アーベル群

Commutative group (mathematics)

数学において、アーベル群（アーベルぐん、英: Abelian group）は可換群とも呼ばれ、 2つの群元に群演算を施した結果が、それらの書き順に依存しない群である。つまり、群演算は可換である。加算を演算として用いると、整数と実数はアーベル群を形成し、アーベル群の概念はこれらの例の一般化と見なすことができる。アーベル群は、ノルウェーの数学者ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられている。^[1]

アーベル群の概念は、体、環、ベクトル空間、代数といった多くの基本的な代数構造の基礎となっています。アーベル群の理論は、非アーベル群の理論よりも一般的に単純であり、有限アーベル群は非常によく理解され、完全に分類されています。

意味

アーベル群とは、 の任意の2つの元と を組み合わせて で示されるの別の元を形成する演算･ を伴う集合 である。記号 ･ は、具体的に与えられた演算の一般的な代替手段である。アーベル群としての資格を得るには、集合と演算 がアーベル群公理として知られる4つの要件を満たしていなければならない（著者によっては、演算の定義に属するいくつかの特性、すなわち、演算がAの任意の順序付き元のペアに対して定義されていること、結果が として定義されていること、結果がAに属していることを公理に含めることもある）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$

結合性

のすべての、、 に対して、この式が成り立ちます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

アイデンティティ要素

には、のすべての要素に対して次の式が成り立つような要素が存在します。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

逆要素

の各 に対して、となる の元が存在し、ここでは単位元です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

可換性

すべての について、では、です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

群演算が可換でない群は「非可換群」または「非可換群」と呼ばれる。^[2]

事実

表記

アーベル群には、加法と乗法という 2 つの主な表記規則があります。

大会	手術	身元	パワーズ	逆
追加	${\displaystyle x+y}$	0	${\displaystyle nx}$	${\displaystyle -x}$
乗算	${\displaystyle x\cdot y}$または ${\displaystyle xy}$	1	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle x^{-1}}$

一般的に、群では乗法表記が通常の表記法であり、加法表記は加法群と加群環で通常の表記法である。加法表記は、アーベル群と非アーベル群の両方が考慮される際に、特定の群がアーベル群であることを強調するためにも使用される。ただし、近環群と半順序群は例外であり、これらの群では非アーベル群であっても演算が加法的に記述される。^{[3] [4]}

掛け算表

有限群がアーベル群であることを確認するために、ケイリー表と呼ばれる表（行列）を掛け算表と同様の方法で作成することができます。^[5]群が演算 の下にある場合、この表の番目の要素には積 が含まれます。 ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$

群がアーベル群であるための必要十分条件は、この表が主対角線に関して対称であることである。つまり、すべての に対して、表の要素が の要素に等しいということである。実際、この等式は ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (j,i)}$ ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}.}$

例

• 整数と演算加算 ( と表記)の場合、演算 + は任意の 2 つの整数を組み合わせて 3 番目の整数を形成し、加算は結合法則に従い、ゼロは加法の単位元であり、すべての整数には加法の逆元、があり、任意の 2 つの整数 と に対してであるため、加算演算は可換です。 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n+m=m+n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$
• すべての巡回群 はアーベル群である。なぜなら、 、が に属する場合、 となるからである。したがって、整数、、は加法に関してアーベル群を形成し、 、 を法とする整数も同様である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• 任意の環は、その加法演算に関してアーベル群である。可換環において、可逆元、すなわち単位元はアーベル乗法群を形成する。特に、実数は加法に関してアーベル群であり、非零実数は乗法に関してアーベル群である。
• アーベル群のすべての部分群は正規群なので、各部分群から商群が生まれます。アーベル群の部分群、商群、直和もまたアーベル群です。有限単純アーベル群は、まさに素数位数の巡回 群です。^[6]
• アーベル群と-加群の概念は一致しています。より具体的には、すべての- 加群は加法を伴うアーベル群であり、すべてのアーベル群は一意に整数環上の加群となります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

一般に、行列は、たとえ可逆行列であっても、乗法に関してアーベル群を形成しません。これは、行列の乗法が一般に可換ではないためです。しかし、行列のいくつかの群は、行列の乗法に関してアーベル群を形成します。一例として、回転行列の群が挙げられます。 ${\displaystyle 2\times 2}$

歴史的考察

カミーユ・ジョーダンは、ノルウェーの 数学者 ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんでアーベル群と名付けました。アーベルは、多項式群の可換性は、多項式の根が根号を用いて計算できることを意味することを発見しました。^{[7] [8]}

プロパティ

が自然数であり、が加法的に書かれたアーベル群の元である場合、 は（被加数）および と定義できます。このように、は整数環上の加群となります。実際、 上の加群はアーベル群と同一視できます。^[9] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle nx}$ ${\displaystyle x+x+\cdots +x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

アーベル群（すなわち、主イデアル領域上の加群）に関する定理は、任意の主イデアル領域 上の加群に関する定理に一般化できることが多い。典型的な例は、主イデアル領域 上の有限生成加群の構造定理の特殊化である有限生成アーベル群の分類である。有限生成アーベル群の場合、この定理は、アーベル群が捩れ群と自由アーベル群の直和として分割されることを保証する。前者は、素数に対する の形の有限個の群の直和として書くことができ、後者は の有限個コピーの直和である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

がアーベル群間の2つの群準同型である場合、によって定義されるそれらの和もやはり準同型です。 （ が非アーベル群の場合は、これは真ではありません。）したがって、 からまでのすべての群準同型全体の集合は、それ自体がアーベル群です。 ${\displaystyle f,g:G\to H}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

ベクトル空間の次元に似ていますが、すべてのアーベル群は階数を持ちます。これは、群の（整数上で）線型独立な元の集合の最大濃度として定義されます。 ^[10]有限アーベル群と捩れ群は階数ゼロで、階数ゼロのすべてのアーベル群は捩れ群です。整数と有理数は階数1であり、有理数の非零加法部分群もすべて階数1です。一方、非零有理数の乗法群は、素数の集合を基底とする自由アーベル群であるため、無限階数を持ちます（これは算術の基本定理から生じます）。

群の中心と は、 の全ての元と可換な元の集合である。群がアーベル群となるのは、その中心 と等しい場合のみである。群の中心は常にの特性アーベル部分群である。群をその中心で割った商群が巡回群である場合、はアーベル群となる。^[11] ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/Z(G)}$ ${\displaystyle G}$

有限アーベル群

, を法とする整数 ${\displaystyle n}$の巡回群は、群の最初の例の一つであった。任意の有限アーベル群は、素数冪位数の有限巡回群の直和と同型であり、これらの位数は一意に決定され、完全な不変量系を形成することが判明している。有限アーベル群の自己同型群は、これらの不変量を用いて直接記述することができる。この理論は、1879年のゲオルク・フロベニウスとルートヴィヒ・スティッケルベルガーの論文で初めて展開され、後に主イデアル領域上の有限生成加群へと簡略化・一般化され、線型代数の重要な章を形成した。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

素数位数の任意の群は巡回群と同型であり、したがってアーベル群である。位数が素数の平方である任意の群もアーベル群である。^[12]実際、任意の素数に対して（同型を除いて）位数 の群がちょうど2つ存在し、すなわち と である。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$

分類

有限アーベル群の基本定理は、すべての有限アーベル群は素数-べき位数の巡回部分群の直和として表すことができることを述べています。これは有限アーベル群の基底定理としても知られています。さらに、巡回群の自己同型群はアーベル群の例です。^{[13]これは}有限生成アーベル群の基本定理によって一般化され、有限群はGがゼロランクを持つ特別な場合です。これにより、さらに多くの一般化が可能になります。 ${\displaystyle G}$

この分類は1870 年にレオポルド クロネッカーによって証明されましたが、現代の群論用語で述べられたのはもっと後のことであり、その前に1801 年にカール フリードリヒ ガウスによる二次形式の同様の分類がありました。詳細については歴史を参照してください。

位数の巡回群がとの直和に同型となるのは、とが互いに素である場合に限ります。したがって、任意の有限アーベル群はの形の直和に同型となります 。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}}$

次のいずれかの標準的な方法で:

• 数は（必ずしも異なるとは限らない）素数の累乗である。 ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$
• または で割り切れば、 は で割り切れ、などとなり、 まで続きます。 ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}}$ ${\displaystyle k_{u}}$

例えば、は位数3と位数5の2つの巡回部分群の直和として表すことができます。 同じことは位数15の任意のアーベル群にも当てはまり、位数15のすべてのアーベル群はと同型であるという注目すべき結論が導き出されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$

別の例として、位数 8 のすべてのアーベル群は、（8 を法とした加算における 0 から 7 の整数）、（16 を法とした乗算における 1 から 15 の奇数の整数）、 のいずれかと同型です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$

位数 30 以下の有限アーベル群については小群のリストも参照してください。

自己同型

基本定理を適用して、与えられた有限アーベル群の自己同型を数える（場合によっては決定する）ことができる。これを行うには、が互いに素な位数の部分群の直和として分解される場合、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\oplus K}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).}$

これを踏まえると、基本定理は、 の自己同型群を計算するには、シロー部分群の自己同型群（つまり、それぞれ の位数が のべき乗である巡回部分群のすべての直和）を個別に計算すれば十分であることを示しています。素数を固定し、シロー部分群の巡回因子の指数が昇順に並んでいると仮定します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$

に対して、自己同型性を見つける必要がある。 ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.}$

特別な場合の一つは のときであり、その場合シロー部分群には巡回素数冪因子は一つだけ存在する。この場合、有限巡回群の自己同型論を用いることができる。もう一つの特別な場合として、が任意であるがのときは となる。ここでは が以下の形式であると する。 ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{i}=1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},}$

したがって、この部分群の元は、有限体の元次元のベクトル空間を構成すると見ることができる。したがって、この部分群の自己同型は可逆な線型変換によって与えられるので、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),}$

ここでは適切な一般線型群である。これは簡単に次数を持つことが示される。 ${\displaystyle \mathrm {GL} }$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).}$

最も一般的な場合、つまりとが任意である場合、自己同型群の決定はより困難になる。しかしながら、 ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

そして

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

すると、特に、、および ${\displaystyle k\leq d_{k}}$ ${\displaystyle c_{k}\leq k}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$

これにより、前の例の順序が特別なケースとして生成されることを確認できます (Hillar & Rhea を参照)。

有限生成アーベル群

アーベル群Aが有限生成であるとは、群のすべての要素がGの要素の整数係数を持つ線形結合であるような有限の要素集合 (生成元と呼ばれる)を含む場合です。 ${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$

Lを基底とする自由アーベル群とする。群準同型が 唯一存在し、 ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$ ${\displaystyle p\colon L\to A,}$

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

この準同型は射影的であり、その核は有限生成である（整数はネーター環を形成するため）。j列目の要素が核のj番目の生成元の係数となるような整数要素を持つ行列Mを考える。すると、アーベル群はMによって定義される線型写像の余核と同型になる。逆に、すべての整数行列は有限生成アーベル群を定義する。

したがって、有限生成アーベル群の研究は整数行列の研究と完全に等価である。特に、Aの生成集合を変えることは、 Mの左側にユニモジュラ行列（つまり、逆行列も整数行列となる可逆整数行列）を乗じることと等価である。M の核の生成集合を変えることは、Mの右側にユニモジュラ行列を乗じることと等価である。

Mのスミス正規形は行列である

${\displaystyle S=UMV,}$

ここで、UとVはユニモジュラ行列であり、Sはすべての非対角成分がゼロとなる行列であり、非ゼロの対角成分が最初のものであり、i > jに対して⁠ ⁠ ${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$は⁠ ${\displaystyle d_{j,j}}$⁠ ${\displaystyle d_{i,i}}$の約数である。スミス正規形の存在と形状は、有限生成アーベル群Aが直和であることを証明している。

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$

ここで、rはSの底部の零行の数（および群の階数）である。これは有限生成アーベル群の基本定理である。

スミス正規形のアルゴリズムの存在は、有限生成アーベル群の基本定理が抽象的な存在の定理であるだけでなく、有限生成アーベル群の表現を直和として計算する方法も提供していることを示しています。^[14]

無限アーベル群

最も単純な無限アーベル群は無限巡回群 である。任意の有限生成アーベル群はのコピーの直和と有限アーベル群に同型であり、有限アーベル群は素数冪位数の有限個の巡回群の直和に分解可能である。この分解は一意ではないが、の階数と呼ばれる数と、有限巡回加数の位数を与える素数冪は一意に決定される。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

対照的に、一般の無限生成アーベル群の分類は完全には程遠い。可分群、すなわち方程式がの任意の自然数と元に対して解を持つアーベル群は、完全に特徴付けることができる無限アーベル群の重要なクラスの 1 つを構成する。すべての可分群は直和に同型であり、加数はさまざまな素数 に対して、プリューファー群と同型であり、各タイプの加数の集合の濃度は一意に決定される。^[15]さらに、可分群がアーベル群の部分群である場合、 は直補、つまり となるの部分群を持つ。したがって、可分群はアーベル群のカテゴリにおける入射加群であり、逆に、すべての入射アーベル群は可分である ( Baer の条件)。非ゼロの可分部分群を持たないアーベル群は、被約と呼ばれる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle nx=a}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=A\oplus C}$

正反対の性質を持つ無限アーベル群の 2 つの重要な特殊クラスは、捩れ群と捩れのない群であり、例として(周期的)群と(捩れのない) 群が挙げられます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ねじれ群

アーベル群は、すべての要素が有限位数を持つ場合、周期群または捩れ群と呼ばれます。有限巡回群の直和は周期的です。逆の命題は一般には成り立ちませんが、いくつかの特殊なケースが知られています。第 1 および第 2 のプリューファーの定理によれば、が周期群であり、ある自然数 に対して、つまり という有界指数を持つか、または可算であり、の要素の-高さが各 に対して有限である場合、 は有限巡回群の直和に同型です。^[16]このような分解で に 同型な直和対象の集合の濃度は、の不変量です。^{[17]これらの定理は後に}クリコフの基準に取り入れられました。異なる方向では、ヘルムート・ウルムは第二プリューファー定理の無限高の元を持つ可算アーベル群への拡張を発見した。これらの群はウルム不変量によって完全に分類される。^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle nA=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$

ねじれのない混合グループ

アーベル群は、すべての非零元が無限位数を持つとき、捩れのない群と呼ばれます。捩れのないアーベル群のいくつかのクラスが広く研究されてきました。

• 自由アーベル群、すなわち任意の直和 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 共捩れと代数的にコンパクトな捩れのない群、例えば-進整数 ${\displaystyle p}$
• 細長いグループ^[19]

周期群でも捩れのない群でもないアーベル群は混合群と呼ばれる。 がアーベル群で、 がその捩れのない部分群である場合、因子群は 捩れのない群である。しかし、一般に捩れのない部分群は の直和項ではないため、 と 同型ではない。したがって、混合群の理論は、単に周期群と捩れのない群に関する結果を統合する以上のものを含む。整数の加法群は捩れのない -加群である。^[20] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A/T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

不変量と分類

無限アーベル群の最も基本的な不変量の1つは、その階数、すなわち の最大の線型独立部分集合の濃度です。階数0のアーベル群はまさに周期群であり、階数1の捩れのないアーベル群は必然的に の部分群であり、完全に記述できます。より一般的には、有限階数の捩れのないアーベル群はの部分群です。一方、-進整数の群は無限階数の捩れのないアーベル群であり、が異なる群は同型ではないため、この不変量はいくつかのよく知られた群の特性を完全には捉えていません。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{r}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

上で説明した有限生成群、可分群、可算周期群、階数1の捩れのないアーベル群の分類定理はすべて1950年以前に得られたもので、より一般的な無限アーベル群の分類の基礎となっています。無限アーベル群の分類に用いられる重要な技術的ツールは、純粋部分群と基本部分群です。捩れのないアーベル群の様々な不変量の導入は、さらなる進歩への道の一つとなっています。より最近の知見については、 Irving Kaplansky、László Fuchs、Phillip Griffith、David Arnoldの著書、およびLecture Notes in Mathematicsに掲載されたアーベル群論に関する会議録を参照してください。

環の加法群

環の加法群はアーベル群であるが、すべてのアーベル群が（非自明な乗法を持つ）環の加法群であるわけではない。この研究分野における重要なトピックには以下が含まれる。

• テンソル積
• ALSコーナーによる可算なねじれのない群に関する結果
• シェラの基数制限の除去に関する研究
• バーンサイドリング

他の数学のトピックとの関係

多くの大きなアーベル群は自然な位相を持ち、それによって位相群になります。

すべてのアーベル群の集合と、それらの間の準同型性は、アーベル範疇の原型である範疇 を形成します。 ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

ワンダ・シュミエルフ （1955）は、アーベル群の一階理論は、非アーベル群とは異なり、決定可能であることを証明した。ブール代数以外のほとんどの代数構造は決定不可能である。

現在も研究が続けられている分野は数多くあります。

• 有限階数の捩れのないアーベル群のうち、有限生成の場合と階数 1 の場合だけがよく理解されています。
• 無限階数の捩れのないアーベル群の理論には未解決の問題が数多くある。
• 可算な捩れアーベル群は簡単な表現とウルム不変量を通じてよく理解されていますが、可算な混合群の場合はそれほど成熟していません。
• アーベル群の第一階理論の多くの穏やかな拡張は決定不可能であることが知られています。
• 有限アーベル群は計算群論における研究テーマであり続けています。

さらに、驚くべきことに、無限位数のアーベル群は、あらゆる数学の根底にあると一般的に考えられている集合論に関する深い疑問を提起します。ホワイトヘッド問題を例に挙げましょう。無限位数のホワイトヘッド群はすべて自由アーベル群でもあるのでしょうか？ 1970年代、サハロン・シェラはホワイトヘッド問題が以下の通りであることを証明しました。

• ほぼすべての現代数学の源泉となる、従来の公理的集合論であるZFC（ツェルメロ＝フランケル公理​​）では決定不能である。ホワイトヘッド問題は、通常の数学においてZFCで決定不能であることが証明された最初の問題でもある。
• 一般化連続体仮説を公理として採用してZFC を拡張しても決定不可能である。
• ZFC に構成可能性公理が追加されている場合は肯定的に答えられます( L で正しいステートメントを参照)。

タイポグラフィに関するメモ

数学者の固有名詞から派生した数学的形容詞の中で、「アーベル主義者」という言葉は珍しく、大文字の A ではなく小文字の a で綴られることが多い。大文字を使わないことは、アーベルの名前がどれだけ制度化されているかだけでなく、彼が導入した概念が現代数学にどれほど遍在しているかを暗黙のうちに認めていることでもある。^[21]

参照

• 交換子部分群 – 商が交換可能である最小の正規部分群
• アーベル化 – 群をその交換子部分群で割る
• 位数6の二面体群 – 6つの元を持つ非可換群、最小の非可換群
• 基本アーベル群 – すべての非零元が同じ位数を持つ可換群
• グロタンディーク群 – 可換モノイドを拡張したアーベル群
• ポンチャギン双対性 – 局所コンパクトアーベル群の双対性

注記

1. ジェイコブソン（2009）、41頁。
2. Ramík, J.、「ペアワイズ比較法：意思決定における理論と応用」（Cham：Springer Nature Switzerland、2020年）、p.11。
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15. たとえば、. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$
16. 第二プリューファー定理における可算性の仮定は除去できない:すべての自然な巡回群の直積の捩れ部分群は巡回群の直和ではない。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$
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外部リンク

• 「アーベル群」数学百科事典、EMSプレス、2001[1994]。

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