31平均律

音楽において、31平均律（31 ET）は、31 TET（31 tone ET）または31 EDO（equal division of the octave）とも略され、トリセシモプライマル（tricesimoprimal ）とも呼ばれ、オクターブを31の均等な音程（等周波数比）に分割することで得られる平均律です。各音程^は³¹ √ 2 、つまり38.71 セント（Play ^ⓘ ）の周波数比を表します。

31 EDOは、クォーターコンマ・ミーントーン音律の非常に正確な近似値であるとよく考えられています。より一般的には、図1に示すように、平均律の完全5度が696.77セントに相当する、規則的な全音階調律です。同型キーボードでは、音符が正しく綴られている限り、 31 EDOで作曲された楽曲の運指は、他のシントニック調律（例えば12 EDO）と全く同じです。つまり、異名同音性を前提としていません。

歴史と用途

オクターブを31音階に分割する考え方は、ルネサンス音楽理論から自然に生まれたものです。1オクターブと長3度の比率である小ディエシス（128:125、つまり41.06セント）は音、または半音の5分の2に相当します。1555年、ニコラ・ヴィチェンティーノは31音からなる拡張中全音律を提案しました。1666年、レム・ロッシは初めてこの順序の平均律を提案しました。1691年、科学者クリスティアーン・ホイヘンスもこれを独自に発見し、それについて著述しました。^[2]当時の標準的な調律法は四分音符ミーントーン（ 5度を4√5^に調律する） であったため、この方法の魅力はすぐに明らかになった。31EDOの5度は696.77セントで、四分音符ミーントーンの5度よりわずか0.19セント広いだけである。ホイヘンスはこれに気づいただけでなく、さらに進んで、31EDOが7度音程、つまり7つの限界和音に非常によく近似していることを指摘した。

20世紀、物理学者、音楽理論家、作曲家でもあるアドリアーン・フォッカーは、ホイヘンスの著作を読んだ後、この調律法への関心を再び呼び起こし、特にオランダの作曲家による多くの作品を生み出しました。フォッカーは31音平均律オルガンであるフォッカーオルガンを設計しました。このオルガンは1951年にハールレムのテイラー博物館に設置され、2010年にハールレム音楽院に移設されました。移設以来、コンサートで頻繁に使用されています。

間隔サイズ

一般的な間隔のサイズは次のとおりです。

間隔名	サイズ（ステップ）	サイズ（セント）	MIDI オーディオ	公正比率	ちょうど（セント）	MIDI オーディオ	誤差（セント）
オクターブ	31	1200		2:1	1200		0
短七度	26	1006.45		9時5分	1017.60		−11.15
重音厳密な短七度	26	1006.45		16:9	996.09		+10.36
和声七度、下短七度、増六度	25	967.74	プレイ^ⓘ	7時4分	968.83	プレイ^ⓘ	− 1.09
短6度	21	812.90	プレイ^ⓘ	8時5分	813.69	プレイ^ⓘ	− 0.78
増五度	20	774.19		25:16	772.63
完全五度	18	696.77	プレイ^ⓘ	3:2	701.96	プレイ^ⓘ	− 5.19
大七音三全音、減五度	16	619.35		10:7	617.49		+ 1.87
小七音三全音、増四度	15	580.65	プレイ^ⓘ	7時5分	582.51	プレイ^ⓘ	− 1.86
10進法三全音、半増4度、第11倍音	14	541.94	プレイ^ⓘ	11:8	551.32	プレイ^ⓘ	− 9.38
完全4度	13	503.23	プレイ^ⓘ	4:3	498.04	プレイ^ⓘ	+ 5.19
七分音符の狭四度、半減四度	12	464.52	プレイ^ⓘ	21:16	470.78	プレイ^ⓘ	− 6.26
31進法の増3度と長3度	12	464.52	プレイ^ⓘ	13時10分	454.21	プレイ^ⓘ	+10.31
7度音程の長3度	11	425.81	プレイ^ⓘ	9時7分	435.08	プレイ^ⓘ	− 9.27
減四度	11	425.81	プレイ^ⓘ	32:25	427.37	プレイ^ⓘ	− 1.56
10進法の長3度	11	425.81	プレイ^ⓘ	14:11	417.51	プレイ^ⓘ	+ 8.30
長三度	10	387.10	プレイ^ⓘ	5:4	386.31	プレイ^ⓘ	+ 0.79
三十進法の中立三分の一	9	348.39	プレイ^ⓘ	16:13	359.47	プレイ^ⓘ	−11.09
小数点以下の中立3分の1	9	348.39	プレイ^ⓘ	11:9	347.41	プレイ^ⓘ	+ 0.98
短3度	8	309.68	プレイ^ⓘ	6時5分	315.64	プレイ^ⓘ	− 5.96
短7度音程	7	270.97	プレイ^ⓘ	7時6分	266.87	プレイ^ⓘ	+ 4.10
七分音全音	6	232.26	プレイ^ⓘ	8時7分	231.17	プレイ^ⓘ	+ 1.09
全音、長音	5	193.55	プレイ^ⓘ	9時8分	203.91	プレイ^ⓘ	−10.36
全音、長二度	5	193.55	プレイ^ⓘ	28:25	196.20		− 2.65
中音、長二度	5	193.55		√5 : 2	193.16		+ 0.39
全音、短音	5	193.55	プレイ^ⓘ	10:9	182.40	プレイ^ⓘ	+11.15
より大きい小数点中立秒	4	154.84	プレイ^ⓘ	11時10分	165.00		−10.16
小数点以下の中立秒	4	154.84	プレイ^ⓘ	12時11分	150.64	プレイ^ⓘ	+ 4.20
七分音階半音	3	116.13	プレイ^ⓘ	15:14	119.44	プレイ^ⓘ	− 3.31
全音階の半音、短二度	3	116.13	プレイ^ⓘ	16時15分	111.73	プレイ^ⓘ	+ 4.40
七分音階半音	2	77.42	プレイ^ⓘ	21時20分	84.47	プレイ^ⓘ	− 7.05
半音階、増音階	2	77.42	プレイ^ⓘ	25:24	70.67	プレイ^ⓘ	+ 6.75
小文字	1	38.71	プレイ^ⓘ	128:125	41.06	プレイ^ⓘ	− 2.35
10進数の小数点	1	38.71	プレイ^ⓘ	45:44	38.91	プレイ^ⓘ	− 0.20
七分音節	1	38.71	プレイ^ⓘ	49:48	35.70	プレイ^ⓘ	+ 3.01

31平均律は7:6、8:7、7:5の比率に非常に近いが、これらの比率は12平均律では近似できず、 19平均律でもあまり適合しない。作曲家のジョエル・マンデルバウム（1932年生まれ）は、特にこの調律システムを使用した。これは、倍音列の第7部分音と第11部分音との適合性が良いためである。^{[3]この調律は、9:8と10:9の音程（純正律の長音と短音）との適合性は悪いが、2つの音の}平均との適合性は良い。実際には、1/4コンマ・ミーントーンに非常に近い。

この調律は、中全音律とみなすことができます。4つの5度音程の連鎖が長3度音程と等しくなるという必須の特性（シントニック・コンマ81:80は調律により除去されます）を備えており、これはまた、半音階と全音階の半音をそれぞれ1つずつ組み合わせることで、10:9と9:8の間の大きさの「中全音」を含むことを意味します。

スケール図

この音階の 31 の音符は次のとおりです。

間隔（セント）		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39
音符名	あ		G ^𝄪# B ^𝄫		A ^＃		ロ^♭		A ^𝄪 C ^𝄫		B		ハ^♭		B ^＃		C		B ^𝄪 D ^𝄫		ハ^＃		D ^♭		C ^𝄪 E ^♭𝄫		D		C ^𝄪＃ E ^𝄫		D ^＃		E ^♭		D ^𝄪 F ^𝄫		E		F ^♭		E ^＃		F		E ^𝄪 G ^𝄫		F ^＃		ソ^♭		F ^𝄪 A ^♭𝄫		G		F ^𝄪# A ^𝄫		G ^＃		A ^♭		G ^𝄪 B ^♭𝄫		あ
音価（セント）	0		39		77		116		155		194		232		271		310		348		387		426		465		503		542		581		619		658		697		735		774		813		852		890		929		968		1006		1045		1084		1123		1161		1200

5 つの「ダブルフラット」音符と 5 つの「ダブルシャープ」音符は、四分音階システムと同様に、ハーフシャープとハーフフラットに置き換えることができます。

間隔（セント）		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39		39
音符名	あ		あ		A#		B♭		B		B		B		C		C		C		ハ＃		D♭		D		D		D		D#		E♭		E		E		E		F		F		F		F#		ソ♭		G		G		G		G#		A♭		あ		あ
音価（セント）	0		39		77		116		155		194		232		271		310		348		387		426		465		503		542		581		619		658		697		735		774		813		852		890		929		968		1006		1045		1084		1123		1161		1200

スケール

サイン	規模							鍵
15シャープ	G𝄪	A𝄪	B𝄪（=D𝄫）	C𝄪	D𝄪	E𝄪 (=G𝄫)	F### (=A𝄫)	G𝄪メジャー、E𝄪マイナー
14シャープ	C𝄪	D𝄪	E𝄪 (=G𝄫)	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B𝄪（=D𝄫）	ハ長調、イ短調
13シャープ	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	E𝄪 (=G𝄫)	F𝄪メジャー、D𝄪マイナー
12シャープ	B#	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#メジャー、G#マイナー
11シャープ	E#	F𝄪	G𝄪	A#	B#	C𝄪	D𝄪	E#メジャー、C#マイナー
10シャープ	A#	B#	C𝄪	D#	E#	F𝄪	G𝄪	A#メジャー、F#マイナー
9シャープ	D#	E#	F𝄪	G#	A#	B#	C𝄪	D#メジャー、B#マイナー
8シャープ	G#	A#	B#	ハ＃	D#	E#	F𝄪	G#メジャー、E#マイナー
7シャープ	ハ＃	D#	E#	F#	G#	A#	B#	C#メジャー、A#マイナー
6シャープ	F#	G#	A#	B	ハ＃	D#	E#	F#メジャー、D#マイナー
5シャープ	B	ハ＃	D#	E	F#	G#	A#	ロ長調、ト短調
4シャープ	E	F#	G#	あ	B	ハ＃	D#	ホ長調、ハ短調
3シャープ	あ	B	ハ＃	D	E	F#	G#	A長調、F#短調
2シャープ	D	E	F#	G	あ	B	ハ＃	ニ長調、ロ短調
1シャープ	G	あ	B	C	D	E	F#	ト長調、ホ短調
—	C	D	E	F	G	あ	B	ハ長調、イ短調
1フラット	F	G	あ	B♭	C	D	E	ヘ長調、ニ短調
2つのアパート	B♭	C	D	E♭	F	G	あ	ロ長調、ト短調
3つのアパート	E♭	F	G	A♭	B♭	C	D	E♭メジャー、Cマイナー
4つのアパート	A♭	B♭	C	D♭	E♭	F	G	A♭メジャー、Fマイナー
5つのフラット	D♭	E♭	F	ソ♭	A♭	B♭	C	D♭メジャー、B♭マイナー
6つのフラット	ソ♭	A♭	B♭	C♭	D♭	E♭	F	G♭メジャー、E♭マイナー
7つのフラット	C♭	D♭	E♭	F♭	ソ♭	A♭	B♭	C♭メジャー、A♭マイナー
8つのフラット	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	D♭	E♭	F♭メジャー、D♭マイナー
9つのフラット	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	A♭	B♭メジャー、G♭マイナー
10フラット	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	D♭	E♭メジャー、C♭マイナー
11 フラット	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	ソ♭	A♭メジャー、F♭マイナー
12戸のアパート	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫メジャー、B𝄫マイナー
13戸のアパート	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫（=A𝄪）	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫メジャー、E𝄫マイナー
14戸のアパート	C𝄫（=A𝄪）	D𝄫	E𝄫	F𝄫（=D𝄪）	G𝄫	A𝄫	B𝄫	ハ長調、イ短調
15戸のアパート	F𝄫（=D𝄪）	G𝄫	A𝄫	B♭♭♭ (=G𝄪)	C𝄫（=A𝄪）	D𝄫	E𝄫	F𝄫メジャー、D𝄫マイナー

⁠の比較 1 /4⁠コンマ・ミーントーン、31 EDO（セント単位小数点第2位まで四捨五入）
	C	ハ＃	D♭	D	D#	E♭	E	E#	F	F#	ソ♭	G	G#	A♭	あ	A#	B♭	B	C♭	C
⁠ 1 /4⁠カンマ:	0.00	76.05	117.11	193.16	269.21	310.26	386.31	462.36	503.42	579.47	620.53	696.58	772.63	813.69	889.74	965.78	1006.84	1082.89	1123.95	1200.00
31江戸:	0.00	77.42	116.13	193.55	270.97	309.68	387.10	464.52	503.23	580.65	619.35	696.77	774.19	812.90	890.32	967.74	1006.45	1083.87	1122.58	1200.00

31平均律の和音

31 EDOの多くのコードは、七分音律の記事で解説されています。そこでは解説されていないコードには、C-Eと表記される中立三度三和音（Play ^{ⓘ ）があります。}–G、C–D𝄪–G または C–F𝄫–G、およびオーウェル四分音階 (C–E–F𝄪–B𝄫)。

C サブマイナー、C マイナー、C メジャー、C スーパーメジャー（A ♭がトップ）31 EDO

31 EDOでは、メジャーコードのような一般的なコードは、3度と5度が非常によく近似されているため、非常にきれいに再現されます。また、サブマイナーコード（最初の3度がサブマイナー）やスーパーメジャーコード（最初の3度がスーパーメジャー）も演奏可能です。

ハ七度とト短調、31 EDOで2回、その後12 EDOで2回

ハーモニックセブンスコードも美しく表現できます。例えば、トニックCではC–E–G–A#となります。ここでのセブンスは、5度と短3度を重ねるのとは異なり、B ♭となってドミナントセブンスとなります。この違いは12EDOでは表現できません。

脚注

^ Keislar (1991) の雑誌記事 ^[3]のタイトルに記載されている以下の作曲家については、Wikipedia に記事があります。
イーズリー・ブラックウッド
ジョン・イートン
ルー・ハリソン
ベン・ジョンストン
ジョエル・マンデルバウム

参照

アルキチェンバロは、1 オクターブあたり 36 個のキーを持つ代替キーボード楽器で、31 EDOとして調律されることもありました。

参考文献

^ ab Milne, A.; Sethares, WA ; Plamondon, J. (2007年冬). 「同型コントローラとダイナミックチューニング：チューニング連続体における不変運指」. Computer Music Journal . 31 (4): 15– 32 – via mitpressjournals.org.
^ Monzo, Joe (2005). 「平均律」. Tonalsoft 微分音音楽理論百科事典. Joe Monzo / Tonalsoft . 2019年2月28日閲覧。
^ ab Keislar, Douglas (1991年冬). 「非標準的なチューニングについて語る6人のアメリカ人作曲家：イーズリー・ブラックウッド、ジョン・イートン、ルー・ハリソン、ベン・ジョンストン、ジョエル・マンデルバウム、ウィリアム・ショットシュテット」『パースペクティブス・オブ・ニュー・ミュージック』29 (1): 176–211 . JSTOR 833076.^[あ]

外部リンク

メインページ。ホイヘンス・フォッカー微分音音楽財団 (huygens-fokker.org) (オランダ語と英語)。
フォッカー、アドリアーン・ダニエル. 「平均律と31鍵オルガン」ホイヘンス・フォッカー微分音音楽財団 (huygens-fokker.org) .
ラポポート、ポール. 「31音平均律について」ホイヘンス・フォッカー微分音音楽財団 (huygens-fokker.org) .
テルプストラ、シーメン. 「ミーントーン（および31 ET）和声理論に向けて」ホイヘンス・フォッカー微分音音楽財団 (huygens-fokker.org) .
バルビエリ、パトリツィオ (2008)。調和のとれた楽器と音楽、1470 ～ 1900 年。ラティーナ: Il Levante Libreria Editrice。 2009 年 2 月 15 日のオリジナルからアーカイブ – patriziobarbieri.it 経由。
Khramov, M. (2009). 31 EDOスケールにおける 7 限界純正律への近似. FRSM-2009 国際シンポジウム音声音楽研究の最前線. ABV IIITM グワリオール. pp. 73– 82.
「31音平均律」。31et.com （メインページ）。

[4] ^ Keislar (1991) の雑誌記事 ^[3]のタイトルに記載されている以下の作曲家については、Wikipedia に記事があります。
イーズリー・ブラックウッド
ジョン・イートン
ルー・ハリソン
ベン・ジョンストン
ジョエル・マンデルバウム

[Milne-Sethares-Plamondon-2007-1] Milne, A.; Sethares, WA ; Plamondon, J. (2007年冬). 「同型コントローラとダイナミックチューニング：チューニング連続体における不変運指」. Computer Music Journal . 31 (4): 15– 32 – via mitpressjournals.org.

[2] Monzo, Joe (2005). 「平均律」. Tonalsoft 微分音音楽理論百科事典. Joe Monzo / Tonalsoft . 2019年2月28日閲覧。

[Keislar-1991-3] Keislar, Douglas (1991年冬). 「非標準的なチューニングについて語る6人のアメリカ人作曲家：イーズリー・ブラックウッド、ジョン・イートン、ルー・ハリソン、ベン・ジョンストン、ジョエル・マンデルバウム、ウィリアム・ショットシュテット」『パースペクティブス・オブ・ニュー・ミュージック』29 (1): 176–211 . JSTOR 833076.^[あ]