リー群表

グループの位相特性 (次元、連結性、コンパクト性、基本グループの性質、単連結かどうか) と代数特性 (アーベル、単純、半単純) について言及します。

リー群のその他の例とその他の関連トピックについては、単純なリー群のリスト、3 次元までのグループのビアンキ分類、 4 次元までの低次元実リー代数の分類、およびリー群のトピックのリストを参照してください。

実リー群とその代数

列の凡例

キャプテン: このグループGはコンパクトですか? (はいまたはいいえ)
$\pi _{0}$ : Gの成分群を与える。成分群の位数は連結成分の数を与える。群が連結であるためには、成分群が自明である（0で表される）必要がある。
$\pi _{1}$ : Gが連結である場合、Gの基本群を与える。群が単連結であることと、基本群が自明であること（0 で表される）は同値である。
UC : Gが単連結でない場合、Gの普遍被覆を与えます。

リー群	説明	キャプテン	$\pi _{0}$	$\pi _{1}$	UC	備考	リー代数	暗い/ R
R ⁿ	加法ユークリッド空間	北	0	0		アーベル	R ⁿ	n
R ^×	乗算を伴う非ゼロ実数	北	Z ₂	–		アーベル	R	1
R ⁺	乗算を伴う正の実数	北	0	0		アーベル	R	1
S ¹ = U(1)	円群：乗算を伴う絶対値 1 の複素数。	はい	0	Z	R	アーベル的、SO(2)、スピン(2)、R / Zと同型	R	1
賛成(1)	RからRへの可逆なアフィン変換。	北	Z ₂	–		解ける、R ⁺とR ^×の半直積	$\left\{\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\0&1\end{smallmatrix}}\right]:a\in \mathbb {R} ^{*},b\in \mathbb {R} \right\}$	2
H ^×	乗算を伴う非ゼロ四元数	北	0	0			H	4
S ³ = Sp(1)	乗算を伴う絶対値1の四元数。位相的には 3次元球面	はい	0	0		SU(2)およびSpin(3)に同型；SO(3)の二重被覆	イム( H )	3
GL( n , R )	一般線型群：可逆な n × n実行行列	北	Z ₂	–			M( n , R )	n ²
GL ⁺ ( n , R )	正の行列式を持つn × n実行行列	北	0	Z n =2 Z ₂ n >2		GL ⁺ (1, R ) はR ⁺と同型であり、単連結である。	M( n , R )	n ²
SL( n , R )	特殊線型群：行列式が1 である実行行列	北	0	Z n =2 Z ₂ n >2		SL(1, R )は1点なのでコンパクトかつ単連結である	sl( n , R )	n ² −1
SL(2, R )	ポアンカレ半平面の方向保存等長写像、SU(1,1)と同型、Sp(2, R )と同型。	北	0	Z		普遍被覆には有限次元の忠実な表現はありません。	sl(2, R )	3
の上）	直交群：実直交行列	はい	Z ₂	–		球面（n =3）または超球面の対称群。	だから( n )	n ( n −1)/2
SO( n )	特殊直交群：行列式1を持つ実直交行列	はい	0	Z n =2 Z ₂ n >2	スピン( n ) n >2	SO(1)は一点であり、SO(2)は円群と同型であり、SO(3)は球の回転群である。	だから( n )	n ( n −1)/2
SE( n )	特殊ユークリッド群: n次元空間における剛体運動の群。	北	0				se( n )	n + n ( n −1)/2
スピン( n )	スピン群：SO( n ) の二重被覆	はい	0 n >1	0 n >2		スピン(1)はZ ₂と同型で連結ではない。スピン(2)は円群と同型で単連結ではない。	だから( n )	n ( n −1)/2
Sp(2 n , R )	シンプレクティック群：実シンプレクティック行列	北	0	Z			sp(2 n , R )	n (2 n +1)
Sp( n )	コンパクトシンプレクティック群：四元数n × n ユニタリ行列	はい	0	0			sp( n )	n (2 n +1)
Mp( 2n , R )	メタプレクティック群：実シンプレクティック群Sp( 2n , R )の二重被覆	はい	0	Z		Mp(2, R )は代数群ではないリー群である	sp( 2n , R )	n (2 n +1)
U( n )	ユニタリ群：複素 n × n ユニタリ行列	はい	0	Z	R ×SU( n )	n =1の場合: S ¹と同型。注: これは複素リー群/代数ではない。	u( n )	n ²
太陽）	特殊ユニタリ群：行列式が1である複素 n × n ユニタリ行列	はい	0	0		注: これは複素リー群/代数ではありません	太陽）	n ² −1

実リー代数

リー代数	説明	単純？	半単純？	備考	暗い/ R
R	実数の場合、リー括弧はゼロである				1
R ⁿ	リー括弧はゼロ				n
R3	リー括弧は外積である	はい	はい		3
H	四元数、リー括弧は交換子				4
イム( H )	実部がゼロの四元数で、リー括弧は交換子である。実数3次元ベクトルと同型である。リー括弧付き外積はsu(2)およびso(3, R ) と同型である。	はい	はい		3
M( n , R )	n × n行列、リー括弧は交換子				n ²
sl( n , R )	トレース0の正方行列、リー括弧は交換子	はい	はい		n ² −1
だから( n )	歪対称の正方実数行列。リー括弧は交換子です。	はい、ただしn =4 を除く	はい	例外：so(4)は半単純であり、しかし、単純ではありません。	n ( n −1)/2
sp(2 n , R )	JA + A ^TJ = 0を満たす実行行列（ Jは標準歪対称行列）	はい	はい		n (2 n +1)
sp( n )	正方四元数行列AはA = − A ^∗を満たす。リー括弧は交換子である。	はい	はい		n (2 n +1)
u( n )	正方複素行列AはA = − A ^∗を満たす。リー括弧は交換子である。			注: これは複雑なリー代数ではない	n ²
su ( n ) n≥2	正方複素行列Aで、トレース 0 がA = − A ^∗を満たす。リー括弧は交換子	はい	はい	注: これは複雑なリー代数ではない	n ² −1

複素リー群とその代数

「複素リー群」は、複素解析多様体であり、かつその乗法と逆写像がそれぞれ正則写像で与えられる群として定義されることに注意してください。下の表の次元はC上の次元です。すべての複素リー群／リー代数は、次元の2倍の実リー群／リー代数と見なすこともできることに注意してください。

リー群	説明	キャプテン	$\pi _{0}$	$\pi _{1}$	UC	備考	リー代数	薄暗い/ C
C ⁿ	グループ演算は加算である	北	0	0		アーベル	C ⁿ	n
C ^×	乗算を伴う非ゼロ複素数	北	0	Z		アーベル	C	1
GL( n , C )	一般線型群：可逆な n × n複素行列	北	0	Z		n =1の場合: C ^×と同型	M( n , C )	n ²
SL( n , C )	特殊線型群：行列式を持つ複素行列 1	北	0	0		n = 1の場合、これは単一の点であり、したがってコンパクトです。	sl( n , C )	n ² −1
SL(2, C )	n =2 の場合のSL( n , C )の特殊ケース	北	0	0		Spin(3, C )と同型、Sp(2, C ) と同型	sl(2, C )	3
PSL(2, C )	射影特殊線型群	北	0	Z ₂	SL(2, C )	メビウス群と同型、制限ローレンツ群SO ⁺ (3,1, R )と同型、SO(3, C )と同型。	sl(2, C )	3
O( n , C )	直交群：複素直交行列	北	Z ₂	–		n =1の場合有限	そう( n , C )	n ( n −1)/2
SO( n , C )	特殊直交群：行列式1を持つ複素直交行列	北	0	Z n =2 Z ₂ n >2		SO(2, C )はアーベル型であり、C ^×と同型である。n >2のときは非アーベル型である。SO (1, C )は一点であり、したがってコンパクトかつ単連結である。	そう( n , C )	n ( n −1)/2
Sp(2 n , C )	シンプレクティック群：複素シンプレクティック行列	北	0	0			sp(2 n , C )	n (2 n +1)

複素リー代数

与えられた次元はC上の次元である。すべての複素リー代数は、次元の2倍の実リー代数としても見ることができることに注意されたい。

リー代数	説明	単純？	半シンプル？	備考	薄暗い/ C
C	複素数				1
C ⁿ	リー括弧はゼロ				n
M( n , C )	リー括弧付きn × n行列の交換子				n ²
sl( n , C )	リー括弧付きトレース0の正方行列整流子	はい	はい		n ² −1
sl(2, C )	n =2 の場合のsl( n , C )の特殊ケース	はい	はい	su(2) Cと同型 $\otimes$	3
そう( n , C )	リー括弧付き歪対称正方複素行列整流子	はい、ただしn =4 を除く	はい	例外: so(4, C ) は半単純であり、しかし、単純ではありません。	n ( n −1)/2
sp(2 n , C )	JA + A ^TJ = 0を満たす複素行列ここでJは標準歪対称行列である	はい	はい		n (2 n +1)

実際、2次元アフィン変換のリー代数は任意の体に対して存在します。実リー代数の最初の表に既に例が挙げられています。

参照

低次元実リー代数の分類

単純ライ群#完全分類

参考文献

フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991).表現論入門.数学大学院テキスト, 数学読本. 第129巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.