根系

Geometric arrangements of points, foundational to Lie theory

数学において、ルート系はユークリッド空間におけるベクトルの配置であり、特定の幾何学的性質を満たす。この概念はリー群やリー代数の理論、特に半単純リー代数の分類と表現理論において基礎的である。リー群（および代数群などの類似群）とリー代数は20世紀に数学の多くの部分で重要になったため、ルート系の一見特殊な性質は、それが適用される領域の多さを物語っている。さらに、ディンキン図によるルート系の分類体系は、リー理論と明白な関係のない数学の部分（特異点理論など）にも見られる。最後に、ルート系はスペクトルグラフ理論のように、それ自体が重要である。^[1]

定義と例

ルートシステムA _{2の6つのベクトル}

最初の例として、右の図に示すように、 2 次元ユークリッド空間R ²の6 つのベクトルを考えます。これらを根と呼びます。これらのベクトルは空間全体に広がります。任意の根に垂直な直線、たとえばβを考えると、その直線におけるR ²の反射は、他の任意の根、たとえばαを別の根に送ります。さらに、その送り先の根はα + nβに等しくなります。ここで、nは整数です (この場合、nは 1 です)。これら 6 つのベクトルは次の定義を満たすため、ルート システムを形成します。このルート システムA ₂は、

意味

E を有限次元ユークリッド ベクトル空間とし、標準ユークリッド内積を と表記する。Eのルート系とは、以下の条件を満たす非零ベクトル（ルートと呼ばれる）の有限集合である。 ^{[2] [3]} ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. 根はEに広がります 。
2. ルートのスカラー倍数のうちに属するものは、ルート自体と のみです。 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$
3. あらゆる根 に対して、その集合は に垂直な超平面を通る鏡映の下で閉じている。 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$
4. (整数性)およびが の根である場合、を通る直線への の射影はの整数倍または半整数倍になります。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

条件 3 と 4 をそれぞれ記述する同等の方法は次のとおりです。

3. 任意の2つの根に対して、集合には要素が含まれる。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. 任意の 2 つの根の場合、その数は整数です。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}$

著者によっては、ルート系の定義に条件 1 ～ 3 のみを含めている人もいます。^[4] この文脈では、整数条件も満たすルート系は結晶学的ルート系と呼ばれます。^[5] 他の著者は条件 2 を省略し、条件 2 を満たすルート系を簡約 と呼びます。^[6] この記事では、すべてのルート系が簡約かつ結晶学的であると仮定します。

性質3を考慮すると、整数性条件は、βとその反射σα ( _β )の差がαの整数倍であること を述べることと同値である。性質4で定義される演算子は内積ではないことに注意されたい。これは必ずしも対称的ではなく、第一引数に関してのみ線形である。 $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$

ランク2ルートシステム

根系 ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$	根系 ${\displaystyle D_{2}}$
根系 ${\displaystyle A_{2}}$	根系 ${\displaystyle G_{2}}$
根系 ${\displaystyle B_{2}}$	根系 ${\displaystyle C_{2}}$

ルート系 Φ の階数は E の次元である。2つのルート系は、それらが張るユークリッド空間を共通のユークリッド空間の互いに直交する部分空間と見なすことで結合することができる。このような結合から生じないルート系、例えば右図のA ₂、B ₂、G _2などは既約であると言われる。

2つのルート系( E1 ,Φ1 ₎と( E2 ,Φ2 _{)は、Φ1をΦ2}に変換する可逆な線形変換E1  →  E2が存在し_、各ルートのペアの数が保存される場合、同型と呼ばれ_ます。^[7] ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

そのルート系 Φ のルート格子は、 Φ によって生成されるEのZE内の 格子。

ワイル群

ルートシステムのワイル群は正三角形の対称群である。 ${\displaystyle A_{2}}$

Φ の根に付随する超平面を通した鏡映によって生成されるEの 等長写像群は、 Φ のワイル群と呼ばれる。ワイル群は有限集合 Φ に忠実に作用するため、常に有限である。鏡映平面は根に垂直な超平面であり、下の図では破線で示されている。ワイル群は、6つの要素を持つ正三角形の対称群である。この場合、ワイル群は根系の完全な対称群ではない（例えば、60度回転は根系の対称性ではあるが、ワイル群の要素ではない）。 ${\displaystyle A_{2}}$

1つの例をランク付けする

階数1のルート系は1つしか存在せず、2つの非零ベクトル から構成されます。このルート系は と呼ばれます。 ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

2つの例をランク付けする

ランク2では、 に対応する4つの可能性があります。ここで、 です。^[8]右の図はこれらの可能性を示していますが、いくつかの冗長性があります。は と同型で、 は と同型です。 ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$ ${\displaystyle n=0,1,2,3}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

ルート システムは、それが生成する格子によって決定されるのではないことに注意してください。およびはどちらも正方格子を生成し、およびはどちらも六角形格子を生成します。 ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

Φ がEのルート系であり、Sが Ψ = Φ ∩  Sによって張られるEの部分空間であるとき、 Ψ はSのルート系である 。したがって、階数2のルート系を網羅的に4つ列挙することは、任意の階数のルート系から選ばれた2つのルートの幾何学的可能性を示している。特に、そのような2つのルートは、0度、30度、45度、60度、90度、120度、135度、150度、または180度の角度で交わる必要がある。

半単純リー代数から生じるルート系

が複素半単純リー代数であり、がカルタン部分代数である場合、次のようにルート系を構築できる。 が に対して のルートであるとは、任意のに対して となるようなものが存在する場合である。 ^[9]によれば、ルートの集合がルート系を形成するような内積が存在することが示される。 のルート系は、 の構造を分析し、その表現を分類するための基本的なツールである。（ルート系とリー理論に関する以下のセクションを参照。） ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

歴史

ルート系の概念は、もともと1889年頃にヴィルヘルム・キリングによって導入された（ドイツ語ではWurzelsystem ^[10]）。^[11]彼は複素数体上のすべての単純なリー代数を分類する試みの中でこの概念を用いた。（キリングは当初、この分類において誤りを犯し、例外的なランク4のルート系を2つ挙げていたが、実際にはランク4のルート系は1つしかなく、現在ではF ₄として知られている。カルタンは後にこの誤りを訂正し、キリングの2つのルート系が同型であることを示しました。^[12]）

キリングは、現在カルタン部分代数と呼ばれるものを考察することで、リー代数の構造を研究した。次に、特性多項式の根を研究した。ここで、根はの関数、あるいは双対ベクトル空間 の元として考えられる。この根の集合は、上で定義したように の内部に根系を形成し、その内積はキリング形式となる。^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \det(\operatorname {ad} _{L}x-t)}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

ルートシステム公理の基本的帰結

の整数条件は、垂直線上のβに対してのみ満たされますが、 の整数条件は、赤い円上のβに対してのみ満たされます。α に垂直な任意のβ（Y軸上）は、0 で両方の条件を自明に満たしますが、既約根系を定義しません。鏡映を法として、与えられたαに対して、 βの非自明な可能性は 5 つしかなく、一連の単純根においてαとβの間には 3 つの角度が可能です。下付き文字は、与えられたβが最初の根として、α が 2 番目の根として（またはF ₄では中央の 2 つの根として）機能できる根系の級数に対応します。 ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$

2つの根の間の角度の余弦は、正の整数の平方根の半分に制約されます。これは、仮定により、とが両方とも整数であり、 ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle &=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}\\&=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}\\&=4\cos ^{2}(\theta )\\&=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$$

であるため、 の唯一の可能な値はとであり、それぞれ角度 90°、60° または 120°、45° または 135°、30° または 150°、および 0° または 180° に対応します。条件 2 では、1 と −1 以外のαのスカラー倍数は根になることができないため、2 αまたは −2 αに対応する 0 または 180°は除外されます。右の図は、角度 60° または 120° が等しい長さの根に対応し、角度 45° または 135° が の長さの比に対応し、角度 30° または 150° が の長さの比に対応することを示しています。 ${\displaystyle 2\cos(\theta )\in [-2,2]}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle 0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

要約すると、それぞれの根のペアには、次の2つの可能性しかありません。^[13]

• 角度が90度の場合、長さの比率は制限されません。
• 角度は 60 度または 120 度、長さの比は 1 です。
• 角度は 45 度または 135 度、長さの比は です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• 角度は 30 度または 150 度、長さの比は です。 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

正根と単純根

ラベル付けされた根は根系の正根の集合であり、 とは単純根である。 ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

根系が与えられたとき、常に（様々な方法で）正根の集合を選ぶことができる。これはの部分集合であり、 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$

• 各根に対して、根 の 1 つがに含まれます。 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$
• が根であるような任意の2 つの異なる点に対して、 。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$

正根の集合が選ばれる場合、 の元は負根と呼ばれる。正根の集合は、根を含まない超平面を選び、の固定された側にあるすべての根を と設定することによって構成できる。さらに、すべての正根の集合はこのようにして生じる。^[14] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle -\Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$

の元は、の2つの元の和として表すことができない場合、単純ルート（または基本ルート）と呼ばれます。（単純ルートの集合は の基底とも呼ばれます。）単純ルートの集合は、以下の追加の特別な性質を持つの基底です。 ^[15] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$

• すべての根は整数係数を持つの要素の線形結合です。 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$
• それぞれの について、前の点の係数はすべて非負か、すべて非正のいずれかになります。 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

各ルートシステムには、正ルートの集合（または、それと同等の単純ルート）のさまざまな選択肢がありますが、任意の2つの正ルートの集合はワイル群の作用によって異なります。^[16] ${\displaystyle \Phi }$

双根系、共根、積分元

二重根系

Φ がEのルート系である場合、ルート α のコルートα ^{∨ は次のように定義されます。} $${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

コルートの集合は、Eのルート系 Φ ^{∨ も形成します。これは}双対ルート系（逆ルート系と呼ばれることもあります）と呼ばれます。定義により、α ^{∨ ∨ = α なので、Φ は Φ ∨}の双対ルート系です。EのΦ ^∨が張る格子はコルート格子と呼ばれます。Φ と Φ ^{∨ は}どちらも同じワイル群Wを持ち、Wのsに対して、 $${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

ΔがΦの単純ルートの集合であるならば、^{Δ∨はΦ∨}の単純ルートの集合である。^[17]

以下に述べる分類において、型 と のルート系は例外的なルート系とともにすべて自己双対であり、つまり双対ルート系は元のルート系と同型である。対照的に、と のルート系は互いに双対であるが、同型ではない（ の場合を除く）。 ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n=2}$

不可欠な要素

Eのベクトルは、各コルートとの内積が整数であるとき、整数と呼ばれます^[18] 。の集合は双対ルート系の基底を形成するため、 が整数であることを確認するには、 について上記の条件をチェックするだけで十分です。 ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$ ${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

整数元の集合は、与えられたルート系に関連付けられた重み格子と呼ばれます。この用語は半単純リー環の表現論に由来し、整数元は有限次元表現の可能な重みを形成します。

ルート系の定義は、ルート自体が整数元であることを保証します。したがって、ルートの整数線形結合はすべて整数元です。しかし、ほとんどの場合、ルートの整数結合ではない整数元も存在します。つまり、一般に重み格子はルート格子と一致しません。

ディンキン図による根系の分類

連結されたすべてのディンキン図の画像

ルート システムが既約であるとは、すべての および に対してとなる2 つの適切な部分集合 の和集合 に分割できない場合を指します。 ${\displaystyle \Phi =\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )=0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi _{1}}$ ${\displaystyle \beta \in \Phi _{2}}$

既約ルート系は、ユージン・ディンキンにちなんで名付けられたディンキン図と呼ばれる特定のグラフに対応する。これらのグラフの分類は組合せ論の単純な問題であり、既約ルート系の分類を導く。

ディンキン図の構築

根系が与えられたとき、前節と同様に単純根の集合 Δ を選択します。対応するディンキン図の頂点は、Δ 内の根に対応します。頂点間の辺は、角度に応じて以下のように描画されます。(単純根間の角度は常に 90 度以上であることに留意してください。)

• ベクトルが直交する場合はエッジなし、
• 120度の角度を形成する場合は無向の単辺、
• 135度の角度を形成する場合は有向両辺、
• 150 度の角度を形成する場合は有向三辺になります。

「有向辺」とは、二重辺と三重辺に、短いベクトルを指す矢印が描かれていることを意味します。（矢印を「大なり記号」と考えると、矢印がどの方向を指すのかが明確になります。）

上で述べた根の基本特性から、ディンキン図を作成するための規則は次のようにも記述できることに注意されたい。根が直交する場合は辺なし。直交しない根の場合は、長い根と短い根の長さの比が 1、 、 であるかどうかに応じて、単辺、二重辺、または三重辺。たとえば、根系の場合、角度が 150 度の 2 つの単純根があります (長さの比は)。したがって、ディンキン図には、三重辺で結合された 2 つの頂点があり、長い方の根に関連付けられた頂点からもう一方の頂点を指す矢印があります。 (この場合、矢印は多少冗長です。なぜなら、矢印の方向がどちらであっても図は等価だからです。) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

根系の分類

与えられたルート系には複数の単純ルートの集合が存在する可能性があるが、ワイル群はそのような選択に対して推移的に作用する。^[19]したがって、ディンキン図は単純ルートの選択とは独立しており、ルート系自体によって決定される。逆に、同じディンキン図を持つ2つのルート系が与えられた場合、基底のルートから始めてルートを対応させ、それらの系が実際には同じであることを示すことができる。^[20]

したがって、ルート系の分類問題は、可能なディンキン図の分類問題に帰着する。ルート系が既約となるのは、そのディンキン図が連結されている場合のみである。^[21]連結可能な図は図に示されている。添え字は図中の頂点数（したがって、対応する既約ルート系の階数）を示す。

がルート系である場合、双対ルート系のディンキン図は、のディンキン図から、頂点と辺はすべて同じまま、矢​​印の方向をすべて反転させることで得られます。したがって、これらのディンキン図から、と は互いに双対であることがわかります。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

ワイルチェンバーとワイル群

網掛け部分は、基底関数の基本的なワイル箱である。 ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

がルート系である場合、各ルートに垂直な超平面を考えることができます。 は超平面の鏡映を表し、ワイル群はすべての によって生成されるの変換の群であることを思い出してください。超平面の補集合は非連結であり、各連結成分はワイルチェンバーと呼ばれます。単純ルートの特定の集合 Δ を固定すると、 Δ に関連付けられた基本ワイルチェンバーを、すべての に対してとなる点の集合として定義できます。 ${\displaystyle \Phi \subset E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

反射はを保存するので、根に垂直な超平面の集合も保存します。したがって、各ワイル群の元はワイル室を置換します。 ${\displaystyle \sigma _{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

この図はルート系の場合を示しています。ルートに直交する「超平面」（この場合は1次元）は破線で示されています。6つの60度セクターはワイルチェンバーであり、網掛け部分は示された基底に対応する基本ワイルチェンバーです。 ${\displaystyle A_{2}}$

ワイルチェンバーに関する基本的な一般定理は次の通りである: ^[22]

定理：ワイル群はワイル室に対して自由に推移的に作用する。したがって、ワイル群の位数はワイル室の数に等しい。

たとえば、この場合、ワイル群には 6 つの要素があり、ワイル室も 6 つあります。 ${\displaystyle A_{2}}$

関連する結果は次の通りである: ^[23]

定理：ワイル箱 を固定する。すると、任意の に対して、 のワイル軌道は​​ の閉包内にちょうど1点を含む。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {C}}}$ ${\displaystyle C}$

ルートシステムとリー理論

既約ルート系は、リー理論において関連するいくつかのオブジェクトを分類します。特に次のものが挙げられます。

• 単純複素リー代数（半単純リー代数から生じるルート系に関する上記の議論を参照）、
• 単純連結複素リー群は単純な法中心であり、
• 単純な法中心である単連結 コンパクト リー群。

いずれの場合も、根は随伴表現のゼロ以外の重みです。

ここでは、ハンフリーズの議論に従って、既約ルート系が 上の単純リー代数をどのように分類するかについて簡単に説明します。 ^[24]予備的な結果によれば、半単純リー代数は、関連するルート系が既約である場合に限り単純です。^[25]したがって、私たちは既約ルート系と単純リー代数にのみ注目します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• まず、各単純代数に対してルート系はただ一つしか存在しないことを証明しなければならない。この主張は、のカルタン部分代数が自己同型性を除いて一意であるという結果^[26]から導かれ、この結果から任意の二つのカルタン部分代数は同型ルート系を与えることが導かれる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• 次に、各既約ルート系に対してリー代数は最大で1つしか存在できないこと、つまりルート系が同型性までリー代数を決定することを示す必要がある。^[27]
• 最後に、各既約ルート系には、それと結びつく単純リー代数が存在することを示さなければならない。この主張は、タイプA、B、C、Dのルート系については自明であり、これらの系では、結びつくリー代数は古典リー代数となる。こうすることで、例外的な代数をケースバイケースで解析することが可能になる。あるいは、セールの関係を用いて、ルート系からリー代数を構築するための体系的な手順を開発することもできる。^[28]

例外ルート系とそのリー群およびリー代数との関係については、E ₈、E ₇、E ₆、F ₄、およびG ₂を参照してください。

既約ルート系の性質

Φ	| Φ |	| Φ < |	私	D	|西|
A n ( n ≥ 1)	n ( n + 1)			n + 1	( n +1)!
B n ( n ≥ 2)	2 n 2	2 n	2	2	2 n n !
C n ( n ≥ 3)	2 n 2	2 n ( n − 1)	2 n −1	2	2 n n !
D n ( n ≥ 4)	2 n ( n − 1)			4	2 n −1 n !
E 6	72			3	51840
E 7	126			2	2903040
E8​	240			1	696729600
F4​	48	24	4	1	1152
G2​	12	6	3	1	12

既約ルート系は、対応する連結ディンキン図に基づいて命名される。4つの無限族（A _n、B _n、C _n、D _n、これらは古典ルート系と呼ばれる）と5つの例外的な場合（例外ルート系と呼ばれる）が存在する。添え字はルート系の階数を示す。

既約ルート系では、長さ( α , α ) ^1/2の値は最大で 2 つ存在でき、それぞれ短いルートと長いルートに対応します。すべてのルートが同じ長さの場合、定義により長いとみなされ、ルート系は単純に関連付けられていると言われます。これは、ケース A、D、E で発生します。同じ長さの任意の 2 つのルートは、ワイル群の同じ軌道にあります。単純に関連付けられていないケース B、C、G、F では、ルート格子は短いルートによって張られ、長いルートは部分格子を張ります。部分格子はワイル群で不変で、コルート格子のr ² /2 倍に等しく、rは長いルートの長さです。

隣の表では、| Φ ^< |は短い根の数、I は長い根によって生成された部分格子の根格子のインデックス、D はカルタン行列の行列式、| W | はワイル群の位数を示します。

既約ルート系の明示的な構築

あ_n

ゾムツールシステムにおける根系のモデル ${\displaystyle A_{3}}$

A ₃の単純ルート

	e 1	e 2	e 3	e 4
α 1	1	−1	0	0
α 2	0	1	−1	0
α 3	0	0	1	−1

EをR ^{n +1}の部分空間とし、その座標の和が 0 となるような空間とする。また、 Φ をEに含まれる長さ√ 2のベクトルの集合とし、これらのベクトルは整数ベクトル、すなわちR ^{n +1}において整数座標を持つものとする。このようなベクトルは、2つを除くすべての座標が 0 に等しく、1つが 1 に等しく、1つが -1 に等しいため、全部でn ² + n 個の根が存在する。標準基底で表される単純根の1つの選択肢は、 1 ≤ i ≤ nに対してα _i = e _i − e _{i +1}である。

α _iに垂直な超平面を通るσ _{i の}鏡映は 、隣接するi番目と ( i  + 1) 番目の座標の置換と同じです。このような 転置により、完全な置換群が生成されます。隣接する単純根の場合、 σ _i ( α _{i +1} ) = α _{i +1}  +  α _i =  σ _{i +1} ( α _i ) =  α _i  +  α _{i +1}、つまり、鏡映は 1 の倍数を加算することと等価です。しかし、隣接していない単純根に垂直な単純根を鏡映しても、変化はなく、0 の倍数だけ異なります。

A nルート格子、つまりA _nルートによって生成される格子は、R ^{n +1内の要素の合計}_がゼロになる整数ベクトルの集合として最も簡単に記述できます。

A ₂ルート格子は、三角形のタイリングの頂点配置です。

A3ルート格子は_{、結晶学者には}面心立方格子（または立方最密充填格子）として知られています。^{[29]これは}、四面体-八面体ハニカムの頂点配置です。

A3_根系（および他のランク3根系）はゾムツール構築セットでモデル化できます。[ 30 ^]

一般に、A _nルート格子はn次元単体ハニカムの頂点配置です。

B_n

B ₄の単純ルート

	e 1	e 2	e 3	e 4
α 1	1	−1	0	0
α 2	0	1	−1	0
α 3	0	0	1	−1
α 4	0	0	0	1

E = R ⁿとし、 Φ はEの長さ 1 または√ 2のすべての整数ベクトルから構成されるものとする。根の総数は 2 n ²である。単純根の1つの選択肢は、1 ≤ i ≤ n – 1に対してα _i = e _i – e _{i +1} （ A _{n −1}に対する上記の単純根の選択肢）であり、より短い根はα _n = e _nである。

短根α _nに垂直な超平面を通る鏡映σ _nは、もちろんn番目の座標の単なる反転です。長単純根α _{n −1}の場合、 σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + α _{n −1}ですが、短根に垂直な鏡映の場合、σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + 2 α _nとなり、差は 1 ではなく 2 の倍数になります。

B nルート格子、つまりB _{nルートによって生成される格子は、}すべて整数ベクトルから構成されます。

B _1は√ 2によるスケーリングを通じてA ₁と同型であり、したがって異なるルート システムではありません。

C_n

ルートシステムB ₃、C ₃、およびA ₃ = D _3を立方体と八面体内の点として

C ₄の単純根

	e 1	e 2	e 3	e 4
α 1	1	−1	0	0
α 2	0	1	−1	0
α 3	0	0	1	−1
α 4	0	0	0	2

E = R ⁿとし、 Φ はEの長さ√ 2の整数ベクトルすべてと、 2 λの形式のベクトルすべて（ λは長さ 1 の整数ベクトル）から構成されるものとする。根の総数は 2 n ²である。単純根の1つの選択肢は、1 ≤ i ≤ n − 1 に対してα _i = e _i − e _{i +1 （} A _{n −1}に対する上記の単純根の選択）、およびより長い根α _n = 2 e _nである。反射σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + α _nであるが、σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + 2 α _{n −1 で}ある。

C nルート格子、つまりC _{nルートによって生成される格子は、}その成分の合計が偶数になるすべての整数ベクトルから構成されます。

C _{2 は、} √ 2のスケーリングと 45 度の回転によりB ₂と同型であるため、異なるルート システムではありません。

D_n

D ₄の単純根

	e 1	e 2	e 3	e 4
α 1	1	−1	0	0
α 2	0	1	−1	0
α 3	0	0	1	−1
α 4	0	0	1	1

E = R ⁿとし、 Φ をEの長さ√ 2の整数ベクトルすべてとする。根の総数は2 n ( n − 1)である。単純根の1つの選択肢は、1 ≤ i ≤ n − 1に対してα _i = e _i − e _{i +1 （} A _{n −1}に対して上記の単純根の選択肢）であり、α _n = e _{n −1} + e _nも成り立つ。

α _nに垂直な超平面を通る鏡映は、隣接するn番目と ( n − 1) 番目の座標を転置して反転することと同じです。任意の単根と、それを別の単根に垂直に鏡映したものは、2番目の根の 0 倍または 1 倍の差があり、それ以上の倍数ではありません。

D nルート格子、つまりD _{nルートによって生成される格子は、}すべての成分の和が偶数となる整数ベクトルから構成されます。これはC _nルート格子と同じです。

D _n根は、修正されたn -直交複素数、コクセター・ディンキン図の頂点として表現されます。 ...2n ( n −1)個の頂点はn-直交複体の辺の中央に存在する。

D _{3 は}A ₃と一致するため、別個のルート系ではない。12個のD ₃ルートベクトルは、、立方八面体の低対称性構成。

D _{4 には、}トライアリティと呼ばれる追加の対称性があります。24個のD ₄ルートベクトルは、、 24 セルの低対称性構成。

E₆、E₇、E₈

1 22の72個の頂点はE 6のルートベクトルを表す （このE6コクセター平面投影では緑のノードが2倍になっている）	2 31の126個の頂点はE 7のルートベクトルを表す。	4 21の240頂点はE 8のルートベクトルを表す。

• E _{8ルート システムとは}、次の集合と合同なR 8^のベクトルの任意の集合です。 $${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

ルート系には240個のルートがあります。先ほど挙げた集合は、E8ルート格子（単にE8格子またはΓ _{8とも呼ばれます）における長さ}√2のベクトルの集合です。これは、 R ⁸内の以下の点の集合です。

1. すべての座標が整数であるか、すべての座標が半整数であるか（整数と半整数の混在は許可されない）、
2. 8 つの座標の合計は偶数になります。

したがって、 $${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• ルート系E _7は、 E ₈内の固定根に垂直なE ₈内のベクトルの集合である。ルート系E ₇には126個の根がある。
• ルート系E _6は、 E ₇内の固定されたルートに垂直なE ₇のベクトルの集合ではありません。実際、D ₆はこのようにして得られます。しかし、E _6は、 E ₈から適切に選ばれた2つのルートに垂直なE ₈の部分系です。ルート系E ₆には72個のルートがあります。

E ₈の単純根：偶座標

1	−1	0	0	0	0	0	0
0	1	−1	0	0	0	0	0
0	0	1	−1	0	0	0	0
0	0	0	1	−1	0	0	0
0	0	0	0	1	−1	0	0
0	0	0	0	0	1	−1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠

E ₈格子の別の記述法として、R ⁸のすべての点の集合 Γ' ₈として記述することもでき、 これは便利な場合もある。

• すべての座標が整数であり、座標の合計が偶数である、または
• すべての座標は半整数であり、座標の合計は奇数です。

格子 Γ ₈と Γ' _8は同型であり、任意の奇数個の座標の符号を変えることで、一方から他方へ遷移することができる。格子 Γ _8はE ₈の偶座標系と呼ばれることもあり、格子 Γ' _8は奇座標系と呼ばれることもある。

代替（非標準）ディンキン図（上記）のノード順序で行が並べられた偶数座標系におけるE ₈の単純根の 1 つの選択肢は次のとおりです。

α _i = e _i − e _{i +1}（1 ≤ i ≤ 6）であり、

α ₇ = e ₇ + e ₆

（上記のD ₇の単純ルートの選択）と $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

E ₈の単純根：奇座標

1	−1	0	0	0	0	0	0
0	1	−1	0	0	0	0	0
0	0	1	−1	0	0	0	0
0	0	0	1	−1	0	0	0
0	0	0	0	1	−1	0	0
0	0	0	0	0	1	−1	0
0	0	0	0	0	0	1	−1
− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	⁠1/2⁠	⁠1/2⁠	⁠1/2⁠

交互（非標準）ディンキン図（上図）のノード順序で行を並べた奇座標系におけるE ₈の単純根の1つの選択肢は、

α _i = e _i − e _{i +1}（1 ≤ i ≤ 7）

（上記のA ₇の単純なルートの選択）と

α ₈ = β ₅、ここで

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

（β ₃を使用すると同型の結果が得られます。β 1,7 または β 2,6 を使用すると、単にA 8_{またはD 8}が得られます。β ₄に関しては_、その座標の合計は 0 になり、同じことがα _1...7にも当てはまるため、座標の合計が 0 になる 7 次元部分空間のみを張ります。実際、−2 β ₄は基底（α _i）に座標（1、2、3、4、3、2、1）を持ちます。）

α ₁への垂直性は最初の2つの座標が等しいことを意味するので、E ₇は最初の2つの座標が等しいE ₈の部分集合となり、同様にE ₆は最初の3つの座標が等しいE ₈の部分集合となる。これにより、 E ₇とE ₆を以下のように 明示的に定義することができる。

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2) ⁷  : Σ α _i ² + α ₁ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2) ⁶  : Σ α _i ² + 2 α ₁ ² = 2, Σ α _i + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

α ₁とα ₂を消去すると、 E ₇とE ₆の単純根集合が得られることに注意してください。ただし、これらの単純根集合は、 α ₁やα ₂と直交していないため、上記のE ₈のE ₇およびE ₆部分空間とは異なる部分空間に存在します。

F₄

F ₄の単純根

	e 1	e 2	e 3	e 4
α 1	1	−1	0	0
α 2	0	1	−1	0
α 3	0	0	1	0
α 4	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠	− ⁠1/2⁠

24セルとその双対の頂点で定義されるF4の48根ベクトルをコクセター平面で見たもの

F ₄について、E = R ^{4とし、 Φ を長さ 1 または}√ 2のベクトル α の集合とし、 2α の座標がすべて整数で、すべて偶数かすべて奇数となるものとする。この系には48通りの根がある。単純根の選択肢の一つは、 B ₃について上記に示した単純根の選択肢に、 を加えることである。 ${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$

F ₄ルート格子、すなわちF _{4ルート系によって生成される格子は}、R ⁴内の点の集合であって、すべての座標が整数であるか、すべての座標が半整数である（整数と半整数の混在は許されない）ものである。この格子は、フルヴィッツ四元数の格子と同型である。

G₂

G ₂の単純根

	e 1	e 2	e 3
α 1	1	−1	0
β	−1	2	−1

ルートシステムG _{2には12個のルートがあり、それらは}六芒星の頂点を形成します。上の図を参照してください。

単純根の 1 つの選択肢は ( α ₁、β = α ₂ − α ₁ ) です。ここで、 i = 1、 2のα _i = e _i − e _{i +1は、} A ₂の単純根の上記の選択肢です。

G 2ルート格子、つまりG _{2ルートによって生成される格子は、}A ₂ルート格子と同じです。

ルートポセット

追加された単純根を識別するエッジラベルを持つE6根順序集合のハッセ図

正ルートの集合は、が単純ルートの非負線形結合である場合に限り、 となることから自然に順序付けられる。このposetはによって次数が付けられ、多くの注目すべき組合せ論的性質を持つ。その一つは、この poset から対応する Weyl 群の基本不変量の次数を決定できることである。^[31]ハッセグラフは、ルート poset の順序を視覚化したものである。 ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\textstyle \deg \left(\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha \right)=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}$

参照

• ADE分類
• アフィンルートシステム
• コクセター・ディンキン図
• コクセターグループ
• コクセター行列
• ディンキン図
• ルートデータム
• 半単純リー代数
• 半単純リー代数の表現論における重み
• 半単純リー代数のルート系
• ワイル群

注記

1. Cvetković, Dragoš (2002). 「最小固有値-2のグラフ：最大例外グラフの歴史的概観と最近の発展」.線形代数とその応用. 356 ( 1–3 ): 189–210 . doi : 10.1016/S0024-3795(02)00377-4 .
2. ブルバキ、第6章、第1節
3. ハンフリーズ 1972、42ページ
4. ハンフリーズ 1992、6ページ
5. ハンフリーズ 1992、39ページ
6. ハンフリーズ 1992、41ページ
7. ハンフリーズ 1972年、43ページ
8. ホール 2015 提案 8.8
9. ホール 2015、セクション7.5
10. 1889年の殺害
11. ブルバキ 1998, p. 270より
12. コールマン 1989、34ページ
13. ホール 2015 提案 8.6
14. ホール 2015、定理8.16と8.17
15. ホール 2015、定理8.16
16. ホール 2015、提案8.28
17. ホール 2015、提案8.18
18. ホール 2015、セクション8.7
19. これはホール2015の命題8.23に従うものである。
20. ホール 2015、提案8.32
21. ホール 2015、提案8.23
22. ホール 2015、命題8.23および8.27
23. ホール 2015、提案8.29
24. Humphreys 1972の第3章、第4章、第5章のさまざまな部分を参照。第5章の第19節で最高潮に達する。
25. ホール 2015、定理 7.35
26. ハンフリーズ 1972、第16節
27. Humphreys 1972、定理18.4のパート(b)
28. Humphreys 1972 セクション18.3および定理18.4
29. Conway, John ; Sloane, Neil JA (1998). 「Section 6.3」. Sphere Packings, Lattices and Groups. Springer. ISBN 978-0-387-98585-5。
30. ホール 2015 セクション 8.9
31. ハンフリーズ 1992、定理3.20

参考文献

• アダムス、JF（1983）、リー群に関する講義、シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-00530-5
• ブルバキ、ニコラ（2002）、リー群とリー代数、第4章から第6章（1968年のフランス語原著からアンドリュー・プレスリーによる翻訳）、数学原論、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-42650-7ルートシステムの古典的な参考書。
• ブルバキ、ニコラ（1998年）『数学史の要素』シュプリンガー、ISBN 3540647678。
• コールマン、AJ（1989年夏）「史上最高の数学論文」、数学インテリジェンサー、11（3）：29-38、doi：10.1007/bf03025189、S2CID  35487310
• ホール、ブライアン・C.（2015）、リー群、リー代数、表現：初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第222巻（第2版）、Springer、ISBN 978-3319134666
• ハンフリーズ、ジェームズ（1972）『リー代数と表現論入門』シュプリンガー、ISBN 0387900535。
• ハンフリーズ、ジェームズ（1992）『反射群とコクセター群』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0521436133。
• ヴィルヘルム殺害（1888年6月）。 「Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen」。数学アンナレン。31 (2): 252–290。土井:10.1007/BF01211904。S2CID  120501356。2016 年 3 月 5 日のオリジナルからアーカイブ。
  • — (1888年3月). 「パート2」. Math. Ann . 33 (1): 1– 48. doi :10.1007/BF01444109. S2CID  124198118.
  • — (1889年3月). 「パート3」. Math. Ann . 34 (1): 57–122 . doi :10.1007/BF01446792. S2CID  179177899. 2015年2月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  • — (1890年6月). 「第4部」. Math. Ann . 36 (2): 161–189 . doi :10.1007/BF01207837. S2CID  179178061.
• Kac, Victor G. (1990). 『無限次元リー代数』（第3版）. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6。
• Springer, TA (1998).線型代数群（第2版）. Birkhäuser. ISBN 0817640215。

さらに読む

• Dynkin, EB (1947). 「半単純代数の構造」. Uspekhi Mat. Nauk . 2 (ロシア語). 4 (20): 59–127 . MR  0027752.

外部リンク

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