常微分方程式

Differential equation containing derivatives with respect to only one variable

大砲から発射された弾丸の軌道は、ニュートンの第 2 法則から導かれる常微分方程式によって決まる曲線に従います。

数学において、常微分方程式（ODE）は、単一の独立変数のみに依存する微分方程式（DE）である。他のDEと同様に、その未知数は1つ（または複数）の関数で構成され、それらの関数の導関数を含む。^[1]「常微分方程式」という用語は、複数の独立変数について成り立つ偏微分方程式（PDE）と対比して用いられる。[ 2 ]また、^あまり一般的ではないが、進行がランダムな確率微分方程式（SDE）と対比して用いられる。 ^[3]

微分方程式

線型微分方程式は、未知の関数とその導関数の線型多項式によって定義される微分方程式であり、次の形式の 方程式である。

${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,}$

ここで、 と は線形である必要のない任意の微分可能関数であり、 は変数 の未知の関数の連続的な導関数である。^[4] ${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle y',\ldots ,y^{(n)}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

常微分方程式の中でも、線型微分方程式はいくつかの理由から重要な役割を果たします。物理学や応用数学で遭遇するほとんどの基本関数および特殊関数は、線型微分方程式の解です（ホロノミック関数を参照）。物理現象が非線型方程式でモデル化される場合、一般的には線型微分方程式で近似され、解の容易化が図られます。明示的に解ける非線型常微分方程式はごくわずかですが、通常は方程式を等価な線型常微分方程式に変換することで解かれます（例えば、リカッチ方程式を参照）。^[5]

一部の常微分方程式は、既知の関数と積分を用いて明示的に解くことができます。それが不可能な場合は、解のテイラー級数を計算する式が役立つ場合があります。応用問題では、常微分方程式の数値解析法によって解の近似値を得ることができます。^[6]

背景

常微分方程式（ODE）は、数学、社会科学、自然科学の多くの分野で用いられます。変化の数学的記述には、微分と導関数が用いられます。様々な微分、導関数、関数は方程式を介して関連づけられ、微分方程式は動的に変化する現象、進化、そして変動を記述する結果となります。多くの場合、量は他の量の変化率（例えば、変位の時間微分）や量の勾配として定義され、微分方程式に組み込まれます。^[7]

数学の具体的な分野としては、幾何学や解析力学などが挙げられる。科学分野としては、物理学や天文学（天体力学）、気象学（気象モデル）、化学（反応速度）^{[8] 、} 生物学（感染症、遺伝的変異）、生態学および個体群モデル（個体群競争）、経済学（株価動向、金利、市場均衡価格の変化）などが挙げられる。

ニュートン、ライプニッツ、ベルヌーイ一家、リカッチ、 クレロー、ダランベール、オイラーなど多くの数学者が微分方程式を研究し、この分野に貢献してきました。

簡単な例としては、ニュートンの運動の第二法則、すなわち力を受けた物体の変位と時間の関係は、微分方程式で与えられる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,}$

これは、一定質量の粒子の運動を制約する。一般に、は時刻における粒子の位置の関数である。未知関数は微分方程式の両辺に現れ、記号 で表される。^{[9] [10] [11] [12]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle F(x(t))}$

定義

以下では、は独立変数の未知の関数を表す従属変数です。微分法の表記法は、著者によって、また、どの表記法がそれぞれの課題に最も適しているかによって異なります。この文脈では、ライプニッツの表記法は微分と積分に適しており、ラグランジュの表記法は高階微分を簡潔に表すのに適しており、ニュートンの表記法は物理学において時間に関する低階微分を表すのによく用いられます。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$ ${\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(n)}}$ ${\displaystyle ({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})}$

一般的な定義

、、の関数、およびの導関数が与えられたとします。すると、 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

は階の明示的な ${\displaystyle n}$常微分方程式と呼ばれる。^{[13] [14]}

より一般的には、次式の暗黙の常微分方程式は次の形を取る：^[15] ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

さらに分類があります:

自律型

微分方程式は、変数xに依存しない場合、自律的である。

リニア

微分方程式が線形であるとは、の導関数の線形結合として表せる場合である。つまり、 のように書き直すことができる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

ここで、およびは の連続関数である。^{[13] [16] [17]}この関数はソース項と呼ばれ、さらに分類される。^{[16] [18]} ${\displaystyle a_{i}(x)}$ ${\displaystyle r(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r(x)}$

均質な

線形微分方程式が同次方程式であるとは、 のことである。この場合、常に「自明解」が存在する。 ${\displaystyle r(x)=0}$ ${\displaystyle y=0}$

非均質（または不均質）

線形微分方程式が非同次方程式であるとは、次の場合です。 ${\displaystyle r(x)\neq 0}$

非線形

線形ではない微分方程式。

常微分方程式系

複数の微分方程式が連立して方程式系を形成する。が関数を要素とするベクトルであり、 が とその導関数のベクトル値関数である場合、 ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} (x)=[y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{m}(x)]}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

は、次数次元の常微分方程式の明示的な系である。列ベクトル形式では、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

これらは必ずしも線形ではありません。暗黙的な類似は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

ここで零ベクトルは行列形式である。 ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}=(0,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

形式のシステムの場合、いくつかの情報源では、これを暗黙的 ODE [システム] と呼ぶためには、ヤコビ行列が非特異であることも要求しています。このヤコビの非特異性条件を満たす暗黙的 ODE システムは、明示的 ODE システムに変換できます。同じ情報源では、特異なヤコビアンを持つ暗黙的 ODE システムは微分代数方程式(DAE) と呼ばれています。この区別は単なる用語の 1 つではありません。DAE は根本的に異なる特性を持ち、一般に (非特異) ODE システムよりも解くのが複雑です。^{[19] [20] [21]}おそらく追加の導関数については、ヘッセ行列などもこのスキームに従って非特異であると想定されますが、^{[引用が必要]}ただし、1 より大きい次数の ODE はどれも (通常は) 1 次 ODE のシステムとして書き直すことができることに注意する必要があります。^[22]これにより、ヤコビの特異性基準は、この分類法がすべての次数で包括的であるための十分なものになります。 ${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$

ODE 系の動作は、位相図を使用して視覚化できます。

ソリューション

微分方程式が与えられたとき

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

関数（ただしは区間）は が上で 回微分可能であり、 ${\displaystyle u:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

2つの解とが与えられているとき、はの拡張と呼ばれます。 ${\displaystyle u:J\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle I\subset J}$

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

拡張を持たない解は最大解と呼ばれる。 の全体にわたって定義された解は大域解と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

階方程式の一般解は、任意の独立した積分定数を含む解である。特異解は、一般解から定数を特定の値に設定することで導出される。これらの定数は、多くの場合、設定された「初期条件または境界条件」を満たすように選択される。^[23] 特異解は、一般解の任意の定数に特定の値を割り当てることでは得られない解である。^[24] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

線形常微分方程式の文脈において、「特異解」という用語は、常微分方程式の任意の解（必ずしも初期条件を満たしている必要はない）を指すこともあります。この特異解は、同次解（同次常微分方程式の一般解）に加えられ、元の常微分方程式の一般解を形成します。これは、本稿の推測法のセクションで使用されている用語であり、未定係数法やパラメータの変動法について議論する際に頻繁に使用されます。

有限期間のソリューション

非線形自律常微分方程式では、ある条件下では有限時間解を導くことが可能である。^[25]ここで、有限時間解とは、系が自身のダイナミクスから、ある終了時刻に値ゼロに達し、その後は永遠にゼロに留まることを意味する。これらの有限時間解は実数直線全体上の解析関数にはならず、終了時刻において非リプシッツ関数となるため、リプシッツ微分方程式の解の一意性定理には含まれない。

たとえば、次の式:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

有限持続時間ソリューションを認めます:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

理論

特異な解決策

常微分方程式および偏微分方程式の特異解の理論はライプニッツの時代から研究対象となっていたが、19世紀半ば以降になってようやく特別な注目を集めるようになった。この分野における貴重だがあまり知られていない著作として、ウタン（1854年）の著作がある。ダルブー（1873年以降）はこの理論の先駆者であり、これらの解の幾何学的解釈によって、カソラーティやケーリーといった様々な研究者が研究する分野を切り開いた。ケーリー（1872年）のおかげで、1900年頃に受け入れられた一階微分方程式の特異解の理論が生まれた。

求積法への簡約

微分方程式を扱う初期の試みは、求積法への還元、すなわち解を既知の関数とその積分で表すことを念頭に置いていました。これは定数係数の線形方程式では可能ですが、19世紀には他の場合には一般的に不可能であることが明らかになりました。そこで、分析家たちは（独自に）微分方程式の解である関数の研究を始め、新たな豊かな分野を切り開きました。この見解の重要性を最初に認識したのはコーシーでした。その後、真の問題はもはや求積法による解が可能かどうかではなく、与えられた微分方程式が関数の定義に十分かどうか、そして十分であれば、そのような関数の特性は何か、となりました。

フックス理論

フックスの2つの回想録^[26]が斬新なアプローチの着想を与え、その後トーメとフロベニウスがこれを推し進めた。コレットはこの手法の重要な貢献者となり、1869年からは彼の貢献者となった。彼の非線形系の積分法は1868年にベルトランに伝えられた。クレプシュ(1873)は、彼のアーベル積分理論と平行してこの理論に取り組んだ。アーベル積分は有理変換によって変化しない基本曲線の特性に従って分類できるため、クレプシュは微分方程式によって定義される超越関数を、有理1対1変換の下での対応する曲面の不変特性に従って分類することを提案した。 ${\displaystyle f=0}$

リーの理論

1870年以降、ソフス・リーの研究は微分方程式理論をより優れた基盤の上に築いた。彼は、リー群を用いることで、古い数学者たちの積分理論が共通の源泉に帰着できること、そして同じ微小変換を許す常微分方程式が同等の積分困難を伴うことを示した。また、接触変換という主題にも重点を置いた。

リーの微分方程式群論は、(1) 微分方程式を解くための多くのアドホックな手法を統合し、(2) 強力な新しい解法を提供するという点で証明されている。この理論は、常微分方程式と偏微分方程式の両方に応用できる。^[27]

一般解法アプローチは、微分方程式の対称性、すなわち解から解への連続的な無限小変換（リー理論）を利用します。連続群論、リー代数、微分幾何学は、線形および非線形（偏）微分方程式の構造を理解し、積分可能な方程式を生成し、そのLax対、再帰演算子、Bäcklund変換を求め、最終的にDEの正確な解析解を見つけるために使用されます。

対称性法は、数学、物理学、工学、その他の分野で生じる微分方程式に適用されてきました。

シュトゥルム・リウヴィル理論

シュトゥルム・リウヴィル理論は、特殊なタイプの2階線形常微分方程式の理論である。その解は、2階同次線形方程式で定義される線形作用素の固有値と対応する固有関数に基づいている。この問題はシュトゥルム・リウヴィル問題（SLP）として識別され、 1800年代半ばにこの問題を研究したJ. C. F. シュトゥルムとJ. リウヴィルにちなんで名付けられた。SLPは無限個の固有値を持ち、対応する固有関数は完全な直交集合を形成するため、直交展開が可能になる。これは応用数学、物理学、工学における重要な考え方である。^[28] SLPは特定の偏微分方程式の解析にも有用である。

解の存在と一意性

常微分方程式の初期値問題には、局所的および大域的に解の存在と一意性を証明する定理がいくつかある。主な定理は以下の2つである。

定理	予測	結論
ペアノの存在定理	${\displaystyle F}$ 連続	ローカルのみ存在
ピカール・リンデレフの定理	${\displaystyle F}$ リプシッツ連続	地域的な存在と独自性

基本的な形式では、これらの定理は両方とも局所的な結果のみを保証しますが、後者は、たとえばグロンヴァルの不等式の条件が満たされている場合、グローバルな結果を与えるように拡張できます。

また、上記のリプシッツの定理のような一意性定理はDAEシステムには適用されません。DAEシステムでは、（非線形の）代数部分のみから複数の解が生じる可能性があります。^[29]

局所存在定理と一意性定理の簡略化

定理は次のように簡単に述べることができる。^[30]方程式と初期値問題について： 平面上の閉長方形でおよびが連続する場合、およびは実数（記号的に：）で あり、直積を表し、角括弧は閉区間を表す、とすると、上記の方程式と初期値問題の解が見つかる区間が存在する。つまり、解が存在し、それは一意である。 には線形である必要がないため、これは という形式を取る非線形方程式に適用され、連立方程式にも適用できる。 $${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial F/\partial y}$ $${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \times }$ $${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$$ ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(x,y)}$

大域的一意性と解の最大領域

ピカール・リンデレフ定理の仮定が満たされる場合、局所的存在と一意性は大域的な結果に拡張できる。より正確には、次のようになる。^[31]

各初期条件に対して、唯一の最大（おそらく無限）開区間が存在する。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

つまり、この初期条件を満たす任意の解は、領域 でこの初期条件を満たす解の制約となります。 ${\displaystyle I_{\max }}$

の場合、正確に2つの可能性がある。 ${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$

• 有限時間内での爆発： ${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• 定義域を離れる: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

ここでは が定義されている開集合であり、はその境界です。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$

解の最大領域は

• 常に区間である（一意性を持つため）
• より小さいかもしれない ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• の特定の選択によって異なる場合があります。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

例。

${\displaystyle y'=y^{2}}$

これは を意味し、したがって局所的にリプシッツ連続となり、ピカール・リンデレフの定理を満たします。 ${\displaystyle F(x,y)=y^{2}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

このような単純な設定でも、解の最大領域は、解が ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

最大のドメインを持つもの：

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

これは、最大区間が初期条件に依存する可能性があることを明確に示しています。 の定義域をとすることもできますが、その場合、定義域は区間ではなく、初期条件の反対側は初期条件から切り離され、したがって初期条件によって一意に決定されなくなります。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$

最大ドメインは ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

これは上記の定理によれば 2 つの可能なケースのうちの 1 つです。

注文の削減

通常、微分方程式は、方程式の次数を減らすことができれば、解きやすくなります。

一次システムへの縮約

階数の明示的な微分方程式は、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

は、新しい未知の関数の族を定義することによって、一階微分方程式のシステムとして記述することができる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

に対して、次元の1階連立微分方程式は ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

ベクトル表記ではより簡潔に表すと次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$

厳密解のまとめ

いくつかの微分方程式は、厳密かつ閉じた形で表せる解を持ちます。ここではいくつかの重要なクラスを示します。

下の表において、、、、、、は、、の任意の積分可能な関数です。また、は与えられた定数を持つ実数です。また、は任意定数（一般には複素数）です。微分方程式は、積分によって解に至る等価な形式と代替形式の両方で表されます。 ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle Q(y)}$ ${\displaystyle M(x,y)}$ ${\displaystyle N(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots }$

積分解では、およびは積分のダミー変数（和のインデックスの連続体類似体）であり、表記はについてを積分することを意味し、積分後に を代入し、定数を追加しません（明示的に述べられています）。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda }$ ${\displaystyle F(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =x}$

分離可能な方程式

微分方程式	解決方法	一般解
一次、およびで分離可能（一般的な場合、特殊な場合は下記を参照）[32] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{aligned}}}$	変数の分離（ で割る）。 ${\displaystyle P_{2}Q_{1}}$	${\displaystyle \int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C}$
一次、分離可能[30] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}}$	直接統合。	${\displaystyle y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C}$
第一階、自律的、分離可能[30] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}}$	変数の分離（ で割る）。 ${\displaystyle F}$	${\displaystyle x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C}$
一次、および[ 30]で分離可能 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0\end{aligned}}}$	全体を統合します。	${\displaystyle \int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C}$

一般的な一次方程式

微分方程式	解決方法	一般解
一次、均質[30] ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)}$	y = uxに設定し、 uとxの変数を分離して解きます。	${\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}}$
第一階、分離可能[32] ${\displaystyle {\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy&=0\end{aligned}}}$	変数の分離（ で割る）。 ${\displaystyle xy}$	${\displaystyle \ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}}$ の場合、解は です。 ${\displaystyle N=M}$ ${\displaystyle xy=C}$
厳密な微分、一次[30] ${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}}$ どこ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}}$	全体を統合します。	${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\&=\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}}$ どこでそして $${\displaystyle Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda }$$ $${\displaystyle X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda }$$
不正確な微分、一次[30] ${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}}$ どこ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}\neq {\frac {\partial N}{\partial x}}}$	統合係数 を満たす ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial (\mu M)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial x}}}$	適切な方法で見つけることができれば ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}}$ どこでそして $${\displaystyle Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda }$$ $${\displaystyle X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda }$$

一般的な2次方程式

微分方程式	解決方法	一般解
二次、自律的[33] ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)}$	方程式の両辺に を掛け、 を代入して、 2回積分します。 ${\displaystyle 2{\frac {dy}{dx}}}$ ${\displaystyle 2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=2{\frac {dy}{dx}}F(y)}$	${\displaystyle x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}}$

直線的にn次方程式

微分方程式	解決方法	一般解
一次線形不同次関数係数[30] ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)}$	統合係数: ${\displaystyle e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.}$	${\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]}$
2次線形不同次関数係数 ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=q(x)}$	統合係数: ${\displaystyle e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }}$	${\displaystyle y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]}$
2次、線形、不同質、定数係数[34] ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)}$	補関数: を仮定し、 を代入して の多項式を解き、線形独立関数を見つけます。 ${\displaystyle y_{c}}$ ${\displaystyle y_{c}(x)=e^{\alpha x}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle e^{\alpha _{j}x}}$ 特殊積分：一般的にはパラメータの変化の手法だが、非常に単純な検査には使えるかもしれない。[30] ${\displaystyle y_{p}}$ ${\displaystyle r(x)}$	${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}$ もし、 ${\displaystyle b^{2}>4c}$ ${\displaystyle y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}}$ もし、 ${\displaystyle b^{2}=4c}$ ${\displaystyle y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}}$ もし、 ${\displaystyle b^{2}<4c}$ ${\displaystyle y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]}$
${\displaystyle n}$次、線形、非同次、定数係数[34] ${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)}$	補関数: を仮定し、 を代入して の多項式を解き、線形独立関数を見つけます。 ${\displaystyle y_{c}}$ ${\displaystyle y_{c}(x)=e^{\alpha x}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle e^{\alpha _{j}x}}$ 特殊積分：一般的にはパラメータの変化の手法だが、非常に単純な検査には使えるかもしれない。[30] ${\displaystyle y_{p}}$ ${\displaystyle r(x)}$	${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}}$ は次数の多項式の解であるため、はすべて異なるに対して となり、各根が回繰り返され、いくつかの複素数に対して となるため、 を設定し、オイラーの公式を使用すると、前の結果のいくつかの項を という形式で表すことができます。ここでは任意の定数 (位相シフト) です。 ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \prod _{j=1}^{n}(\alpha -\alpha _{j})=0}$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ $${\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}}$$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\displaystyle k_{j}}$ $${\displaystyle y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}}$$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{j}=\chi _{j}+i\gamma _{j}}$ $${\displaystyle C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j})}$$ ${\displaystyle \varphi _{j}}$

解決策を推測する

他の常微分方程式の解法がすべて失敗した場合、あるいは微分方程式の解がどのようなものになるかについてある程度の直感がある場合、解を推測し、それが正しいことを検証するだけで微分方程式を解けることがあります。この方法を使うには、まず微分方程式の解を推測し、その解を微分方程式に代入して、方程式を満たすかどうかを検証します。もし方程式を満たすなら、その微分方程式の特定の解が得られます。そうでなければ、最初からやり直して別の推測を試みます。例えば、微分方程式の解は次の形式であると推測できます。これは物理的に正弦波のように振る舞う非常に一般的な解であるためです。 ${\displaystyle y=Ae^{i\alpha t}}$

非同次な一階常微分方程式の場合、まず同次部分（つまり、関連する同次方程式）の解を求め、次に非同次方程式全体の解を推測によって求めます。最後に、これらの解を足し合わせることで、常微分方程式の一般解が得られます。つまり、次のようになります。

${\displaystyle {\text{general solution}}={\text{general solution of the associated homogeneous equation}}+{\text{particular solution}}}$

ODEを解くためのソフトウェア

• オープンソースのコンピュータ代数システムであるMaxima。
• COPASI は、 ODE の積分と解析のための無料 ( Artistic License 2.0 ) ソフトウェア パッケージです。
• MATLAB、技術計算アプリケーション (MATrix LABoratory)
• GNU Octave は、主に数値計算を目的とした高水準言語です。
• 数値計算用のオープンソースアプリケーション、Scilab 。
• Maple は、記号計算用の独自のアプリケーションです。
• Mathematica は、主に記号計算を目的とした独自のアプリケーションです。
• SymPy は、常微分方程式を記号的に解くことができる Python パッケージです。
• Julia (プログラミング言語) は、主に数値計算を目的とした高級言語です。
• SageMath は、数学のさまざまな分野にわたる幅広い機能を備えた Python のような構文を使用するオープンソース アプリケーションです。
• SciPy、ODE 統合モジュールを含む Python パッケージ。
• Chebfun はMATLABで記述されたオープンソース パッケージで、15 桁の精度で関数の計算を行います。
• GNU R は、主に統計を目的としたオープンソースの計算環境で、ODE を解くためのパッケージが含まれています。

参照

• 境界値問題
• 微分方程式の例
• 微分方程式に適用されるラプラス変換
• 動的システムと微分方程式のトピックのリスト
• 行列微分方程式
• 未定係数法
• 再帰関係

注記

1. デニス・G・ジル（2012年3月15日）『微分方程式入門：モデリング応用編』Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2. 2020年1月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年7月11日閲覧。
2. 「「常微分方程式」という用語の由来は何ですか？」hsm.stackexchange.com . Stack Exchange . 2016年7月28日閲覧。
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4. Butcher, JC (2000-12-15). 「20世紀における常微分方程式の数値解析法」. Journal of Computational and Applied Mathematics . 数値解析 2000. 第6巻：常微分方程式と積分方程式. 125 (1): 1– 29. Bibcode :2000JCoAM.125....1B. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00455-6 . ISSN  0377-0427.
5. グリーンバーグ、マイケル・D. (2012).常微分方程式. ホーボーケン、ニュージャージー州: Wiley. ISBN 978-1-118-23002-2。
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7. Denis, Byakatonda (2020-12-10). 「常微分方程式を解くための数値的・解析的手法の概要」arXiv : 2012.07558 [math.HO].
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参考文献

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• クレイジグ、エルウィン（1972）、Advanced Engineering Mathematics（第3版）、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-50728-8。
• ポリアニン、ADおよびVFザイツェフ著『常微分方程式の厳密解ハンドブック（第2版）』チャップマン＆ホール/CRCプレス、ボカラトン、2003年。ISBN 1-58488-297-2
• シモンズ、ジョージ F. (1972)、微分方程式とその応用および歴史的注釈、ニューヨーク：マグロウヒル、LCCN  75173716
• ティプラー、ポール A. (1991)、『科学者とエンジニアのための物理学：拡張版（第3版）』、ニューヨーク：ワース出版社、ISBN 0-87901-432-6
• ボスカン、ウーゴ; Chitour、Yacine (2011)、 Introduction à l'automatique (PDF) (フランス語)
• ドレスナー、ローレンス（1999年）、リーの常微分方程式と偏微分方程式の理論の応用、ブリストルおよびフィラデルフィア：物理学出版、ISBN 978-0750305303
• Ascher, Uri; Petzold, Linda (1998)、「常微分方程式と微分代数方程式のコンピュータ手法」、SIAM、ISBN 978-1-61197-139-2

参考文献

• コディントン、アール・A.；レビンソン、ノーマン（1955年）『常微分方程式論』ニューヨーク：マグロウヒル
• ハートマン、フィリップ(2002) [1964]、「常微分方程式」、応用数学の古典、第38巻、フィラデルフィア：産業応用数学協会、doi :10.1137/1.9780898719222、ISBN 978-0-89871-510-1、MR  1929104
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• インス、エドワード・L.（1944）[1926]、常微分方程式、ドーバー出版、ニューヨーク、ISBN 978-0-486-60349-0、MR  0010757 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ヴィトルド・ヒューレヴィッツ著『常微分方程式講義』ドーバー出版、ISBN 0-486-49510-8
• イブラギモフ、ネイル・H. (1993). CRCハンドブック リー群微分方程式解析 第1-3巻. プロビデンス: CRCプレス. ISBN 0-8493-4488-3。。
• テシュル、ジェラルド(2012). 『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-8328-0。
• AD Polyanin、VF Zaitsev、A. Moussiaux著『Handbook of First Order Partial Differential Equations』Taylor & Francis、ロンドン、2002年。ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger,微分方程式ハンドブック（第3版）、Academic Press、ボストン、1997年。

外部リンク

• 「微分方程式、普通」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• EqWorld: 数式の世界。常微分方程式とその解のリストが含まれています。
• オンラインノート / 微分方程式、ポール・ドーキンス著、ラマー大学。
• 微分方程式、SOS数学。
• サウスフロリダ大学 Holistic Numerical Methods Institute による微分方程式の解析解法の入門書。
• ジェラルド・テシュルによる常微分方程式と動的システムの講義ノート。
• Diffy Qs に関するメモ: エンジニアのための微分方程式UIUCの Jiri Lebl による微分方程式の入門書。
• Scilab を使用した ODE によるモデリング Openeering チームによる、Scilab 標準プログラミング言語を使用して ODE で記述された物理システムをモデリングする方法に関するチュートリアルです。
• Wolfram|Alphaで常微分方程式を解く

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