確率微分方程式

Differential equations involving stochastic processes

確率微分方程式（SDE）は、1つ以上の項が確率過程^[1]である微分方程式であり、結果として得られる解も確率過程である。SDEは純粋数学の分野で広く応用されており、株価^[2]、ランダム成長モデル^{[3] 、}熱変動の影響を受ける物理システムなどの確率モデルの様々な挙動をモデル化するために用いられる。

SDEはランダム微分を持ちます。これは最も基本的なケースでは、ブラウン運動の分布微分として計算されるランダムホワイトノイズ、あるいはより一般的にはセミマルチンゲールです。しかし、レヴィ過程^[4]のようなジャンプ過程や、ジャンプを含むセミマルチンゲールなど 、他の種類のランダムな振る舞いも考えられます。

確率微分方程式は一般に微分方程式でもランダム微分方程式でもない。ランダム微分方程式は確率微分方程式と共役である。確率微分方程式は微分多様体にも拡張できる。^{[5] [6] [7] [8]}

背景

確率微分方程式は、 1905年の アルバート・アインシュタインと マリアン・スモルホフスキーの研究における ブラウン運動の理論に由来するが、ブラウン運動をモデル化した最初の人物は1900年にルイ・バシュリエとされ、現在バシュリエ・モデルとして知られる確率微分方程式の非常に初期の例を示した。これらの初期の例のいくつかは、フランスの物理学者ランジュバンにちなんでランジュバン方程式とも呼ばれる線型確率微分方程式であり、ランダムな力を受ける調和振動子の運動を記述する。確率微分方程式の数学的理論は、確率積分の概念を導入し、非線形確率微分方程式の研究を開始した日本の数学者伊藤清の画期的な研究を通じて1940年代に発展した。後にロシアの物理学者ストラトノビッチによって別のアプローチが提案され、通常の微積分に似た微積分につながった。

用語

文献で最も一般的な SDE の形式は、右辺がホワイト ノイズ変数に依存する項によって摂動を受けた常微分方程式です。ほとんどの場合、SDE は対応する確率差分方程式の連続時間の極限として理解されています。SDE のこの理解は曖昧であるため、対応する積分の適切な数学的定義によって補完される必要があります。^{[1] [3]このような数学的定義は 1940 年代に}伊藤清によって初めて提案され、今日では伊藤計算として知られるようになりました。その後、別の構成がロシアの物理学者ストラトノビッチによって提案され、ストラトノビッチ積分として知られるようになりました。伊藤積分とストラトノビッチ積分は関連してはいますが、異なるオブジェクトであり、どちらを選択するかは対象となるアプリケーションによって異なります。伊藤計算は、変数が時間であるアプリケーションでは自然な、非予測性または因果関係の概念に基づいています。一方、ストラトノビッチ計算は、通常の計算に似た規則を持ち、多様体上のランダム運動などの幾何学的問題を扱う際に自然になる固有の幾何学的特性を持っている。ただし、多様体上のランダム運動をイトウSDE ^[6]を通してモデル化することも可能であり、場合によっては好ましい。たとえば、部分多様体上のSDEを最適に近似しようとする場合などである。^[9]

SDE に関する別の見方として、微分同相写像の確率フローがあります。この理解は明確であり、確率差分方程式の連続時間極限のストラトノビッチ版に対応しています。SDE には、確率分布関数の時間発展を記述する方程式であるスモルホフスキー方程式またはフォッカー・プランク方程式が関連しています。フォッカー・プランク発展を微分形式の時間発展に一般化することは、確率発展演算子の概念によって提供されます。

物理科学において、 「ランジュバンSDE」という用語の使用には曖昧さがある。ランジュバンSDEはより一般的な形式をとることもあるが、この用語は通常、勾配フローベクトル場を持つ狭いクラスのSDEを指す。このクラスのSDEは、パリシ・スールラス確率量子化手順^{[10]の出発点であり、}超対称量子力学に密接に関連するN=2超対称モデルにつながるため、特に人気がある。しかし、物理的な観点からは、このクラスのSDEはあまり興味深いものではない。なぜなら、位相的超対称性の自発的な破れを示さないからである。つまり、（過剰減衰）ランジュバンSDEは決してカオス的にならない。

確率計算

ブラウン運動あるいはウィーナー過程は、数学的に非常に複雑であることが発見されました。ウィーナー過程は、ほぼ確実にどこでも微分不可能です。^{[1] [3]}そのため、独自の計算規則が必要です。確率微分には、伊藤確率微分法とストラトノビッチ確率微分法という2つの主要なバージョンがあります。それぞれに利点と欠点があり、初心者は特定の状況でどちらが他方よりも適切であるかについてしばしば混乱します。ガイドラインが存在し (例: Øksendal, 2003) ^[3]、便利なことに、伊藤 SDE を同等のストラトノビッチ SDE に簡単に変換でき、その逆も可能です。^{[1] [3]}それでも、SDE を最初に書き留めるときには、どちらの計算積分を使用するか注意する必要があります。

数値解

確率微分方程式を解く数値解析法^[11]としては、オイラー・丸山法、ミルシュタイン法、ルンゲ・クッタ法（SDE）、ローゼンブロック法^{[12] 、および反復確率積分の様々な表現に基づく方法[13] [14]}などがある。

物理学での使用

物理学において、SDEは分子動力学から神経力学、そして天体物理学的物体の力学に至るまで、幅広い応用範囲を持っています。より具体的には、SDEは量子効果が重要でないか、摂動として考慮できるあらゆる力学系を記述します。SDEは、力学系理論をノイズを含むモデルに一般化したものと考えることができます。これは重要な一般化です。なぜなら、現実のシステムは環境から完全に分離することはできず、常に外部からの確率的影響を受けるからです。

高階方程式を複数の連立一次方程式に変換する標準的な手法が存在します。これには新たな未知数を導入する必要があります。したがって、SDEの最も一般的なクラスは次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}$

ここで、 はシステムの位相（または状態）空間における位置、は微分可能多様体と仮定し、 は決定論的な進化法則を表すフローベクトル場、 はシステムとガウス白色ノイズ の結合を定義するベクトル場の集合である。が線形空間で が定数である場合、システムは加法性ノイズの影響を受けると言われ、そうでない場合は乗法性ノイズの影響を受けると言われる。加法性ノイズの場合、SDEのItô形式とStratonovich形式は同じ解を生成するため、SDEを解くためにどの定義を使用するかは重要ではない。乗法性ノイズSDEの場合、SDEのItô形式とStratonovich形式は異なるため、それらの間のマッピングには注意が必要である。^[15] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\in TX}$ ${\displaystyle g_{\alpha }\in TX}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$

ノイズの固定配置に対して、SDE は初期条件に関して微分可能な唯一の解を持つ。^[16]確率的ケースの非自明性は、ノイズ配置にわたって様々な対象を平均化しようとしたときに現れる。この意味で、ノイズが乗法であり、SDE が確率差分方程式の連続時間極限として理解されている場合、SDE は一意に定義された実体ではない。この場合、SDE は、伊藤解釈や SDE のストラトノビッチ解釈などの「SDE の解釈」によって補完される必要がある。しかし、SDE を微分同相写像の連続時間確率フローと見なすと、それは確率差分方程式の連続時間極限に対するストラトノビッチのアプローチに対応する、一意に定義された数学的対象になる。

物理学における主な解法は、等価なフォッカー・プランク方程式（FPE）を用いて、確率分布関数を時間の関数として求めることである。フォッカー・プランク方程式は決定論的偏微分方程式である。シュレーディンガー方程式が量子波動関数の時間発展を与え、拡散方程式が化学濃度の時間発展を与えるのと同様に、確率分布関数が時間とともにどのように発展するかを示す 。あるいは、モンテカルロシミュレーションによって数値解を得ることもできる。その他の手法としては、統計物理学と量子力学の類似性を利用した経路積分（例えば、フォッカー・プランク方程式はいくつかの変数を再スケーリングすることでシュレーディンガー方程式に変換できる）や、確率分布関数の統計モーメントについて常微分方程式を書き下すことなどが挙げられる。 ^[要出典]

確率論と数理ファイナンスにおける利用

確率論（およびフィルタリング問題を伴う信号処理や数理ファイナンスなど、確率論の多くの応用分野）で使用される表記法は若干異なります。これは、確率微分方程式を解く数値解析に関する出版物でも使用される表記法です。この表記法は、物理学の定式化における時間のランダム関数の特異な性質をより明確にします。厳密な数学的用語で言えば、 は 通常の関数として選択することはできず、一般化関数としてのみ選択できます。数学的定式化は、この複雑な問題を物理学の定式化よりも曖昧さが少なく扱います。 ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$

典型的な方程式は次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}$

ここでウィーナー過程（標準ブラウン運動）を表す。この式は、対応する積分方程式を非公式に表現したものとして解釈されるべきである。 ${\displaystyle B}$

${\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}$

上式は、連続時間 確率過程 X _tの挙動を、通常のルベーグ積分とイトウ積分の和として特徴付けています。確率微分方程式の発見的（しかし非常に役立つ）解釈は、長さδの微小時間間隔において、確率過程X _tの値が、期待値 μ ( X t , t ) δ と分散σ ( X _t ,  t )  2 δで正規分布する_量だけ 変化し^、その過程の過去の挙動とは独立しているというものです。これは、ウィーナー過程の増分が独立しており正規分布しているためです。関数μはドリフト係数、σは拡散係数と呼ばれます。確率過程X _tは拡散過程と呼ばれ、マルコフ性 を満たします。^[1]  

SDE の正式な解釈は、SDE の解を構成する要素に基づいて行われます。SDE の解には、主に 2 つの定義、すなわち強解と弱解があります^{[1]。どちらも、SDE の積分方程式版を解くプロセス}X _tの存在を必要とします。この 2 つの違いは、その基礎となる確率空間( ) にあります。弱解は確率空間と積分方程式を満たすプロセスで構成されますが、強解は方程式を満たし、与えられた確率空間上で定義されるプロセスです。山田・渡辺の定理は、この 2 つを結び付けています。 ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$

重要な例としては、幾何ブラウン運動の方程式が挙げられる。

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

これは金融数学のブラック・ショールズオプション価格モデル^[2]における株価のダイナミクスを表す方程式である。

幾何ブラウン運動を一般化すると、強い解を許容し、分布が異なる幾何ブラウン運動またはブラック・ショールズ・モデルから得られる密度の凸結合であるSDEを定義することも可能であり、解が異なるブラック・ショールズ・モデルの対数正規分布の混合ダイナミクスとして分布する単一のSDEが得られる。^{[2] [17] [18] [19]}これにより、金融数学におけるボラティリティ・スマイルを処理できるモデルが生まれる。

より単純なSDEは算術ブラウン運動と呼ばれる^[3]

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}$

1900年にルイ・バシュリエによって株価の最初のモデルとして使用され、今日ではバシュリエモデルとして知られています。

より一般的な確率微分方程式もあり、係数μとσはプロセスX _tの現在値だけでなく、プロセスの過去の値、さらには他のプロセスの現在値または過去の値にも依存します。この場合、解のプロセスXはマルコフ過程ではなく、拡散過程ではなくイトー過程と呼ばれます。係数がXの現在値と過去の値のみに依存する場合、定義方程式は確率遅延微分方程式と呼ばれます。

フィスク＝ストラトノビッチ積分を含む確率微分方程式をジャンプ付きセミマルチンゲールに一般化すると、マーカス型SDEとなる。マーカス積分はマクシェーンの確率微分積分の拡張である。^[20]

確率的ファイナンスへの応用は、オルンシュタイン・ウーレンベック過程の方程式の使用から得られる。

${\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

これは、株価のリターンが対数正規分布に従うという仮説に基づく、株価のリターンのダイナミクスを表す式である。この仮説に基づき、マルチェロ・ミネナが開発した手法は、市場の濫用現象を隠蔽する可能性のある異常なリターンを特定できる予測区間を決定する。^{[21] [22]}

多様体上のSDE

より一般的には、確率微分理論を微分多様体へと拡張することができ、この目的のためにフィスク＝ストラトノビッチ積分が用いられる。多様体、有限次元ベクトル空間、通常の条件を満たすフィルタリングされた確率空間を考え、を一点コンパクト化、 を-可測とする。上の確率微分方程式は、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ ${\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=A(X)\circ dZ}$

はペアであり、 ${\displaystyle (A,Z)}$

• ${\displaystyle Z}$は連続値セミマルチンゲールであり、 ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e}$は上のベクトル束の準同型です。 ${\displaystyle M}$

それぞれについて、マップは線形であり、それぞれについてです。 ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle A(x):E\to T_{x}M}$ ${\displaystyle A(\cdot )e\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle e\in E}$

初期条件を持つSDEの解は、寿命時間まで連続的に適応された値プロセスであり、各テスト関数に対してプロセスは実数値セミマルチンゲールであり、各停止時間に対して方程式 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X_{t})_{t<\zeta }}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 0\leq \tau <\zeta }$

${\displaystyle f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z}$

ほぼ確実に成立する。ここで、は における微分である。寿命が最大となる場合、すなわち、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}}$

${\displaystyle P}$-ほぼ確実です。これは、各テスト関数がセミマルチンゲールであることから、 は上のセミマルチンゲールであることがわかります。最大解が与えられれば、 の時間をまで延長することができ、を まで延長すると、 ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {M}}}$

${\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0}$

区別できない過程までである。^[23]多様体上の SDE としては連鎖律を満たし、ドリフト係数と拡散係数が座標変換の下でベクトル場として振舞うことから、ストラトノビッチ SDE が自然な選択であるが、多様体上の伊藤計算の方が好ましい場合もある。多様体上の伊藤計算の理論は、シュワルツ写像の概念を通してローラン・シュワルツによって初めて開発された。 ^[6]ジェット束に基づく多様体上の伊藤 SDE の関連する 2 ジェット解釈も参照。^[8]この解釈は、大きな空間上で与えられた SDE の解をその空間の部分多様体上で与えられた SDE の解で最適に近似しようとするときに役立つ。 ^{[9]ストラトノビッチに基づく射影は最適にならないという点で。これは}フィルタリング問題に適用され、最適な射影フィルタを導いている。^[9]

荒れた道として

通常、SDEの解は確率的な設定を必要とする。なぜなら、解に暗黙的に含まれる積分は確率積分だからである。もし微分方程式をパスごとに扱うことができれば、確率積分を定義する必要はなく、確率論とは独立に理論を展開できる。これは、SDEを

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}$

は任意の に対して単一の決定論的微分方程式として定義される。ここで は与えられた確率空間 ( ) 内のサンプル空間である。しかし、ブラウン運動の経路は無制限に変化し、確率 1 で微分可能な箇所はどこにもないため、SDE の直接的な経路ごとの解釈は不可能であり、 のような用語に意味を与える単純な方法はなく、すべての に対する積分としての確率積分の単純な経路ごとの定義も排除される。しかし、正規ノイズを含む SDE の解の極限に関するWong-Zakai の結果^{[24]に動機づけられ、}ラフ パス理論を使用し、ブラウン運動の反復積分の選択定義を追加することで、反復ブラウン積分の特定の選択に対して、たとえば確率 1 で伊藤積分と一致するすべての に対して決定論的な大まかな積分を定義することができる。 ^[24]反復積分のその他の定義は、ストラトノビッチ積分のようなさまざまな確率積分の決定論的な経路ごとの等価物につながる。これは例えば金融数学において、確率なしでオプションの価格を決めるのに使われてきました。^[25] ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

解の存在と一意性

決定論的常微分方程式および偏微分方程式と同様に、与えられたSDEに解が存在するかどうか、そしてそれが一意であるかどうかを知ることは重要です。以下は、n次元ユークリッド空間R ⁿに値を取り、 m次元ブラウン運動Bによって駆動される伊藤SDEの典型 的な存在定理および一意性定理です。証明はØksendal (2003, §5.2)に記載されています。^[3]

T  > 0とし、

${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}$

${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}$

定数CとDが存在する測定可能な関数であって、

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}$

すべてのt  ∈ [0,  T ] およびすべてのxおよびy  ∈  R ⁿに対して、ここで

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

ZをB _s、s ≥ 0によって生成されるσ代数から独立し 、有限の2次モーメントを持つランダム変数とします。

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

すると、確率微分方程式/初期値問題

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{0}=Z;}$

P-ほぼ確実に唯一のt連続解 ( t ,  ω ) ↦  X _t ( ω ) を持ち、XはZとB _s , s  ≤  tによって生成されるフィルトレーションF _t ^Zに適合し、

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

一般的なケース：局所リプシッツ条件と最大解

上記の確率微分方程式は、より一般的な形式の特殊なケースに過ぎない。

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}}$

どこ

• ${\displaystyle X}$は連続セミマルチンゲールであり、 は連続セミマルチンゲールである。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$
• ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$は、ある空でない開集合 からの写像であり、はから へのすべての線型写像の空間である。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

より一般的には、多様体上の確率微分方程式を見ることもできます。

この方程式の解が爆発するかどうかは、 の選択に依存する。が何らかの局所リプシッツ条件、すなわち に対して 、何らかのコンパクト集合と何らかの定数 を満たすと仮定すると、条件 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle L(t,K)}$

${\displaystyle |\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,}$

ここではユークリッドノルムです。この条件は、いわゆる最大解の存在と一意性を保証します。 ${\displaystyle |\cdot |}$

が連続で、上記の局所リプシッツ条件を満たすと仮定し、何らかの初期条件、つまり初期σ-代数に関して測定可能な関数とします。ほぼ確実に予測可能な停止時間を とします。値セミマルチンゲールはの最大解と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F:\Omega \to U}$ ${\displaystyle \zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}}$ ${\displaystyle \zeta >0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (Y_{t})_{t<\zeta }}$

${\displaystyle dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F}$

生涯 にわたって​ ${\displaystyle \zeta }$

• 停止したプロセスを宣言することは、停止した確率微分方程式の解である。 ${\displaystyle \zeta _{n}\nearrow \zeta }$ ${\displaystyle Y^{\zeta _{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}}$

• 集合上ではほぼ確実に となる。[ ^26] ${\displaystyle \{\zeta <\infty \}}$ ${\displaystyle Y_{t}\to \partial U}$ ${\displaystyle t\to \zeta }$

${\displaystyle \zeta }$いわゆる爆発時間でもあります。

明示的に解ける例

明示的に解けるSDEには以下のものがある: ^[11]

線形SDE: 一般的なケース

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)d(s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}d(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

どこ

${\displaystyle \Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

既約SDE：ケース1

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

与えられた微分可能関数に対しては、ストラトノビッチSDEと同等である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}}$

一般解が存在する

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}$

どこ

${\displaystyle h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}}$

既約SDE：ケース2

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

与えられた微分可能関数に対しては、ストラトノビッチSDEと同等である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}}$

これは次のように還元できる。

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}}$

ここで、は前述と同様に定義される。その一般解は ${\displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}$

SDEと超対称性

SDEの超対称理論において、確率力学は、モデルの位相／状態空間上の微分形式に作用する確率的発展作用素を介して定義されます。この確率力学の定式化では、すべてのSDEは位相空間の連続性が連続的な時間の流れによって維持されることを表す位相的超対称性を有します。この超対称性の自発的な破れは、分野を超えてカオスとして知られる普遍的な力学現象の数学的本質です。

参照

• 後方確率微分方程式
• ランジュバン力学
• 局所的な変動
• 確率過程
• 確率的ボラティリティ
• 確率偏微分方程式
• 拡散プロセス
• 確率差分方程式
• 確率力学の超対称理論

参考文献

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18. Brigo, Damiano ; Mercurio, Fabio (2002). 「対数正規混合ダイナミクスと市場ボラティリティスマイルへのキャリブレーション」. International Journal of Theoretical and Applied Finance . 5 (4): 427– 446. doi :10.1142/S0219024902001511.
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20. スティーブン・マーカス (1981)、「セミマルチゲールによる確率微分方程式のモデリングと近似」、Stochastics 、第4巻、 223～ 245頁 
21. 「市場濫用の検出」『リスクマガジン』2004年11月2日。
22. 「金融市場におけるMarket Abuseの検出：定量的アプローチ」Consob – イタリア証券取引委員会。
23. ヴォルフガング、ハッケンブロッホ;タルマイヤー、アントン (1994)。確率分析: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale (ドイツ語)。 Vieweg+Teubner Verlag ヴィースバーデン。 p. 364-365。ISBN 978-3-519-02229-9。
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25. Armstrong, J., Bellani, C., Brigo, D., Cass, T. (2021). 確率を考慮しないオプション価格モデル：ラフパスアプローチ. Mathematical Finance, vol. 31, pages 1494–1521.
26. ヴォルフガング、ハッケンブロッホ;タルマイヤー、アントン (1994)。確率分析: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale (ドイツ語)。 Vieweg+Teubner Verlag ヴィースバーデン。ページ 297–299。ISBN​​ 978-3-519-02229-9。

さらに読む

• エヴァンス、ローレンス C. (2013). 確率微分方程式入門 アメリカ数学会.
• ジョージ・アドミアン (1983).確率システム. 科学と工学における数学 (169). オーランド, フロリダ州: Academic Press Inc.
• アドミアン、ジョージ（1986）『非線形確率作用素方程式』オーランド、フロリダ州：Academic Press Inc. ISBN 978-0-12-044375-8。
• アドミアン、ジョージ (1989).非線形確率システム理論と物理学への応用. 数学とその応用 (46). ドルドレヒト: クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ・グループ.
• Calin, Ovidiu (2015).確率微積分学入門とその応用. シンガポール: World Scientific Publishing. p. 315. ISBN 978-981-4678-93-3。
• Teugels, J.; Sund, B. 編 (2004). 『保険数理科学百科事典』 チチェスター: Wiley. pp.  523– 527.
• ガーディナー、CW (2004). 『確率論的手法ハンドブック：物理学、化学、自然科学のために』 シュプリンガー. p. 415.
• ミコシュ、トーマス (1998). 『初等確率微積分学：ファイナンスの観点から』 シンガポール: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7。
• Seifedine Kadry (2007). 「線形確率微分方程式の解」. WSEAS Transactions on Mathematics . 米国: WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS, 2007年4月.: 618. ISSN  1109-2769.
• Higham, Desmond J. (2001年1月). 「確率微分方程式の数値シミュレーションへのアルゴリズム的入門」. SIAM Review . 43 (3): 525– 546. Bibcode :2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX  10.1.1.137.6375 . doi :10.1137/S0036144500378302.
• デズモンド・ハイアムとピーター・クローデン：「確率微分方程式の数値シミュレーション入門」、SIAM、ISBN 978-1-611976-42-7（2021年）。

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