核（代数）

Elements taken to zero by a homomorphism

群Gから群Hへの群準同型 hが示されています。群はそれぞれ左側の青い楕円と右側の黄色い円で表されています。hのカーネルは左側の赤い円で、hはそれをHの単位元1に送ります。

カーネルの例 - 線形演算子は直線上のすべての点を零点に変換するため、それらは線形演算子のカーネルを形成します ${\displaystyle L:(x,y)\longrightarrow (x,x)}$ ${\displaystyle (x=0,y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

代数学において、準同型写像の核とは、準同型写像の定義域の要素が像においてどのような関係になるかを記述する関係である。^[1]準同型写像とは、定義域における基礎となる代数構造をその像に対して保存する関数である。

関係する代数構造が基底群構造を持つ場合、核は像における群の単位元（identity）の逆像とみなされます。つまり、核は像の単位元に写像する領域の元で構成されます。 ^[2]例えば、すべての整数をそのパリティ（つまり、偶数の場合は0、奇数の場合は1）に写す写像は、2を法とする整数への準同型写像となり、それぞれの核はパリティとしてすべて0を持つ偶数整数となります。^[3]群のような構造の準同型の核は、準同型が単射である場合、つまりすべての元の逆像が単一の元で構成される場合にのみ、単位元を含みます。これは、核が準同型が単射でなくなる度合いの尺度と見なせることを意味します。^[4]

アーベル群やベクトル空間などの構造の種類によっては、可能な核は同じ種類の部分構造と全く同じです。これは常に当てはまるわけではなく、群の正規部分群^[5]や環の両側イデアル^[6]など、特別な名前が付けられている核もあります。核の概念は、準同型が単射であるかどうかを判断するのに単一の元の逆像だけでは不十分な構造にも拡張されています。このような場合、核は合同関係です。^[1]

核は商オブジェクト（普遍代数では商代数とも呼ばれます）を定義することを可能にします。多くの種類の代数構造について、準同型に関する基本定理（または第一同型定理）は、準同型の像が核による商と同型であることを述べています。 ^{[1] [4]}

定義

群準同型

群とは、すべてのに対して以下の3つの性質を満たす二項演算を持つ集合 である。^[7] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a,b,c\in G}$

1. 結合法則： ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
2. 恒等法則：そのような集合が存在する ${\displaystyle e\in G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$
3. 逆:それぞれに対して、 ${\displaystyle a'\in G}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle a\cdot a'=a'\cdot a=e}$

群は、 も満たす場合、アーベル群とも呼ばれる。^[7] ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

とを群とする。からへの群準同型は、すべての に対してとなるような関数である。^[8]（簡潔にするために、演算記号は省略されている。）を の恒等元とすると、の核は単集合 の逆像、つまりによって元 に写像されるのすべての元からなる の部分集合である。^{[2] [9]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle e_{H}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{e_{H}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e_{H}}$

核は通常（またはその変形）と表記される。^[2]記号では： ${\displaystyle \ker {f}}$

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

群準同型は恒等元を保存するので、の恒等元は核に属さなければならない。^[2]準同型が単射となるのは、その核が単集合 のみである場合に限る。^[10] ${\displaystyle e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{e_{G}\}}$

${\displaystyle \ker {f}}$はの部分群であり、さらに は正規部分群である。したがって、対応する商群が存在する。これは（ も の部分群である）の下での の像と同型であり、群の第一同型定理により同型である。 ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\ker {f}}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$

環準同型

単位元（または単位元）を持つ環は、 2つの二項演算と を持つ集合であり、次を満たす。 ^{[11] [12]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$

1. ${\displaystyle R}$は を持つアーベル群であり、単位元を持つ。 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 0}$
2. 乗法は結合法則に従う。 ${\displaystyle \cdot }$
3. 分配法則：すべての に対してとなる。 ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ ${\displaystyle a,b,c\in R}$
4. 乗法は単位元を持つ。^[a] ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$

乗法が可換であるとき、環は可換であり、そのような環は、すべての が乗法逆元 を持つ体、つまり である体である。^[12]とを環とする。からへの環準同型は、すべての に対して次を満たす関数である。^[13] ${\displaystyle 0\neq a\in R}$ ${\displaystyle b\in R}$ ${\displaystyle ab=1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle a,b\in R}$

1. ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
2. ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$

の核は加法群としての核である。[ ^14]これは零イデアルの逆像、つまり の元のうち によって元 に写されるものすべてからなる の部分集合である。核は通常（またはその変形）と表記される。記号では次の ように表記される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0_{S}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0_{S}}$ ${\displaystyle \ker {f}}$

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.}$

環準同型は零元を保存するので、の零元は核に属さなければならない。準同型が単射となるのは、その核が単集合 のみである場合に限る。これは、が体であり、が零環でない場合、常に当てはまる。^[6] ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0_{R}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$

は が零環である場合にのみ乗法単位元を含むので、核は一般にの部分環ではないことがわかる。核は部分環であり、より正確には の両側イデアルである。したがって、商環について話すことは理にかなっている。環の第一同型定理は、この商環が の像（ の部分環）と自然に同型であることを述べている。^[6] ${\displaystyle \ker {f}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/\ker {f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

線型写像

VからWへの線型写像Lの核と像

体 が与えられたとき、ベクトル空間（ 上）は、からのスカラー乗法がおよびすべてに対して を満たすアーベル群（二項演算と恒等写像を持つ）である。^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b\in F}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$

1. ${\displaystyle a(b\alpha )=(ab)\alpha }$
2. ${\displaystyle (a+b)\alpha =a\alpha +b\alpha }$
3. ${\displaystyle a(\alpha +\beta )=a\alpha +a\beta }$
4. ${\displaystyle 1\alpha =\alpha }$

とを体 上のベクトル空間とする。からへの線型写像（または線型変換）は、およびすべてに対して を満たす関数である。^[16] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$ ${\displaystyle a\in F}$

1. ${\displaystyle T(\alpha +\beta )=T(\alpha )+T(\beta )}$
2. ${\displaystyle T(a\alpha )=aT(\alpha )}$

が の零ベクトルである場合、 の核（または零空間^[17]）は零部分空間の逆像、つまりによって の元に写像されるのすべての元からなるの部分集合である。核は、またはその変形で表され、次のように記号的に定義される ${\displaystyle 0_{W}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{0_{W}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0_{W}}$ ${\displaystyle \ker {T}}$

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

線型写像は零ベクトルを保存するので、の零ベクトルは核に属さなければならない。変換が単射となるのは、その核が零部分空間に縮約される場合のみである。^[18] ${\displaystyle 0_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

核は常に の線型部分空間である。^{[19]したがって、}商空間について話すことは理にかなっている。ベクトル空間の第一同型定理は、この商空間がの像（ の部分空間）と自然に同型であることを述べている。結果として、の次元は、核の次元と像の次元の合計に等しい。^[19] ${\displaystyle \ker {T}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V/\ker {T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

加群準同型

を環とする。上の加群は、体上のベクトル空間と全く同じように、同じ公理を用いて定義されるが、体は環に置き換えられる。実際、体上の加群は体上のベクトル空間と全く同じである。^[20]とを-加群とする。からへの加群準同型もまた、線型写像の同じ類似の性質を満たす関数である。 の核は次のように定義される。^[21] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \ker \varphi =\{m\in M\ |\ \varphi (m)=0\}}$

すべての核は定義域加群の​​部分加群であり、これは常に加群の加法単位元である0を含むことを意味します。アーベル群の核は、基礎環が整数である場合、特別な種類の加群核と見なすことができます。^[21]

例

群準同型

をモジュラー加算を持つ6つの元上の巡回群、をモジュラー加算を持つ2つの元上の巡回群、を各元を2を法とする元に写す準同型とします。すると、これらすべての元はに写されるため、商群は2つの元、およびを持ち、はと同型です。^[22] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ker f=\{0,2,4\}}$ ${\displaystyle 0\in H}$ ${\displaystyle G/\ker {f}}$ ${\displaystyle \{0,2,4\}}$ ${\displaystyle \{1,3,5\}}$ ${\displaystyle H}$

同型 が与えられた場合、が成り立ちます。^[22]一方、この写像がHを自明群とする単なる準同型である場合、すべての に対して となるため、 となります。^[22] ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle \ker \varphi =1}$ ${\displaystyle \varphi (g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \ker \varphi =G}$

を と定義される写像とします。すると、これは の核がまさに の形の点からなる準同型写像となります。この写像は「x軸への射影」とみなされます。^[22]同様の現象がと定義される写像でも発生します。ここで、核は の形の点です^[9] ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi ((x,y))=x}$ ${\displaystyle (0,y)}$ ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{\times })^{2}\to \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle f(a,b)=b}$ ${\displaystyle (a,1)}$

非可換な例として、四元数群、クライン4-群 と表します。写像を次のように定義します。^[22] ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle V_{4}}$ ${\displaystyle \varphi :Q_{8}\to V_{4}}$

${\displaystyle \varphi (\pm 1)=1}$

${\displaystyle \varphi (\pm i)=a}$

${\displaystyle \varphi (\pm j)=b}$

${\displaystyle \varphi (\pm k)=c}$

すると、この写像は となる準同型です。^[22] ${\displaystyle \ker \varphi =\{\pm 1\}}$

円群とし、これは の絶対値（または法）を持つすべての複素数から成り、群演算は乗算です。^[23]すると、関数sending は、整数を核とする準同型です。第一同型定理から、 が成り立ちます。^[24] ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}=\cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

元上の対称群には、各置換を、その置換の積となる転置の数の偶奇に取る、射影準同型があります。交代群はこの準同型の核であり、偶数個の置換から成ります。交代群はの非可換単純群です。^[25] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon :S_{n}\to \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle A_{n}=\ker \epsilon }$ ${\displaystyle n\geq 5}$

実数の可逆行列の行列式は、その集合が の行列の一般線型群と表記され、乗法群（すべての非零実数からなる）への準同型であり、行列式の核​​はの行列の特殊線型群と呼ばれます。これらは、行列式が正確に である行列です。^[26] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1}$

群と元が与えられたとき、写像は自己同型、つまり定義域と像が同じ群である同型写像です。これは、からその自己同型群への準同型写像を与え、それぞれを前述のようにそれぞれの内部自己同型に写します。この準同型の核はの中心であり、 で構成されます。ここで、任意の に対して、 、または同値です。より一般的には、のすべての正規部分群（つまり、共役で閉じた群）に対して、この共役写像は 上の自己同型でもあり、に別の準同型を与え、核はにおけるの中心化であり、 の集合であり、ここで、任意のに対して、 です。^[27] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle gxg^{-1}=x}$ ${\displaystyle gx=xg}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$ ${\displaystyle C_{G}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle ghg^{-1}=h}$

環準同型

後者の環が2を法とする整数であり、写像が各数をその偶奇項に写す写像を考えます。偶数の場合は0、奇数の場合は1です。この写像は準同型であり、後者の環の加法単位元は0なので、核はまさに偶数です。^[3] ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

を と定義します。この写像は準同型であり、各多項式をその定数項に写します。多項式の定数項が0である場合に限り、多項式を0に写します。 ^[3]実係数を持つ多項式も同様の準同型を受けることができ、その核は定数項が0である多項式です。^[28] ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \varphi (p(x))=p(0)}$

線型写像

を と定義すると、の核（つまり、零空間）はとなる点の集合となり、この集合は の部分空間となります（線型写像のすべての核について同じことが言えます）。^[17] ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi (x,y,z)=x+2y+3z}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle x+2y+3z=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

が実多項式上の微分作用素を表す場合、の核は微分が0である多項式、つまり定数関数から構成されます。^[17] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

写像 を考えます。ここで、は実係数の多項式です。するとは線型写像であり、その核は正確に0です。なぜなら、0はすべての に対して満たす唯一の多項式だからです。^[17] ${\displaystyle (Tp)(x)=x^{2}p(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x^{2}p(x)=0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

商代数

準同型写像の核は商代数を定義するために使用できます。 とを群、を群準同型写像、 とします。 を準同型写像のファイバーの集合とします。ここで、ファイバーとは、範囲 内の単一の点に写像される定義域の点の集合です。^[29]を元 のファイバーとすると、ファイバーの集合に対する群演算は によって付与され、 は商群（または因子群）と呼ばれ、「G modulo K」または「G mod K」と読みます。[29] この用語は、核が範囲^の単位元 のファイバーを表し、残りの元は単に核の「変換」であるため、商群は核を「除算」することによって得られるという事実に由来します。^[29] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle K=\ker \varphi }$ ${\displaystyle G/K}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X_{a}\in G/K}$ ${\displaystyle a\in H}$ ${\displaystyle X_{a}X_{b}=X_{ab}}$ ${\displaystyle G/K}$ ${\displaystyle H}$

ファイバーは、核を基準とした定義域を見ることによっても記述できます。と任意の元が与えられた場合、次のようになります。^[29] ${\displaystyle X\in G/K}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle X=uK=Ku}$

${\displaystyle uK=\{uk\ |\ k\in K\}}$

${\displaystyle Ku=\{ku\ |\ k\in K\}}$

これらの集合はそれぞれ左剰余類と右剰余類と呼ばれ、一般に の任意の部分群に対して定義できます。^{[29] [30] [31]}群演算は と定義でき、これはファイバーの代表の選択に関係なく明確に定義されます。^{[29] [32]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle uK\circ vK=(uk)K}$

第一同型定理によれば、同型 が存在し、後者の群は準同型 の像であり、同型は と定義され、そのような写像も明確に定義されます。^{[4] [33]} ${\displaystyle \mu :G/K\to \varphi (G)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu (uK)=\varphi (u)}$

環、加群、ベクトル空間に対して、それぞれの商代数を、剰余類を と表す基底加法群構造を介して定義できます。環の乗法は商代数上で と定義でき、well-definedです。^[6]環（ベクトル空間を記述する場合は体になる可能性もあります）と核 を持つ加群準同型に対して、とに対してによるスカラー乗法を定義でき、これもwell-definedです。^[34] ${\displaystyle x+K}$ ${\displaystyle (x+K)(y+K)=xy+K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle K=\ker \varphi }$ ${\displaystyle G/K}$ ${\displaystyle r(x+K)=rx+K}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in M}$

カーネル構造

核の構造により、核の性質を満たす構造から商代数を構築できます。群の任意の部分群は 、におけるのすべての剰余類の集合によって商を構成できます^[29]これを群にする自然な方法は、商を核で扱う方法と同様に、（左）剰余類に対する演算を で定義することですが、この演算が適切に定義されるためには、部分群がの下で共役閉包である場合、すなわち かつならばとなります。さらに、演算が適切に定義されているということは、商が群であるための十分条件です。[ ^{29]この性質を満たす部分群は}正規部分群と呼ばれます。^[29]群のすべての核は正規部分群であり、群 の与えられた正規部分群に対して、として定義される自然な射影はとの準同型となるため、正規部分群はまさに核となる部分群です。^[29]しかし、共役閉包は、部分群が何らかの準同型に対して核となる場合の基準を与えます。^[29] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle uN\cdot vN=(uv)N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :G\to G/N}$ ${\displaystyle \pi (g)=gN}$ ${\displaystyle \ker \pi =N}$

環 を 群として扱うと、環の任意の部分群を介して商群を取ることができ、環の加法群がアーベル群 であるため、これは正規群となる。 上の乗法を定義するには、 として定義される剰余類の乗法を明確に定義する必要がある。とについて、それぞれ代表とを取ると、次が得られる。^[6] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle (r+I)(s+I)=rs+I}$ ${\displaystyle r+\alpha }$ ${\displaystyle s+\beta }$ ${\displaystyle r+I}$ ${\displaystyle s+I}$ ${\displaystyle r,s\in R}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in I}$

${\displaystyle (r+\alpha )(s+\beta )+I=rs+I}$

と置くと、 が乗法に関して閉じていることを意味し、一方 と置くと、つまり が左側の任意の元による乗法に関して閉じていることを示す。同様に、 を取ると、 が右側の任意の元による乗法に関しても閉じていることを意味する。 ^[6]環の任意の元による乗法に関して閉じている の任意の部分群は、イデアルと呼ばれる。^[6]正規部分群と同様に、環のイデアルはまさに準同型の核である。^[6] ${\displaystyle r=s=0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \alpha =s=0}$ ${\displaystyle r\beta \in I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r=\beta =0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

正確な列

群の正確な列。準同型写像の各ペアにおいて、前の準同型の像は次の準同型の核となり、つまり単位元に送られます。

核は、群と加群の準同型の正確な列を定義するために使用されます。加群、、およびが与えられたとき、2つの準同型写像は、の場合に（ において）正確であると言われます。正確な列とは、隣接する加群と準同型の各ペアが正確であるような加群と準同型の列です。^[35] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi :A\to B,\varphi :B\to C}$ ${\displaystyle A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{image }}\psi =\ker \varphi }$ ${\displaystyle \cdots \to X_{n-1}\to X_{n}\to X_{n+1}\to \cdots }$

零加群で始まるまたは終わる準同型写像は1つしか存在しないため、正確な列でラベルを付ける必要はありません。零加群が定義域である場合の写像と、零加群が値域である場合の写像です。 ^[36]正確な列は、準同型写像が単射、射影、または同型である場合を記述するために使用できます。特に、列、、 が正確であるためには、ラベル付けされた準同型写像がそれぞれ単射、射影、同型である必要があります。^{[35] [37]} ${\displaystyle 0\mapsto 0}$ ${\displaystyle b\mapsto 0}$ ${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B}$ ${\displaystyle B\xrightarrow {g} C\to 0}$ ${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {h} B\to 0}$

完全列の特定の種類は、短完全列であり、形式は です。これらの列は、拡張問題に関連しています。つまり、加群と が与えられたとき、が の部分加群であり、それらの商が と同型であるような加群を決定します。このような加群は、 ^[35]によるの拡張（または^[37]によるの拡張）と呼ばれます。拡張問題は、完全列として記述すると、とが固定されたすべての短完全列を見つけることであると表現できます。^[35]このような拡張は、 と が の核であることを意味します。[ 37 ] ${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C\to 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C\to 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\cong \psi (A)}$ ${\displaystyle \psi (A)}$ ${\displaystyle \varphi }$

普遍代数

核は、任意の2つの代数構造間の準同型写像に対して、普遍代数において一般化できます。集合に対する演算は、演算のアリティ（または階数）である形式の関数です。-項演算は、から要素の順序付きリストを受け取り、それらを内の単一の要素に写像します。代数構造は、が代数の基礎集合である組であり、が上の演算のインデックス付き集合であり、その解釈はで表されます。集合のインデックス付けは言語であり、各演算記号を固定のアリティ（階数関数と呼ばれる）に写像します。2つの代数構造は、階数関数を含め、同じ言語を共有している場合、類似しています。^{[38] [39]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q:A^{n}\to A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A,F\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q\in F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q^{A}}$ ${\displaystyle F}$

とを、類似した型の代数構造とします。準同型写像は、それぞれの解釈を尊重する関数です。つまり、を-項演算とし、に対してをとります。^{[40] [41]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle Q\in F}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle f(Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n}))=Q^{B}(f(a_{1}),\ldots f(a_{n}))}$

の核は、 と表記され、 の成分が両方ともの同じ要素に写像されるような、 の要素のすべての順序付きペアからなる直積の部分集合です。記号：^{[42] [1]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker {f}}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \ker f=\left\{\left(a,b\right)\in A\times A:f(a)=f\left(b\right)\right\}{\mbox{.}}}$

準同型写像が単射的であることと、その核が対角集合 であり、これは常に核 の内側に含まれる場合に限られます。^{[43] [1]は 上の}同値関係であり、実際には合同関係です。つまり、n項演算 に対して の関係はを意味します。商代数について話すことは理にかなっています。商代数は、核の同値類からなる集合と、 -項演算に対して定義された well-defined 演算で構成されます。^[44] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{(a,a)\ |\ a\in A\}}$ ${\displaystyle \ker {f}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q\in F}$ ${\displaystyle (a_{i},b_{i})\in \ker {f}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle (Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n}),Q^{A}(b_{1},\ldots b_{n}))\in \ker {f}}$ ${\displaystyle A/\ker {f}}$ ${\displaystyle a/\ker f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q\in F}$

${\displaystyle Q^{A/\ker {f}}(a_{1}/\ker {f},\ldots a_{n}/\ker {f})=Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n})/\ker {f}}$

普遍代数における最初の同型定理は、この商代数が の像（の部分代数）と自然に同型であることを述べています。^[45] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$

圏論

射の核

核は、オブジェクトを持たないカテゴリに一般化できます。カテゴリは、以下を満たす必要があります。^[46]

• 対象 ${\displaystyle A\in {\mathbf {C}}}$
• 射 ${\displaystyle f:A\to B}$
• 合成。およびの場合、それらの合成を と表記します。 ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to C}$ ${\displaystyle g\circ f:A\to C}$
• 結合性：、、およびの場合、 ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to C}$ ${\displaystyle h:C\to D}$ ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$
• との合成が同じ射となる恒等射。ただし、 ${\displaystyle id_{A}:A\to A}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f=f\circ id_{A}=id_{B}\circ f}$

射は、と が恒等射となるような射が存在するとき、同型である。 ^[46]零対象とは、すべての対象へ向かう射と、すべての対象からの射がそれぞれ1つずつ存在するような圏の対象である。任意の2つの零対象は互いに同型である。^[47]圏の零対象に というラベルが付けられている場合、射の合成はからへの -射である。^[48] ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to A}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0:A\to 0\to B}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

射の核とは、 という性質に対して普遍的な射である。言い換えれば、との射が存在する場合、となるような唯一の射が存在する。これは可換図で示される。^[48] ${\displaystyle f:B\to C}$ ${\displaystyle i:A\to B}$ ${\displaystyle f\circ i=0}$ ${\displaystyle j:Z\to B}$ ${\displaystyle j\circ f=0}$ ${\displaystyle k:Z\to A}$ ${\displaystyle j=i\circ k}$

核は と表記される。核は図 の極限である。核の定義で与えられた射と合成の方向を逆にすることで、余核の概念が定義され、 と表記される。射の像（圏論）は、それぞれの核／余核が存在するとき と定義される。^[48] ${\displaystyle \ker f\to B}$ ${\displaystyle B\xrightarrow {f} C\xleftarrow {} 0}$ ${\displaystyle {\text{coker}}f}$ ${\displaystyle {\text{im}}f=\ker({\text{coker}}f)}$

核／余核の概念は、アーベル圏の定義を導きます。圏が加法的であるとは、零対象、任意の2つの対象の積、そして任意の2つの固定された対象間の射が、その群上の加法上で分配される合成を持つアーベル群を形成することです。加法圏における射は準同型と呼ばれることがあります。すべての準同型が核と余核を持ち、すべての単同型がその余核の核であり、すべてのエピ同型がその核の余核である場合、加法圏はアーベル圏と呼ばれます。^[48]

イコライザー

射の核は、イコライザーの概念によって一般化できます。カテゴリ内の2つの射に対するイコライザーとは、オブジェクトと射であり、 であり、さらに がこの性質に関して普遍的であるということです。が を持つ別の射である場合、となる唯一の射が存在します。任意のイコライザー射はモニックでなければなりません。を持つ場合、 です。^[49] ${\displaystyle f,g:A\to B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e:E\to A}$ ${\displaystyle f\circ e=g\circ e}$ ${\displaystyle z:Z\to A}$ ${\displaystyle f\circ z=g\circ z}$ ${\displaystyle u:Z\to E}$ ${\displaystyle z=e\circ u}$ ${\displaystyle x,y:Z\to E}$ ${\displaystyle e\circ x=e\circ y}$ ${\displaystyle x=y}$

アーベル群の場合、2つの準同型の等化子は、これら2つの準同型の差と零準同型との間の等化子と同じであるため、アーベル群のカテゴリで考慮する必要がある唯一の等化子は、任意の準同型と零準同型との間の等化子です。このような等化子の対象は（同型を除いて）、準同型の核であり、関連する射は包含写像です。^[49]この例は、等化子が射の核の一般化であり、特に、射の核は射とそれぞれの零射との間の等化子であることを示しています。^[50] ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle 0:A\to B}$ ${\displaystyle \ker h}$ ${\displaystyle h}$

核ペア

射の核ペアは、この射の引き戻しとそれ自身とのペアとして定義されます。これは可換図で視覚化できます。^[51] ${\displaystyle f:X\to Y}$

関手の核

圏間の関手も核を持つことができます。圏からへの（共変）関手（と表記）は、対象と射をからに写し、以下が成り立ちます。^[52] ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {D}}}$ ${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {D}}}$

1. ならば、 ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle F(f):F(A)\to F(B)}$
2. ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$
3. ${\displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}}$

カテゴリー上の合同とは、射 上の同値関係であり、 はそれらが同じ定義域と余定義域を共有することを意味し、さらに適用可能な任意の射およびに対して が成り立つ。合同は、と同じオブジェクトを持つ関連合同カテゴリーを生成するが、射 は から成り、ここで、合成は成分ごとに定義され、恒等射 は である。すると商カテゴリーを形成でき、ここでもオブジェクトは と同じであり、射は合同による同値類、恒等射 はその関連同値類、合成は として定義される。合同カテゴリーから元のカテゴリーへの射影関数が とラベル付けされて 2 つ存在し、カテゴリーからその商カテゴリーへの商関数は2 つの射影関数の共等化子^{[b]として機能する。 [53]} ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f\sim g}$ ${\displaystyle bfa\sim bga}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}^{\sim }}$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle }$ ${\displaystyle f\sim g}$ ${\displaystyle {\widetilde {id_{A}}}=\langle id_{A},id_{A}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}/\sim }$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle [id_{A}]}$ ${\displaystyle [g]\circ [f]=[g\circ f]}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ ${\displaystyle \pi }$

関数が となる合同性を与えるのは、それらが同じ定義域と余定義域を共有し、さらに となる場合に限られます。 の核は、関連する合同性圏 として表されます。^[53] ${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$ ${\displaystyle \sim _{F}}$ ${\displaystyle f\sim _{F}g}$ ${\displaystyle F(f)=F(g)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \ker F={\mathbf {C}}^{\sim _{F}}}$

参照

• 関数の核
• 零点集合

注

1. 一部の情報源^{[11] [12]}では、環の定義に乗法単位元が含まれていません。 ${\displaystyle 1}$
2. 余等化子は等化子と同じ方法で定義されるが、射の方向が逆である。

参考文献

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出典

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