7次三角形タイル

7次三角形タイル
7次三角形タイル
双曲面のポアンカレ円板モデル
タイプ双曲正規タイリング
頂点構成3 7
シュレーフリ記号{3,7}
ウィトフ記号7 | 3 2
コクセター図
対称群[7,3]、(*732)
デュアル七角形のタイル張り
プロパティ頂点推移、辺推移、面推移

幾何学において、7 次三角形タイリングは、シュレーフリ記号{3,7}を持つ双曲平面の規則的なタイリングです。

{3,3,7}ハニカムには{3,7}頂点図形があります。

ハーウィッツ表面

タイル張りの対称群は(2,3,7)三角形群であり、この作用の基本領域は(2,3,7)シュワルツ三角形である。これは最小の双曲型シュワルツ三角形であり、したがって、フルヴィッツの自己同型定理の証明により、タイル張りはすべてのフルヴィッツ面（最大対称群を持つリーマン面）を覆う普遍タイル張りであり、それらの対称群がリーマン面としての自己同型群に等しい三角形分割を与える。

これらの中で最も小さいのはクライン四次曲面であり、これは最も対称性の高い種数3の曲面であり、24頂点で交わる56個の三角形で覆われ、対称群はPSL(2,7)として知られる位数168の単純群である。結果として得られる曲面は、ユークリッド三次元空間に多面体的に浸漬することができ、小さな立方立方八面体となる。[1]

双対の3 次七角形タイリングは同じ対称群を持ち、したがって、フルヴィッツ面の七角形タイリングが生成されます。


7次の三角形タイルの対称群は(2,3,7)シュワルツ三角形を基本領域とし、このタイルを生成します。
小さな立方立方八面体はクラインの四次多面体[ 1]の多面体浸漬であり、すべてのフルヴィッツ面と同様に、このタイリングの商である。

これは、同じ頂点配置による 2 つの星型タイリング、つまり 7 次ヘプタグラム タイリング({7/2,7}) と、ヘプタグラム次七角形タイリング({7,7/2}) と関連しています。

このタイリングは、 Schläfli 記号{3,p}を持つ正多面体のシーケンスの一部として位相的に関連付けられています。

*通常のタイリングのn 32対称変異: {3, n }
球状ユークリッド。コンパクトハイパー。パラコ。非コンパクト双曲型
3.33 33 43 53 6373 83 ∞3 12i3 9i3 6i3 3i

このタイリングは正規列{ n ,7}の一部です。

{ n ,7}形式のタイル
球状双曲タイル

{2,7}

{3,7}

{4,7}

{5,7}

{6,7}

{7,7}

{8,7}
...
{∞,7}

ウィトフ構築では、通常の七角形タイリングを基にして、 8 つの双曲均一タイリングを作成できます。

元の面には赤、元の頂点には黄色、元のエッジには青で色付けしたタイルを描くと、8 つのフォームがあります。

均一な七角形/三角形のタイル
対称性: [7,3], (*732)[7,3] + , (732)
{7,3}t{7,3}r{7,3}t{3,7}{3,7}rr{7,3}tr{7,3}sr{7,3}
ユニフォームデュアル
V73バージョン3.14.14バージョン3.7.3.7バージョン6.6.7V3 7バージョン3.4.7.4バージョン4.6.14V3.3.3.3.7

参照

ウィキメディア コモンズには、オーダー 7 の三角形タイル張りに関連するメディアがあります。

参考文献

  1. ^ ab (リヒター) 多面体の各面は、タイリングにおいて複数の面で構成されていることに注意してください。2 つの三角形の面は正方形の面を構成し、以下同様です。この説明画像は、Wayback Machineで 2016 年 3 月 3 日にアーカイブされています。
  • ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第19章 双曲アルキメデスのモザイク細工）
  • 「第10章：双曲空間における正則ハニカム」『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8。LCCN  99035678。
  • Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M24、2010年1月16日アーカイブ、 2010年4月15日閲覧。
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