散発的なグループ

Finite simple group type not classified as Lie, cyclic or alternating

有限単純群の数学的分類において、いかなる無限族にも当てはまらない群がいくつか存在します。これらは散在単純群、散在有限群、あるいは単に散在群と呼ばれます。

単純群とは、自明群とG自身以外に正規部分群を持たない群Gのことである。前述の分類定理によれば、有限単純群のリストは18個の可算無限族^[a]と、そのような体系的なパターンに従わない26個の例外から構成される。これらの26個の例外は散在群である。ティッツ群は厳密にはリー型群ではないため、散在群と見なされることがある[ ^1]。リー型群であれば、散在群は27個になる。

モンスターグループ、またはフレンドリージャイアントは散発的グループの中で最大であり、他の散発的グループのうち6つを除くすべてがその部分商である。 ^[2]

名前

散在群のうち5つは1860年代にエミール・マチューによって発見され、残りの21は1965年（J ₁）から1975年（J ₄）の間に発見されました。これらの群のいくつかは、構築される前から存在が予言されていました。ほとんどの群は、その存在を最初に予言した数学者にちなんで名付けられています。完全なリストは以下のとおりです：^{[1] [3] [4]}

この図は、26個の散在グループ間の部分商関係を示しています。接続線は、下のグループが上のグループの部分商であり、その間に散在部分商がないことを意味します。ロバート・グリースの世代：
1番目、2番目、3番目、パーリア

• マシュー群 M ₁₁、M ₁₂、M ₂₂、M ₂₃、M ₂₄
• ヤンコ群 J ₁、J ₂またはHJ、J ₃またはHJM、J ₄
• コンウェイ群 Co ₁、Co ₂、Co ₃
• フィッシャー基 Fi ₂₂、Fi ₂₃、Fi ₂₄ ′ またはF ₃₊
• ヒグマン・シムズグループ 高校
• マクラフリングループ McL
• 開催グループ HeまたはF ₇₊またはF ₇
• ルドヴァリスグループ Ru
• 鈴木グループ SuzまたはF ₃₋
• オナングループ O'N (ON)
• 原田・ノートン群 HNまたはF ₅₊またはF ₅
• ライオンズグループ Ly
• トンプソングループ ThまたはF _3|3またはF ₃
• ベビーモンスターグループ BまたはF ₂₊またはF ₂
• フィッシャー・グリースモンスターグループ MまたはF ₁

これらの群の様々な構成は、Conway et al. (1985) において初めてまとめられ、指標表、個々の共役類、最大部分群のリスト、そしてそれらの外部自己同型のシュアー乗数と順序などが含まれています。これらは、Wilson et al. (1999) でもオンラインで公開されており、群の表現と半表現とともに更新されています。また、すべての散在群について、特性p ≥ 0 の体上の最小忠実表現またはブラウアー指標の次数も計算されており、それらの被覆群の一部についても計算されています。これらの詳細は、Jansen (2005) に示されています。

有限単純群の分類におけるさらなる例外はティッツ群Tである。これはリー型^[5]または散在型であると考えられることもある — 厳密にはリー型ではないがほぼリー型である— ^[6]そのため、いくつかの資料では散在型群の数は 26 ではなく 27 とされている。^{[7] [8]}他のいくつかの資料では、ティッツ群は散在型でもリー型でもない、またはその両方であるとされている。^{[9] [要出典]}ティッツ群は、交換子群の無限族 2 F 4 (2 2 n +1 )′ の⁽ n ₌ 0 ^)元2 F 4 (2) ′である^。したがって_、厳密な意味では散在型でもリー型でもない。n > 0の場合、これらの有限単純群は、型² F ₄のリー群としても知られるリー型² F ₄ (2 ^{2 n +1} )の群と一致する。

散在群という用語が最も古く使われているのは、バーンサイド（1911、p. 504）で、彼はマシュー群について次のように述べている。「一見散在的な単純なこれらの群は、これまで以上に綿密な調査を行う価値があるだろう。」（当時、他の散在群はまだ発見されていませんでした。）

右の図はRonan (2006, p. 247)に基づいています。散在群の多数の非散在単純部分商は示されていません。

組織

幸せな家族

26の散在群のうち、20はモンスター群の内部に部分群または部分群の商（セクション）として見ることができます。これら20はロバート・グリースによって「幸福な家族」と呼ばれ、3世代に分けることができます。^{[10] [b]}

第一世代（5グループ）：マシューグループ

M _n（n = 11, 12, 22, 23, 24）は、n点上の多重推移的置換群である。これらはすべて、 24点上の置換群であるM ₂₄の部分群である。^[11]

第2世代（7グループ）：リーチ格子

リーチ格子と呼ばれる24次元格子の自己同型群のすべての部分商：^[12]

• Co ₁は自己同型群をその中心{±1}で割った商である。
• Co ₂はタイプ2（長さ2）ベクトルの安定因子である。
• Co ₃はタイプ3（つまり長さ√6）ベクトルの安定因子である。
• Suzは、複素構造を保存する自己同型群である（中心を法として）。
• McLは2-2-3型三角形の安定因子である
• HSは2-3-3三角形の安定因子である
• J ₂は、四元数構造を保存する自己同型群です（中心を法として）。

第3世代（8グループ）：モンスターの他のサブグループ

モンスター群Mと密接に関連するサブグループから構成される：^[13]

• BまたはF _2は、 Mの位数2の元の中心化である二重被覆を持つ。
• Fi _{24 ′は、} Mの位数3の元（共役類「3A」）の中心化元である三重被覆を持つ。
• Fi _23はFi ₂₄ ′のサブグループである
• Fi _22はFi ₂₃のサブグループである二重被覆を持つ。
• Th = F ₃と位数 3 の群の積は、 Mの位数 3 の元（共役類 "3C"）の中心化子である。
• HN = F ₅ と位数5の群の積は、 Mの位数5の元の中心化である。
• He = F ₇と位数 7 の群の積は、 Mの位数 7 の元の中心化子です。
• 最後に、モンスター グループ自体はこの世代にあると考えられます。

(この級数はさらに続きます: M ₁₂と位数 11 の群の積は、Mの位数 11 の元の中心化子です。)

Tits群は、散在群とみなされる場合、この世代に属するでしょう。Bの2C ^{2部分群を正規化する部分群 S} ₄ × ² F ₄ (2)′ があり、モンスターの特定の Q _{8部分群を正規化する部分群 2·S 4} × ² F ₄ (2)′を生じます。 ² F ₄ (2)′ は、フィッシャー群Fi ₂₂の部分商でもあり、したがってFi ₂₃とFi ₂₄ ′、および Baby Monster Bの部分商でもあります。² F ₄ (2)′ は、(パーリア) Rudvalis 群Ruの部分商でもあり、すでに述べたものを除いて散在単純群に関与しません。

のけ者

6つの例外はJ1、J3、J4 、 O'N 、 Ru _、 Lyであり、パーリアと_呼ばれることもあり_ます。^{[14] [15]}

散在群順序表（ティッツ群を含む）

グループ	発見者	[16] 年	世代	[1] [4] [17] 注文	[18] 最小忠実ブラウアー特性の度合い	[19] [20] ${\displaystyle (a,b,ab)}$ 発電機	[20] [c]セミプレゼンテーション ${\displaystyle \langle \langle a,b\mid o(z)\rangle \rangle }$
男性または女性1	フィッシャー、グリース	1973	3位	808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710, 757,005,754,368,000,000,000 = 2 46 ·3 20 ·5 9 ·7 6 ·11 2 · 13 3 ·17·19·23·29·31 ·41·47·59·71 ≈ 8 × 1053	196883	2A、3B、29	${\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{4}(ab^{2})^{2}{\bigr )}=50}$
BまたはF 2	フィッシャー	1973	3位	4,154,781,481,226,426,191,177,580,544,000,000 = 2 41 ·3 13 ·5 6 ·7 2 ·11·13·17·19·23·31·47 ≈ 4 × 1033	4371	2C、3A、55	${\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=23}$
Fi 24またはF 3+	フィッシャー	1971	3位	1,255,205,709,190,661,721,292,800 = 2 21 ·3 16 ·5 2 ·7 3 ·11 ·13 ·17 ·23 ·29 ≈ 1 × 1024	8671	2A、3E、29	${\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{3}b{\bigr )}=33}$
Fi 23	フィッシャー	1971	3位	4,089,470,473,293,004,800 = 2 18 ·3 13 ·5 2 ·7·11·13·17·23 ≈ 4 × 1018	782	2B、3D、28	${\displaystyle o{\bigl (}a^{bb}(ab)^{14}{\bigr )}=5}$
Fi 22	フィッシャー	1971	3位	64,561,751,654,400 = 2 17 ·3 9 ·5 2 ·7·11·13 ≈ 6 × 1013	78	2A、13、11	${\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=12}$
ThまたはF 3	トンプソン	1976	3位	90,745,943,887,872,000 = 2 15 ·3 10 ·5 3 ·7 2 ·13·19·31 ≈ 9 × 1016	248	2、3A、19	${\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{3}b{\bigr )}=21}$
ライ	ライオンズ	1972	パーリア	51,765,179,004,000,000 = 2 8 ·3 7 ·5 6 ·7·11·31·37·67 ≈ 5 × 1016	2480	2、5A、14	${\displaystyle o{\bigl (}ababab^{2}{\bigr )}=67}$
HNまたはF 5	原田、ノートン	1976	3位	273,030,912,000,000 = 2 14 ·3 6 ·5 6 ·7·11·19 ≈ 3 × 1014	133	2A、3B、22	${\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=5}$
Co 1	コンウェイ	1969	2位	4,157,776,806,543,360,000 = 2 21 ·3 9 ·5 4 ·7 2 ·11 ·13 ·23 ≈ 4 × 1018	276	2B、3C、40	${\displaystyle o{\bigl (}ab(abab^{2})^{2}{\bigr )}=42}$
二酸化炭素​	コンウェイ	1969	2位	42,305,421,312,000 = 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 ≈ 4 × 1013	23	2A、5A、28	${\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=4}$
Co 3	コンウェイ	1969	2位	495,766,656,000 = 2 10 ·3 7 ·5 3 ·7·11·23 ≈ 5 × 1011	23	2A、7C、17	${\displaystyle o{\bigl (}(uvv)^{3}(uv)^{6}{\bigr )}=5}$[d]
オンまたはオン	オナン	1976	パーリア	460,815,505,920 = 2 9 ·3 4 ·5·7 3 ·11·19·31 ≈ 5 × 1011	10944	2A、4A、11	${\displaystyle o{\bigl (}abab(b^{2}(b^{2})^{abab})^{5}{\bigr )}=5}$
スズ	鈴木	1969	2位	448,345,497,600 = 2 13 ·3 7 ·5 2 ·7·11·13 ≈ 4 × 1011	143	2B、3B、13	${\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=15}$
ル	ルドヴァリス	1972	パーリア	145,926,144,000 = 2 14 ·3 3 ·5 3 ·7·13·29 ≈ 1 × 1011	378	2B、4A、13	${\displaystyle o(abab^{2})=29}$
彼またはF 7	開催	1969	3位	4,030,387,200 = 2 10 ·3 3 ·5 2 ·7 3 ·17 ≈ 4 × 109	51	2A、7C、17	${\displaystyle o{\bigl (}ab^{2}abab^{2}ab^{2}{\bigr )}=10}$
マックL	マクラフリン	1969	2位	898,128,000 = 2 7 ·3 6 ·5 3 ·7·11 ≈ 9 × 108	22	2A、5A、11	${\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=7}$
HS	ヒグマン、シムズ	1967	2位	44,352,000 = 2 9 ·3 2 ·5 3 ·7·11 ≈ 4 × 107	22	2A、5A、11	${\displaystyle o(abab^{2})=15}$
J4​	ヤンコ	1976	パーリア	86,775,571,046,077,562,880 = 2 21 ·3 3 ·5 ·7 ·11 · 3 ·23 ·29 ·31 ·37 ·43 ≈ 9 × 1019	1333	2A、4A、37	${\displaystyle o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=10}$
J 3またはHJM	ヤンコ	1968	パーリア	50,232,960 = 2 7 ·3 5 ·5·17·19 ≈ 5 × 107	85	2A、3A、19	${\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=9}$
J 2またはHJ	ヤンコ	1968	2位	604,800 = 2 7 ·3 3 ·5 2 ·7 ≈ 6 × 105	14	2B、3B、7	${\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=12}$
J 1	ヤンコ	1965	パーリア	175,560 = 2 3 ·3·5·7·11·19 ≈ 2 × 105	56	2、3、7	${\displaystyle o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=19}$
M 24	マチュー	1861	1位	244,823,040 = 2 10 ·3 3 ·5·7·11·23 ≈ 2 × 108	23	2B、3A、23	${\displaystyle o{\bigl (}ab(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4}$
M 23	マチュー	1861	1位	10,200,960 = 2 7 ·3 2 ·5·7·11·23 ≈ 1 × 107	22	2、4、23	${\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=8}$
M 22	マチュー	1861	1位	443,520 = 2 7 ·3 2 ·5·7·11 ≈ 4 × 105	21	2A、4A、11	${\displaystyle o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=11}$
M 12	マチュー	1861	1位	95,040 = 2 6 ·3 3 ·5·11 ≈ 1 × 105	11	2B、3B、11	${\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=o{\bigl (}ababab^{2}{\bigr )}=6}$
M 11	マチュー	1861	1位	7,920 = 2 4 ·3 2 ·5·11 ≈ 8 × 103	10	2、4、11	${\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4}$
Tまたは2 F 4 (2)′	おっぱい	1964	3位	17,971,200 = 2 11 ·3 3 ·5 2 ·13 ≈ 2 × 107	104 [21]	2A、3、13	${\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=5}$

注記

1. 素数位数の群、次数5以上の交代群、リー型群の無限交換群族² F ₄ (2 ^{2 n +1} )′（ティッツ群を含む）、およびリー型群の15族。
2. Conway et al. (1985, p. viii) は、26の散発的なグループを次のように分類している。

   「散在単純群は、マシュー群、リーチ格子群、フィッシャーの 3 転置群、その他のモンスター中心化群、およびその他 6 つの奇数群として大まかに分類できます。」

3. ここでは、各散発群の標準的な生成器から得られた半表現を列挙しています。ほとんどの散発群は複数の表現と半表現を持ちますが、ここではより顕著な例を挙げています。
4. どこで、と。 ${\displaystyle u=(b^{2}(b^{2})abb)^{3}}$ ${\displaystyle v=t(b^{2}(b^{2})t)^{2}}$ ${\displaystyle t=abab^{3}a^{2}}$

参考文献

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5. ハウレット、ライランズ、テイラー（2001年、429ページ）

   「これで、スタインバーグ、スズキ、リー（およびティッツ群）のツイスト群を含む、リー型のすべての群の行列生成子の決定が完了しました。」

6. ゴレンスタイン（1979年、111ページ）
7. コンウェイら。 (1985 年、p.viii)
8. ハートリー＆ハルプケ（2010年、106ページ）

   有限単純群は有限群論の構成要素です。ほとんどの群はいくつかの無限群族に属しますが、これらの無限群に含まれない群が26個（ティッツ群² F ₄ (2)′も含めると27個）あります。

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16. ヒス（2003年、172ページ）

    表 2. Die Entdeckung der sporadischen Gruppen (表 2. 散発的グループの発見)

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外部リンク

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