コンパクトリー代数

Mathematical theory

数学のリー理論の分野では、コンパクト リー代数の定義が 2 つあります。外在的かつ位相的に、コンパクト リー代数はコンパクト リー群のリー代数です。^[1]この定義にはトーラスが含まれます。内在的かつ代数的に、コンパクト リー代数はキリング形式が負定値である実リー代数です。この定義はより制限的でトーラスが含まれません。^[2]コンパクト リー代数は、対応する複素リー代数の最小の実形式、つまり複素化として考えることができます。

意味

形式的には、コンパクト・リー代数は、コンパクト・リー群のリー代数として定義することも、キリング形式が負定値となる実リー代数として定義することもできる。これらの定義は完全には一致しない。^[2]

• コンパクト リー群のリー代数上のキリング形式は、一般に負定値ではなく、半負定値です。
• リー代数のキリング形式が負定値である場合、リー代数はコンパクトな半単純リー群のリー代数です。

一般に、コンパクト リー群のリー代数は、可換な加数 (対応する部分群はトーラス) とキリング形式が負定値である加数のリー代数の直和として分解されます。

上記の最初の結果の逆は偽であることに注意することが重要です。リー代数のキリング形式が負の半正定値であっても、そのリー代数が何らかのコンパクト群のリー代数であることを意味しません。例えば、ハイゼンベルク群のリー代数上のキリング形式は恒等的にゼロであり、したがって負の半正定値ですが、このリー代数はいかなるコンパクト群のリー代数でもありません。

プロパティ

• コンパクトリー代数は簡約的である。^[3]同様の結果は一般にコンパクト群にも当てはまることに注意されたい。
• コンパクト・リー群Gのリー代数は、Ad( G ) 不変内積, を許容する。^[4]逆に、 がAd 不変内積 を許容する場合、 はあるコンパクト群のリー代数である。^[5]が半単純である場合、この内積はキリング形式の負にすることができる。したがって、この内積に対して、Ad( G ) は直交変換( ) によって作用し、歪対称行列( )によって作用する。 ^[4]複素半単純リー代数をコンパクト群のリー代数の複素化と見なすことで、その理論を展開することができる。 ^[6]コンパクト実形式上に Ad 不変内積が存在することで、展開が大幅に簡素化される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})}$

  これは、リー代数の表現可能性に関するアドーの定理のコンパクトな類似物として見ることができる。つまり、特性0の有限次元リー代数がコンパクトリー代数に埋め込まれるのと同様に、 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}.}$

• コンパクト リー代数のサタケ図は、すべての頂点が黒く塗られた複素リー代数のディンキン図です。
• コンパクト リー代数は、実形式間で実リー代数を分割することの反対であり、コンパクトであることから「可能な限り」離れた分割リー代数です。

分類

コンパクトリー代数は、複素半単純リー代数のコンパクト実数形式に基づいて分類され、命名される。これらは以下の通りである。

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$特殊ユニタリ群に対応する（正確には、コンパクト形式は PSU、射影特殊ユニタリ群）。
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1},}$特殊直交群に対応する（または直交群に対応する）； ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n+1},}$
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n},}$コンパクトシンプレクティック群に対応する。 と書かれることもある。 ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}_{n},}$
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$特殊直交群に対応する（または直交群に対応する）（正確には、コンパクト形式はPSO、射影特殊直交群である）。 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n},}$
• 例外リー代数のコンパクト実数形式 ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.}$

同型性

連結されたディンキン図の例外的な同型性は、コンパクト リー代数と対応するリー群の例外的な同型性を生み出します。

を、を 、をとすると、分類は冗長ではありません。代わりに または をとると、例外的な同型が得られます。 ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle D_{n}.}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

は自明な図式であり、自明な群に対応する。 ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).}$

同型は図の同型と、それに対応するリー群（3次元球面または単位四元数）の同型に対応する。 ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

同型は図式の同型とリー群の同型に対応する。 ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).}$

同型は図式の同型とリー群の同型に対応する。 ${\displaystyle n=3,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$ ${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).}$

とを図として考えると、これらはそれぞれ、およびと同型であり、対応するリー代数の同型性を持つ。 ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{5}}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle D_{5},}$

参照

• 実在の形
• 分割リー代数

注記

1. (Knapp 2002、セクション 4、248 ～ 251 ページ)
2. (Knapp 2002、命題 4.26、4.27、249–250 ページ)
3. (Knapp 2002、命題 4.25、249 ページ)
4. (Knapp 2002、命題 4.24、249 ページ)
5. スプリンガーリンク
6. ホール 2015 第7章

参考文献

• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-40122-5。
• ナップ、アンソニー・W.（2002）『リー群入門』、Progress in Mathematics、第140巻（第2版）、ボストン：ビルクハウザー、ISBN 0-8176-4259-5。

外部リンク

• リー群、コンパクト、数学百科事典

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