ( R ) があり、その商として 射影一般線型群 PGL n ( R ) = GL n ( R )/Z(GL n ( R )) と 射影特殊線型群 PSL n ( R ) = SL n ( R )/Z(SL n ( R )) がある。 体 F上の射影特殊線型群 PSL n ( F ) は、 n = 2 で体の位数が [ 明確化が必要 ] 2 または 3 である2つの場合を除いて、 n ≥ 2に対して単純である。
ユニタリ群 ユニタリ 群 U n ( R ) は、加群上で 二分線型 を保存する群である。 特殊ユニタリ群 SU n ( R ) という部分群が存在し、その商は 射影ユニタリ群 PU n ( R ) = U n ( R )/Z(U n ( R )) および 射影特殊ユニタリ群 PSU n ( R ) = SU n ( R )/Z(SU n ( R ))
である。
シンプレクティック群 シン プレクティック群 Sp 2 n ( R )は、加群上で 歪対称形式 を保存する。その商は 射影シンプレクティック群 PSp 2 n ( R ) である。 一般シンプレクティック群 GSp 2 n ( R ) は、歪対称形式に何らかの可逆なスカラーを乗じた加群の自己同型から構成される。有限体上の射影シンプレクティック群 PSp 2 n ( F q ) は、2元および3元の体上の PSp 2 の場合を除いて、 n ≥ 1に対して単純である 。
直交群 直交 群 O n ( R ) は、加群上の非退化二次形式を保存する。部分群として 特殊直交群 SO n ( R ) があり、商として 射影直交群 PO n ( R ) と 射影特殊直交群 PSO n ( R ) がある。標数 2 では行列式は常に 1 であるため、特殊直交群はしばしば ディクソン不変量 1の元の部分群として定義される 。
スピノルノルム が 1 である直交群の元からなる 無名群 Ω n ( R ) がよく知られており、対応する部分群および商群は SΩ n ( R )、PΩ n ( R )、PSΩ n ( R ) です。(実数上の正定値二次形式の場合、群 Ω は直交群と同じになりますが、一般にはより小さくなります。) Ω n ( R ) の二重被覆もあり 、 ピン 群 Pin n ( R ) と呼ばれ、 スピン群 Spin n ( R )と呼ばれる部分群を持ちます 。 一般の直交群 GO n ( R ) は、二次形式に何らかの可逆なスカラーを乗じたモジュールの自己同型から構成されます。
表記規則
例外リー群との対比 古典的なリー群とは対照的に、 例外的なリー群 であるG 2 、 F 4 、 E 6 、 E 7 、 E 8 があり、これらは古典的なリー群の抽象的な性質を共有しているが、その馴染み深さは共有していない。 [23]これらは、1890年頃に ヴィルヘルム・キリング と エリー・カルタン による複素数上の単純リー代数の分類の中で初めて発見された 。
注記 ^ ここで、 special は 、要素が行列式 1 を持つ完全自己同型群の部分群を意味します。 ^ ロスマン 2002年 94ページ。 ^ ワイル 1939 ^ ロスマン 2002年 91ページ。 ^ ロスマン 2002年 94ページ ^ ロスマン 2002年 103ページ ^ Goodman & Wallach 2009 第1章末を参照 ^ ロスマン 2002年93ページ。 ^ ロスマン 2002年 105ページ ^ ロスマン 2002年 91ページ ^ ロスマン 2002年 92ページ ^ ロスマン 2002年 105ページ ^ ロスマン 2002年 107ページ。 ^ ロスマン 2002年 93ページ ^ ロスマン 2002年 95ページ。 ^ ロスマン 2002年 94ページ。 ^ Goodman & Wallach 2009 演習14、セクション1.1。 ^ ロスマン 2002年 94ページ。 ^ Goodman & Wallach 2009演習11、第1章。 ^ ロスマン 2002年 94ページ。 ^ グッドマン＆ウォラック 2009年、11ページ。 ^ Goodman & Wallach 2009 演習 12 第 1 章。 ^ Wybourne, BG (1974). 物理学者のための古典群 , Wiley-Interscience. ISBN 0471965057 。
参考文献 
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