指数写像（リー理論）

Map from a Lie algebra to its Lie group

リー群理論において、指数写像とはリー群のリー代数 から群への写像であり、これによりリー代数から局所群構造を再び捉えることができる。指数写像の存在は、リー代数がリー群の研究に有用なツールである主な理由の一つである。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

数学解析における通常の指数関数は、指数写像の特殊なケースであり、これは が正の実数の乗法群（そのリー代数はすべての実数の加法群である）である場合である。リー群の指数写像は通常の指数関数と類似した多くの性質を満たすが、多くの重要な点において異なる点もある。 ${\displaystyle G}$

定義

をリー群とし、をそのリー代数（の単位元への接空間と考える）とする。指数写像は写像である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$

これはいくつかの異なる定義が考えられますが、典型的な現代の定義は次のとおりです。

定義： の指数は 次のように与えられる。ここで ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}$

は、その恒等接ベクトルが に等しい、の唯一の1パラメータ部分群です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

連鎖律から容易に が成り立つ。 からへの群準同型写像 は、に関連付けられた右不変または左不変ベクトル場の積分曲線として構築できる。 積分曲線がすべての実パラメータに対して存在するということは、解をゼロ付近で右または左に移動させることで分かる。 ${\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

行列リー群の場合、より具体的な定義があります。指数写像は行列指数写像と一致し、通常の級数展開によって与えられます。

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$、

ここでは単位行列である。したがって、行列リー群の設定において、指数写像はのリー代数への行列指数の制限となる。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

リーマン指数写像との比較

がコンパクトな場合、左平行移動と右平行移動に対してリーマン計量不変量を持ち、 に対するリー理論的指数写像はこのリーマン計量 の指数写像と一致します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

一般的な の場合、左平行移動と右平行移動の両方においてリーマン計量不変量は存在しません。例えば左平行移動においてはリーマン計量不変量は常に存在しますが、左不変計量に対するリーマン幾何学の意味での指数写像は、リー群の意味での指数写像とは一般に一致しません。つまり、が左不変計量を持つが右不変計量を持たないリー群である場合、恒等式を通る測地線は の1パラメータ部分群にはならないでしょう^[要出典]。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

その他の定義

リー群指数の他の同等の定義は次のとおりです。

• これはG上の標準左不変アフィン接続の指数写像であり、平行移動は左並進によって与えられる。つまり、 は単位元を始点とし、初期速度X（接ベクトルとして考える）を持つ唯一の測地線である。 ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• これはG上の標準的な右不変アフィン接続の指数写像です。これは通常、標準的な左不変接続とは異なりますが、どちらの接続も同じ測地線（左乗法または右乗法で作用する1パラメータ部分群の軌道）を持つため、同じ指数写像を与えます。
• リー群とリー代数の対応は次のように定義される： に対して、写像はリー代数準同型 に対応する唯一のリー群準同型であり、 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\to G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\mapsto tX.}$
• 指数写像は微分方程式 によって特徴付けられる．ここで右辺は の並進写像を用いる．1次元の場合，これは と等価である． ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\exp(tX)=\exp(tX)\cdot X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G\to T_{g}G,\ X\mapsto g\cdot X}$ ${\displaystyle g=\exp(tX)}$ ${\displaystyle \exp '(x)=\exp(x)}$

例

• 複素平面上の 0 を中心とする単位円はリー群（円群と呼ばれる）であり、その 1 における接空間は複素平面上の虚数直線と同一視できる。このリー群の指数写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}$

つまり、通常の複素指数と同じ式です。

• より一般的には、複素トーラス^{[1] :8} の階数の整格子（つまり と同型）に対して、トーラスは普遍被覆写像を備えている。 ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\to X}$

格子による商から得られる。は複素多様体として局所的に同型なので、接空間と同一視でき、写像は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}X}$

${\displaystyle \pi :T_{0}X\to X}$

は複素リー群の指数写像に対応する。 ${\displaystyle X}$

• 四元数 において、単位長さの四元数の集合はリー群（特殊ユニタリ群SU (2)と同型）を形成し、その1における接空間は純虚四元数の空間と同一視できる。このリー群の指数写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle \mathbf {w} :=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)1+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}$

この写像は、純虚数四元数の内部にある半径Rの2次元球面を、半径 の2次元球面（パウリベクトル の指数関数を参照）に写像します。これを上記の最初の例と比較してください。 ${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}}$ ${\displaystyle \sin(R)}$

• Vを有限次元実ベクトル空間とし、ベクトル加法の作用素の下でリー群として扱う。Vと0における接空間との同一視、および指数写像によって、 ${\displaystyle \operatorname {Lie} (V)=V}$

${\displaystyle \operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V}$

は恒等写像、つまり です。 ${\displaystyle \exp(v)=v}$

• 分割複素数平面において、指数写像は次のように与えられるので、虚数直線は単位双曲線群のリー代数を形成する。 ${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$ ${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$

${\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}$

プロパティ

指数関数の基本的性質

すべての に対して、写像は の唯一の1パラメータ部分群であり、その恒等点における接ベクトルは である。したがって、次のようになる。 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp(tX)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \exp((t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)\,}$
• ${\displaystyle \exp(-X)=\exp(X)^{-1}.\,}$

より一般的には：

• ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad {\text{if }}[X,Y]=0}$. ^[2]

前述の恒等式は一般には成り立ちません。と が交換可能であるという仮定が重要です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

指数写像の像は常にの単位元に存在します。 ${\displaystyle G}$

恒等関数に近い指数関数

指数写像は滑らかな写像である。その零点における微分 は恒等写像である（通常の同値関係による）。 ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$ ${\displaystyle \exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

逆関数定理から、指数写像はにおける 0 のある近傍から における1 の近傍への微分同相写像に制限されることがわかる。^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Gが連結であれば、 Gのどの元gもが元の指数の積であることを示すのは難しくない：^[4]。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g=\exp(X_{1})\exp(X_{2})\cdots \exp(X_{n}),\quad X_{j}\in {\mathfrak {g}}}$

大域的には、指数写像は必ずしも射影的ではない。さらに、指数写像はすべての点で局所微分同相写像とは限らない。例えば、(3)からSO(3)への指数写像は局所微分同相写像ではない。この誤りについてはカットローカスも参照のこと。詳細については指数写像の微分を参照のこと。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

指数関数の射影性

これらの重要な特殊なケースでは、指数写像は常に射影的であることが知られています。

• Gは連結かつコンパクトである。^[5]
• Gは連結かつ冪零である（例えば、Gは連結かつ可換である）、または
• ${\displaystyle G=GL_{n}(\mathbb {C} )}$. ^[6]

上記の条件をいずれも満たさないグループの場合、指数写像は射影的である場合もそうでない場合もあります。

連結だが非コンパクト群SL ₂ ( R )の指数写像の像は群全体ではない。その像は、正または法1の固有値を持つC対角化可能な行列と、1の固有値が重なる対角化不可能な行列、そして行列から構成される。（したがって、 を除く、負の実固有値を持つ行列は像から除外される。）^[7] ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle -I}$

指数写像と準同型写像

をリー群準同型とし、をその恒等微分とする。このとき、次の図式は可換である：^[8] ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$

特に、リー群の随伴作用に適用すると、 なので、次の有用な恒等式が得られる: ^[9] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{*}=\operatorname {ad} }$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm {ad} _{X})(Y)=Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots }$。

対数座標

リー代数 を持つリー群が与えられたとき、の基底の各選択は、以下のようにGの単位元e近傍の座標系を決定する。逆写像定理により、指数写像は原点のある近傍から の近傍への微分同相写像である。その逆写像は： ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :N{\overset {\sim }{\to }}U}$ ${\displaystyle N\subset {\mathfrak {g}}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e\in G}$

${\displaystyle \log :U{\overset {\sim }{\to }}N\subset \mathbb {R} ^{n}}$

はU上の座標系です。対数座標、指数座標、正規座標など、様々な名前で呼ばれます。これらの応用例については、閉部分群定理を参照してください。

注: 開被覆はGに実解析多様体構造を与え、群演算は実解析的となる。^[10] ${\displaystyle \{Ug|g\in G\}}$ ${\displaystyle (g,h)\mapsto gh^{-1}}$

参照

• 指数関数トピックのリスト
• 指数写像の微分
• 行列指数

引用

1. Birkenhake, Christina (2004). Complex Abelian Varieties . Herbert Lange (第2版, augmented ed.). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC  851380558。
2. これはベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式に従う。
3. ホール 2015 系 3.44
4. ホール 2015 系 3.47
5. ホール 2015 補論 11.10
6. ホール 2015 演習 2.9 および 2.10
7. ホール 2015 演習 3.22
8. ホール 2015 定理 3.28
9. ホール 2015 提案 3.35
10. 小林・野水 1996, p. 43.

引用文献

• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-3319134666。
• ヘルガソン、シグルドゥル (2001)、「微分幾何学、リー群、対称空間」、数学大学院研究、第34巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2848-9、MR  1834454。
• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3。
• 「指数写像」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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