Method for representing and evaluating partial differential equations
有限 体積法 （ FVM ）は、 偏微分方程式を 代数方程式の形で 表現し、評価する方法である。 [1]有限体積法では、 発散 項
を含む偏微分方程式の体積積分は 、 発散定理を用いて 面積分 に変換される 。これらの項は、各有限体積の表面におけるフラックスとして評価される。与えられた体積に入るフラックスは隣接する体積から出るフラックスと同一であるため、これらの方法は 保存的 である。有限体積法のもう一つの利点は、非構造メッシュを考慮に入れて容易に定式化できることである。この方法は、多くの 数値流体力学 パッケージで使用されている。「有限体積」とは、メッシュ上の各節点を取り囲む小さな体積を指す。 [2]
有限体積法は、節点値を用いて導関数を近似する 有限差分法 や、局所データを用いて解の局所近似値を作成し、それらをつなぎ合わせて全体近似値を構築する 有限要素法 と比較対照することができます。一方、有限体積法は、ある体積における解の 平均 値の正確な式を評価し、このデータを用いてセル内の解の近似値を構築します。 [3] [4]
例 単純な 1D 移流 問題を考えてみましょう。
∂ ρ ∂ t + ∂ f ∂ x = 0 , t ≥ 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.} 1
ここで、 は状態変数、は の フラックス または流れ を表す 。慣例的に、正は 右方向の流れ、負は 左方向の流れを表す。式( 1 )が一定面積の流れ媒体を表すと仮定すると、空間領域 を有限体積 、 つまり セル中心を でインデックス付けした セル に分割することができる 。特定のセル について、 時刻 および におけるの 体積平均 値を 次のように 定義できる。 ρ = ρ ( x , t ) {\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)} f = f ( ρ ( x , t ) ) {\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)} ρ {\displaystyle \rho } f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} i {\displaystyle i} i {\displaystyle i} ρ i ( t ) = ρ ( x , t ) {\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)} t = t 1 {\displaystyle {t=t_{1}}} x ∈ [ x i − 1 / 2 , x i + 1 / 2 ] {\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}
ρ ¯ i ( t 1 ) = 1 x i + 1 / 2 − x i − 1 / 2 ∫ x i − 1 / 2 x i + 1 / 2 ρ ( x , t 1 ) d x , {\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,} 2
そして、時には 、 t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}}
ρ ¯ i ( t 2 ) = 1 x i + 1 / 2 − x i − 1 / 2 ∫ x i − 1 / 2 x i + 1 / 2 ρ ( x , t 2 ) d x , {\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,} 3
ここで 、およびは、 それぞれセルの上流および下流の面またはエッジの位置を表します 。 x i − 1 / 2 {\displaystyle x_{i-1/2}} x i + 1 / 2 {\displaystyle x_{i+1/2}} i th {\displaystyle i^{\text{th}}}
式（ １ ）を時間に関して積分すると次のようになる。
ρ ( x , t 2 ) = ρ ( x , t 1 ) − ∫ t 1 t 2 f x ( x , t ) d t , {\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,} 4
どこ 。 f x = ∂ f ∂ x {\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}
時刻 における の体積平均を得るには、 セルの体積について 積分し、 その結果を で割ります 。つまり、 ρ ( x , t ) {\displaystyle \rho \left(x,t\right)} t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} ρ ( x , t 2 ) {\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)} [ x i − 1 / 2 , x i + 1 / 2 ] {\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]} Δ x i = x i + 1 / 2 − x i − 1 / 2 {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}
ρ ¯ i ( t 2 ) = 1 Δ x i ∫ x i − 1 / 2 x i + 1 / 2 { ρ ( x , t 1 ) − ∫ t 1 t 2 f x ( x , t ) d t } d x . {\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.} 5
は適切に振る舞い、積分の順序を逆にできると 仮定します。また、流れはセルの単位面積に垂直であることを思い出してください。ここで、1次元 では 発散定理 を適用できます。つまり、 となり、 を有限体積の セル表面（端 と）で評価した の値を 発散 の体積積分に代入すると、 次のようになります。 f {\displaystyle f\ } f x ≜ ∇ ⋅ f {\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f} ∮ v ∇ ⋅ f d v = ∮ S f d S {\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x i − 1 / 2 {\displaystyle x_{i-1/2}} x i + 1 / 2 {\displaystyle x_{i+1/2}}
ρ ¯ i ( t 2 ) = ρ ¯ i ( t 1 ) − 1 Δ x i ( ∫ t 1 t 2 f i + 1 / 2 d t − ∫ t 1 t 2 f i − 1 / 2 d t ) . {\displaystyle {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+1/2}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-1/2}dt\right).} 6
どこ 。 f i ± 1 / 2 = f ( x i ± 1 / 2 , t ) {\displaystyle f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)}
したがって、セル中心を、セル端のフラックスを として 、( 6 )を時間について微分して以下の式を得ることにより、 上記の問題に対する 半離散 数値スキームを導くことができる。 i {\displaystyle i} i ± 1 / 2 {\displaystyle i\pm 1/2}
d ρ ¯ i d t + 1 Δ x i [ f i + 1 / 2 − f i − 1 / 2 ] = 0 , {\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+1/2}-f_{i-1/2}\right]=0,} 7
ここで、エッジフラックスの値は、 セル平均の 内挿 または 外挿 によって再構成できます。式( 7 )は体積平均に対して 正確 です。つまり、導出の過程で近似は行われていません。 f i ± 1 / 2 {\displaystyle f_{i\pm 1/2}}
この方法は、ノードの周囲の東西面に加えて、北面と南面を考慮することで 2D 状況にも適用できます。
一般保存則 次のような偏微分方程式 で表される 一般 保存則 問題も考えることができる。
∂ u ∂ t + ∇ ⋅ f ( u ) = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.} 8
ここで、 は 状態ベクトルを表し、 は対応する フラックス テンソルを表します。ここでも、空間領域を有限体積、つまりセルに分割することができます。特定のセル について、 セル全体の体積 に対する体積積分 をとると 、次の式が得られます。 u {\displaystyle \mathbf {u} } f {\displaystyle \mathbf {f} } i {\displaystyle i} v i {\displaystyle v_{i}}
∫ v i ∂ u ∂ t d v + ∫ v i ∇ ⋅ f ( u ) d v = 0 . {\displaystyle \int _{v_{i}}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.} 9
最初の項を積分して体積平均 を求め 、 発散定理を 2番目の項に適用すると、次の式が得られる。
v i d u ¯ i d t + ∮ S i f ( u ) ⋅ n d S = 0 , {\displaystyle v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over dt}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },} 10
ここで、は 細胞の全表面積を表し、は表面に垂直で外側を向く単位ベクトルである。したがって、最終的に（ 8 ） と同等の一般的な結果を示すことができる。 S i {\displaystyle S_{i}} n {\displaystyle {\mathbf {n} }}
d u ¯ i d t + 1 v i ∮ S i f ( u ) ⋅ n d S = 0 . {\displaystyle {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.} 11
繰り返しになりますが、エッジフラックスの値は、セル平均値の内挿または外挿によって再構成できます。実際の数値計算手法は、問題の形状とメッシュ構成によって異なります。MUSCL再構成 は 、解に衝撃波や不連続性が存在する 高解像度の計算手法 でよく使用されます。
有限体積法は、セル平均値がエッジフラックスを通じて変化するため、保守的です。言い換えれば、 あるセルの損失は常に別のセルの利得となります 。
参照
参考文献 ^ ルヴェック、ランドール（2002年）。双曲型問題のための有限体積法 。ISBN 9780511791253 。 ^ Wanta, D.; Smolik, WT; Kryszyn, J.; Wróblewski, P.; Midura, M. (2021年10月). 「電気容量トモグラフィーのモデリングにおける四分木非均一構造メッシュを用いた有限体積法」. Proceedings of the National Academy of Sciences, India Section A: Physical Sciences . 92 (3): 443– 452. doi : 10.1007/s40010-021-00748-7 . ^ Fallah, NA; Bailey, C.; Cross, M.; Taylor, GA (2000-06-01). 「幾何学的非線形応力解析における有限要素法と有限体積法の適用の比較」. 応用数学モデリング . 24 (7): 439– 455. doi : 10.1016/S0307-904X(99)00047-5 . ISSN 0307-904X. ^ Ranganayakulu, C. (Chennu) (2018年2月2日). 「第3章 3.1節」. コンパクト熱交換器：FEMおよびCFDアプローチを用いた解析、設計、最適化 . Seetharamu, KN, Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2 . OCLC 1006524487. {{cite book }}: CS1 maint: location missing publisher (link )
さらに読む Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) 有限体積法 『数値解析ハンドブック』第7巻、2000年、p. 713–1020。編集者：PG CiarletおよびJL Lions。 Hirsch, C. (1990)、「 内部流れと外部流れの数値計算、第 2 巻: 非粘性流れと粘性流れの計算方法」 、Wiley。 Laney, Culbert B. (1998)、 「計算ガスダイナミクス」 、ケンブリッジ大学出版局。 LeVeque, Randall (1990)、 「保存則の数値的手法」 、ETH 数学講義シリーズ、Birkhauser-Verlag。 LeVeque, Randall (2002)、 「双曲型問題のための有限体積法」 、ケンブリッジ大学出版局。 Patankar, Suhas V. (1980)、 「数値的熱伝達と流体の流れ」 、Hemisphere。 Tannehill, John C.、他 (1997)、 「計算流体力学および熱伝達 」、第 2 版、Taylor and Francis。 Toro, EF (1999)、 「Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics」 、Springer-Verlag。 Wesseling, Pieter (2001)、 「計算流体力学の原理」 、Springer-Verlag。
外部リンク R. Eymard、T Gallouët、 R. Herbin による有限体積法 、2000年の数値解析ハンドブックに掲載された記事の更新版 Rübenkönig, Oliver. 「有限体積法（FVM）入門」。2009年10月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 GFDL に基づいて利用可能です 。 FiPy: NIST の Python を使用した有限体積 PDE ソルバー。 CLAWPACK: 波動伝播アプローチを用いて双曲型偏微分方程式の数値解を計算するために設計されたソフトウェアパッケージ
![{\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ba289e228b3272e83206ab38c923fe52017705)
![{\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2ed58fccc5748f30731e4c59ef34ca5cea1d57)
![{\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+1/2}-f_{i-1/2}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a429ba99f6c9f91eaef96820da38d5c29aa42713)
