特性法

Technique for solving hyperbolic partial differential equations

数学において、特性曲線法（せいぎょうほう）とは、特定の偏微分方程式を解く手法である。典型的には1階方程式に適用されるが、一般的には双曲型偏微分方程式や放物型偏微分方程式にも特性曲線が見られる。この手法は、偏微分方程式（PDE）を常微分方程式（ODE）の族に縮約し、適切な超曲面上に与えられた初期データから、その族に沿って解を積分するものである。

1階偏微分方程式の特徴

1階偏微分方程式の場合、特性曲線法は、偏微分方程式が常微分方程式になる特性曲線と呼ばれるものを見つけます。 ^{[1] [2]}常微分方程式が見つかったら、それを特性曲線に沿って解き、元の偏微分方程式の解に変換することができます。

2次元準線型偏微分方程式

簡単のため、まずは2つの独立変数xとyの関数の場合に注目する。^[3]の形の準線型偏微分方程式を考える。

${\displaystyle a(x,y,u){\frac {\partial u}{\partial x}}+b(x,y,u){\frac {\partial u}{\partial y}}=c(x,y,u).}$

1

微分可能関数uのグラフを考えます。uは集合 Aの法線ベクトルであり、 ^[4]で与えられます。 ${\displaystyle (x,y)\mapsto u(x,y)}$ $${\displaystyle \operatorname {gph} (u)=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z=u(x,y)\}}$$ ${\displaystyle \operatorname {gph} (u)}$

$${\displaystyle n(x,y)=\left({\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y),-1\right).}$$

ベクトル場を考えてみよう

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{bmatrix}a(x,y,z)\\b(x,y,z)\\c(x,y,z)\end{bmatrix}}.}$

2

ベクトル場（２ ）と各法線ベクトルのドット積は、 ${\displaystyle \operatorname {gph} (u)}$ ${\displaystyle (x,y,u(x,y))\in \operatorname {gph} (u)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}(x,y)\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}(x,y)\\-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\\b{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\\c{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\end{bmatrix}}=a{\big (}x,y,u(x,y){\big )}{\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)+b{\big (}x,y,u(x,y){\big )}{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y)-c{\big (}x,y,u(x,y){\big )}.}$$

上記の式の右辺を（1）と比較すると、次の式が同等であることがわかります。

• 上記の式の右辺はゼロです。
• ${\displaystyle u}$は（ １）の解である。
• ベクトル場（２ ）は、あらゆる点においての法線ベクトルに直交する。 ${\displaystyle \operatorname {gph} (u)}$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \operatorname {gph} (u)}$
• ベクトル場（２ ）はどの点においても曲面に接する。 ${\displaystyle \operatorname {gph} (u)}$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \operatorname {gph} (u)}$

言い換えれば、( 1 )の解のグラフはベクトル場( 2 )の積分曲線の和集合である。各積分曲線は偏微分方程式( 1 )の特性曲線と呼ばれ、特性方程式の解として次式で表される。^[3]

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\dfrac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\[4pt]{\dfrac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\[4pt]{\dfrac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}\right.}$$

ラグランジュ・シャルピ方程式のパラメータ化不変形は次の通りである: ^[5]

${\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.}$

N次元線形および準線形偏微分方程式

例:境界条件付きの方程式の解は、境界条件セットを通るすべての特性曲線を描くことによって得られます。 ${\displaystyle yu_{x}-xu_{y}-e^{u}=0}$ ${\displaystyle \{(x,y,u)=(s,\sin s,0):s\in \mathbb {R} \}}$

ここで、次のような形の偏微分方程式を考える。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}$

この偏微分方程式が線型であるためには、係数a _{i は}空間変数のみの関数であり、uとは独立している必要がある。一方、この偏微分方程式が準線型であるためには、^[6] a _{i は}関数の値にも依存するが、導関数には依存しない必要がある。この2つのケースの区別は、ここでの議論においては重要ではない。

線形または準線形偏微分方程式の場合、特性曲線は次のようにパラメトリックに与えられる。

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},u)=(X_{1}(s),\dots ,X_{n}(s),U(s))}$

${\displaystyle u(\mathbf {X} (s))=U(s)}$

次の常微分方程式系を満たす、実数1変数の一変数関数について ${\displaystyle s\mapsto (X_{i}(s))_{i},U(s)}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle X_{i}'=a_{i}(X_{1},\dots ,X_{n},U){\text{ for }}i=1,\dotsc ,n}$

4

${\displaystyle U'=c(X_{1},\dots ,X_{n},U).}$

5

式( 4 )と式( 5 )はPDEの特性を与える。

準線型の場合の証明

準線型の場合、特性曲線法の使用はグロンヴァルの不等式によって正当化される。上記の式は次のように書ける。 $${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}$$ 常微分方程式の解と偏微分方程式の解を区別する必要がある。これらは事前に等しいとは限らない。大文字を常微分方程式の解とすると、 $${\displaystyle \mathbf {X} '(s)=\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))}$$ $${\displaystyle U'(s)=c(\mathbf {X} (s),U(s))}$$ を調べてみると、同じもの を区別すると、 ${\displaystyle \Delta (s)=|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}}$ $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {X} '(s)\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-U'(s){\Big )}}$$ $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s)){\Big )}}$$ PDE では、この関係が 、 に対して満たされることしか保証されておらず、 についてはまだわかっていないため、期待どおりに上記が 0 であると結論付けることはできません。 ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}$ ${\displaystyle U(s)=u(\mathbf {X} (s))}$ しかし、偏微分方程式によれば、最後の項は0であることがわかります。 これは次の式に等しくなります。 $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s))-{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}}$$ $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-{\big (}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}}$$ 三角不等式により、 $${\displaystyle |\Delta '(s)|\leq 2{\big |}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big |}{\Big (}{\big \|}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big \|}\ \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|+{\big |}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big |}{\Big )}}$$ が少なくとも であると仮定すると、これを小さい時間について有界化できます。が局所的にリプシッツとなるような十分小さい の周りの近傍を選択します。連続により、は十分小さい に対して のままになります。 であるため、連続により、 が十分小さい に対してになることもわかります。したがって、に対して、およびになります。さらに、コンパクト性により、 のあるに対してが成り立ちます。このことから、上記は、ある に対してとして有界であることがわかります。この不等式が成り立つ限り、 に対して となるため、 であることはグロンヴァルの不等式を直接適用して示せます。この区間でとなるような区間があります。これが真となる最大の を選択します。すると、連続により となります。 の後のある区間で常微分方程式がまだ解を持つという条件で、上記の議論を繰り返して、より大きな区間で となることを見つけることができます。したがって、常微分方程式に解がある限り、 が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbf {a} ,c}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {X} (0),U(0)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,c}$ ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle U(0)=u(\mathbf {X} (0))}$ ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))\in \Omega }$ ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\in \Omega }$ ${\displaystyle s\in [0,s_{0}]}$ ${\displaystyle \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|\leq M}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\in [0,s_{0}]}$ $${\displaystyle |\Delta '(s)|\leq C|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}=C|\Delta (s)|}$$ ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta (0)=0}$ ${\displaystyle \Delta (s)=0}$ ${\displaystyle [0,\varepsilon )}$ ${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle U(\varepsilon )=u(\mathbf {X} (\varepsilon ))}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$ ${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$

完全非線形偏微分方程式

偏微分方程式を考えてみましょう

${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0}$

6

ここで変数p _iは偏微分を表す略語である。

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.}$

R ²ⁿ⁺¹内の曲線を u とする。uは任意の解であり、 ${\displaystyle s\mapsto (x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s),p_{1}(s),\dots ,p_{n}(s))}$

${\displaystyle u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).}$

およびのに関する導関数はそれぞれ、およびと表される。解に沿って、( 6 )をsについて微分すると^[7]が得られる。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{i},}$ ${\displaystyle {\dot {u}},}$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{i},}$

${\displaystyle \sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0}$

${\displaystyle {\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0}$

${\displaystyle \sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.}$

2番目の方程式は連鎖律を解uに適用することで得られ、3番目の方程式は関係式の外微分を取ることで得られる。これらの方程式を操作すると、 ${\displaystyle du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\dot {x}}_{i}&=\lambda F_{p_{i}},\\[5pt]{\dot {p}}_{i}&=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\\[5pt]{\dot {u}}&=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}\end{aligned}}\right.}$$

ここでλは定数である。これらの式をより対称的に書き表すと、特性関数

${\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.}$

幾何学的には、完全に非線形の場合の特性法は、微分方程式のモンジュ円錐がどこでも解のグラフに接する必要があることを要求するものとして解釈できます。

例

例として、移流方程式を考えてみましょう(この例では、PDE 表記法と基本的な ODE の解法に精通していることを前提としています)。

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

ここでは定数、はとの関数である。この一次線形偏微分方程式を適切な曲線に沿った常微分方程式、すなわち次のような形に変換したい。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),}$

ここで特性直線は ${\displaystyle (x(s),t(s))}$

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}$

連鎖律によって。そして、設定すると ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$ ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

これは私たちが最初に扱った偏微分方程式の左辺です。つまり

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}$

したがって、特性線に沿って、元の偏微分方程式は常微分方程式になります。つまり、特性線に沿って解は一定です。したがって、とは同じ特性線上に存在します。したがって、一般解を求めるには、常微分方程式の特性系を解くことで特性を求めるだけで十分です。 ${\displaystyle (x(s),t(s))}$ ${\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}$ ${\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}$ ${\displaystyle (x_{s},t_{s})\,}$ ${\displaystyle (x_{0},0)}$

• ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$、私たちに知らせて、 ${\displaystyle t(0)=0}$ ${\displaystyle t=s}$
• ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$、私たちに知らせて、 ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}}$
• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$、私たちに知らせます。 ${\displaystyle u(0)=f(x_{0})}$ ${\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}$

この場合、特性線は傾き の直線であり、 の値はどの特性線に沿っても一定のままです。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$

線形微分演算子の特性

Xを微分可能多様体、Pを線型微分作用素とする

${\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}$

k次。局所座標系x ⁱにおいて、

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}$

ここでαは多重指数を表す。Pの主記号σPは、これらの局所座標において定義される余接束T ^∗ X上の関数である_。

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}$

ここで、ξ _iは座標微分dx ⁱによって誘導される余接束上のファイバー座標である。これは特定の座標系を用いて定義されるが、 ξ _iとx ⁱを関連付ける変換則により、σ _{P は}余接束上の明確に定義された関数となる。

関数σ _Pはξ変数に関してk次同次である。 σ _Pの零点は T ^∗ Xの零点から離れたところにあり、 Pの特性である。方程式F ( x ) =  cで定義されるXの超曲面は、 xにおける特性超曲面と呼ばれる。

${\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0.}$

不変的に、特性超曲面は、その共法線束がPの特性集合に含まれる超曲面です。

特性の定性分析

特性は、PDE に関する定性的な洞察を得るための強力なツールでもあります。

圧縮性流体におけるポテンシャル流の衝撃波を求めるには、特性曲線の交差を利用することができる。直感的には、各特性曲線はそれ自身に沿った の解を示唆していると考えることができる。したがって、2つの特性曲線が交差する場合、関数は多値となり、非物理的な解が得られる。物理的には、この矛盾は衝撃波、接線不連続、または弱い不連続の形成によって解消され、結果として非ポテンシャル流が生じ、当初の仮定に反する。^[8] ${\displaystyle u}$

特性は偏微分方程式の領域の一部をカバーできない場合があります。これは希薄化と呼ばれ、解が典型的には弱い、すなわち積分方程式の意味でのみ存在することを示します。

特性線の方向は、上記の例が示すように、解を通る値の流れを示しています。このような知識は、偏微分方程式を数値的に解く際に役立ちます。なぜなら、どの差分法が問題に最適であるか を判断できるからです。

参照

• 量子特性法

注記

1. Zachmanoglou & Thoe、1986 年、112–152 ページ。
2. ピンチョーバー＆ルービンスタイン 2005年、25～28頁。
3. John 1991、9ページ。
4. ザウダーラー 2006、82ページ。
5. デミドフ、1982 年、331–333 ページ。
6. 「偏微分方程式 (PDE) - Wolfram 言語ドキュメント」。
7. ジョン1991、19–24ページ。
8. デブナス、ロケナス（2005年）「保存則と衝撃波」、科学者とエンジニアのための非線形偏微分方程式（第2版）、ボストン：ビルクハウザー、pp.  251– 276、ISBN 0-8176-4323-0

参考文献

• クーラント、リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド（1962年）、数理物理学の方法、第2巻、ワイリー・インターサイエンス
• デミドフ, SS (1982). 「18世紀および19世紀における一階偏微分方程式の研究」.正確科学史アーカイブ. 26 (4). Springer Science and Business Media LLC: 325–350 . doi : 10.1007 /bf00418753. ISSN  0003-9519.
• エヴァンス、ローレンス C. (1998)、偏微分方程式、プロビデンス：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0772-2
• ジョン・フリッツ（1991年）『偏微分方程式』（第4版）ニューヨーク：シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディアISBN 978-0-387-90609-6。
• ザウダーラー、エリック（2006）『応用数学の偏微分方程式』Wiley. doi : 10.1002/9781118033302 . ISBN 978-0-471-69073-3。*ポリアニン、AD; ザイツェフ、VF; ムッシオー、A. (2002)、第1階偏微分方程式ハンドブック、ロンドン：テイラー＆フランシス、ISBN 0-415-27267-X
• ピンチョーバー、イェフダ、ルービンシュタイン、ジェイコブ (2005). 『偏微分方程式入門』 ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/cbo9780511801228. ISBN 978-0-511-80122-8。
• ポリアニン、AD（2002）、エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック、ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRCプレス、ISBN 1-58488-299-9
• サラ、スコット（2003）「特性法と保存則への応用」オンライン数学とその応用ジャーナル
• ストリーター、VL; ワイリー、EB (1998)、『流体力学（国際版第9版）』、マグロウヒル高等教育
• ザクマノグル, EC; トー, デール W. (1986). 『偏微分方程式入門とその応用』ニューヨーク: クーリエ・コーポレーション. ISBN 0-486-65251-3。

外部リンク

• スコット・サラ教授による特性法のチュートリアル
• アラン・フッド教授による特性法のチュートリアル

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Method_of_characteristics&oldid=1317947977"