六角形のタイル

六角形のタイル
六角形のタイル
タイプ	通常のタイリング
タイル	正六角形
頂点構成	6.6.6
壁紙グループ	p6m
デュアル	三角形のタイル
プロパティ	頂点推移、辺推移、面推移

幾何学において、六角形タイル張り（hexagonal tiled ）または六角形モザイク張り（hexagonal tessellation ）は、ユークリッド平面上の規則的なタイル張りであり、各頂点でちょうど3つの六角形が交わる。シュレーフリ記号は ${6,3}$ 、または（切頂三角形のタイル張りとして） ${3,6}$ $で$ ある。

イギリスの数学者ジョン・コンウェイはそれをヘクスティルと呼んだ。

六角形の内角は120度なので、3つの六角形を1点に並べると360度になります。これは平面における3つの規則的なタイリングのうちの1つです。他の2つは三角形のタイリングと正方形のタイリングです。

構造と特性

六角形タイル張りは、正六角形のみを原型とし、他の同一の頂点と2つの頂点を共有する構造で、単面体タイル張りの一例である。^[1]タイル張りの各頂点は3つの正六角形に囲まれており、頂点配置によってと示される。^[2]六角形タイル張りの双対は三角形タイル張りである。これは、各六角形タイルの中心が別の六角形タイルの中心と接続し、正三角形を形成するためである。^[3] $6.6.6$

六角形タイリングにおいて、互いに接するすべての頂点、辺、タイルは、対称操作によって最初の頂点、辺、タイルを2番目の頂点、辺、タイルに写像することで、他の頂点、辺、タイルに推移的に作用します。言い換えれば、これらは頂点推移（タイルの頂点を別のタイルに写像）、辺推移（辺を別のタイルに写像）、面推移（正六角形タイルを別のタイルに写像）です。これらから、六角形タイリングは3つの正六角形タイリングのいずれかに分類されます。残りは、その双対タイリングと正六角形タイリングです。^[4]六角形タイリングの対称群はp6mです。[ 5 ^]

アプリケーション

各六角形に円が内接する場合、結果として得られる図形は2次元で円を配置する最も稠密な方法であり、その充填密度はである。^[6]ハニカム定理は、六角形にタイルを敷き詰めることが、表面を最小の総周囲長で等しい面積の領域に分割する最良の方法であると述べている。^[7]ハニカム（またはシャボン玉）を作るための最適な3次元構造は、ケルビン卿によって研究され、ケルビン構造（または体心立方格子）が最適であると信じた。しかし、より規則性に欠けるウィア・フェラン構造の方がわずかに優れている。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.907}$

六角形のタイル構造は、強い炭素共有結合を持つグラフェンシートのように、自然界によく見られます。管状のグラフェンシートは合成されており、カーボンナノチューブとして知られています。^[8]高い引張強度と電気特性を有するため、多くの用途が期待されています。シリセンはグラフェンに類似した構造を持っています。

チキンワイヤーは六角形の格子状のワイヤーで構成されていますが、その形状は規則的ではありません。^[9]

カーボンナノチューブは円筒面上の六角形のタイルとして見ることができる
六角形のペルシャタイル、 1955年頃
ニューヨークで六角形のトライリンカ舗装が崩壊

六方格子は多くの結晶に見られます。三次元では、面心立方格子と六方最密充填が一般的な結晶構造です。これらは三次元で最も密な球の充填構造です。構造的には、グラファイトの構造に似た、六方格子の平行層で構成されています。両者は層が互いにずらされている点で異なり、面心立方格子の方がより規則的な構造をしています。純銅をはじめとする材料は、面心立方格子を形成します。

均一な色彩

六角形タイルには3つの異なる均一な彩色があり、いずれもウィトフ構成の鏡映対称性から生成されます。( h , k )は、1つの彩色タイルの周期的な繰り返しを表し、六角形の距離をh、kとして数えます。ゴールドバーグ多面体でも同じ数え方が用いられ、{ p +,3} _{h , k}と表記されます。また、 p > 6の双曲型タイルにも適用できます。

k -均一	1ユニフォーム			2ユニフォーム		3ユニフォーム
対称	p6m、(*632)		p3m1、（*333）	p6m、(*632)		6ページ、（632）
写真
色	1	2	3	2	4	2	7
（h,k）	（1,0）	（1,1）		（2,0）		（2,1）
シュレーフリ	{6,3}	t{3,6}	t{3 ^[3] }
ウィトフ	3 \| 6 2	2 6 \| 3	3 3 3 \|
コクセター
コンウェイ	H	tΔ		cH=t6daH		wH=t6dsH

3 色のタイリングは、オーダー 3 のパーミュトヘドロンによって生成されるテッセレーションです。

面取りされた六角形のタイル

面取りされた六角形のタイルは、辺を新たな六角形に置き換え、別の六角形のタイルへと変化します。極限では、元の面は消え、新たな六角形は菱形へと退化し、菱形のタイルとなります。

六角形（H）	面取り六角形（cH）			菱形（daH）

一面体凸六角形タイル

一面体凸六角形タイリングには3つのタイプがあります。^[10]これらはすべて等面体です。それぞれが固定された対称性の中でパラメトリックな変化を持ちます。タイプ2はすべり反射を含み、カイラルペアを区別しながら2等面体です。

3種類の単面体凸六角形タイル
1	2		3
2ページ、2222	pgg、22×	2ページ、2222	3ページ、333

b = e B + C + D = 360°	b = e、d = f B + C + E = 360°		a = f、b = c、d = e B = D = F = 120°
2タイル格子	4タイル格子		3タイル格子

また、すべての四角形と三角形の他に、 15 個の一面体凸五角形のタイルもあります。

位相的に等価なタイリング

六角形のタイリングは、通常のタイリング（各頂点の周りに3つの六角形）と同じ{6,3}位相で作成できます。等面体面の場合、13通りのバリエーションがあります。対称性は、すべての面が同じ色であることを前提としています。ここでの色は格子の位置を表しています。^[11]単色（1タイル）の格子は、平行六角形です。

13個の等面体タイル張りの六角形
ページ（××）	3ページ目 (333)	pmg (22*)

pgg（22×）	p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

その他の等面体タイル張りの位相六角形タイル張りは、端から端までつながっていない四辺形や五角形として見られますが、共線的に隣接する辺として解釈されます。

等面体タイル張りの四辺形
pmg (22*)		pgg（22×）			cmm (2*22)	p2 (2222)
平行四辺形	台形	平行四辺形	矩形	平行四辺形	矩形	矩形

等面体タイル五角形
p2 (2222)	pgg（22×）	3ページ目 (333)

2-ユニフォームと3-ユニフォームのタイル張りは回転の自由度を持っており、六角形の2/3を歪ませる。これには、六角形とより大きな三角形の非エッジツーエッジのタイル張りとも見ることができる共線的なケースも含まれる。^[12]

また、この模様は、キラルな4色3方向織り模様に変形することができ、一部の六角形は平行四辺形に変形されます。2色の面を持つ織り模様は、回転対称性632（p6）を持ちます。シェブロン模様はpmg（22*）対称性を持ち、3色または4色のタイルではp1（°）まで低下します。

通常	回転	通常	織り	シェブロン
p6m、(*632)	6ページ、（632）	p6m (*632)	6ページ（632）	p1 (°)

p3m1、（*333）	3ページ、（333）	p6m (*632)	p2 (2222)	p1 (°)

円充填

六角形のタイリングは円充填として用いることができ、各点の中心に等直径の円を配置する。充填において、各円は他の3つの円と接する（接線数）。^[13] 各六角形の内部の隙間には1つの円を配置することができ、三角形のタイリングの中で最も密な充填となり、各円は最大6つの円と接する。

参照

参考文献

^ アダムス、コリン (2022). 『タイリングブック：タイリングの数学的理論入門』アメリカ数学会. pp. 23. ISBN 9781470468972。
^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns . WH Freeman. p. 21.
^ Nelson, Roice; Segerman, Henry (2017). 「双曲型ハニカムの可視化」. Journal of Mathematics and the Arts . 11 (1): 4– 39. arXiv : 1511.02851 . doi :10.1080/17513472.2016.1263789.
^ Grünbaum & Shephard (1987)、35ページ。
^ Grünbaum & Shephard (1987)、p. 42、記号の詳細についてはp. 38を参照。
^ Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010年9月22日). 「円充填におけるThueの定理の簡単な証明」arXiv : 1009.4322 [math.MG].
^ Hales, Thomas C. (2001年1月). 「ハニカム予想」.離散幾何学と計算幾何学. 25 (1): 1– 22. arXiv : math/9906042 . doi :10.1007/s004540010071. MR 1797293. S2CID 14849112.
^ クリステンセン、リチャード・M. (2013). 材料破壊理論. オックスフォード大学出版局. p. 201. ISBN 978-0-19-966211-1。
^ ボール、フィリップ（2016年）『自然のパターン：自然界がなぜそのように見えるのか』シカゴ大学出版局、p.15、ISBN 978-0-226-33242-0。
^ タイル張りとパターン、第9.3節凸多角形によるその他の単面体タイル張り
^ タイルとパターン、107個の等面体タイルのリストから、pp. 473–481
^ タイル張りとパターン、端から端までではない均一なタイル張り
^ 『空間の秩序：デザインソースブック』キース・クリッチロー著、74～75ページ、パターン2
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111–112、p. 136。

コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8p. 296、表II：規則的なハニカム
グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC (1987). 『タイルとパターン』ニューヨーク: WHフリーマン. ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章：規則的なタイリングと均一なタイリング、58～65ページ）
ウィリアムズ、ロバート（1979）『自然構造の幾何学的基礎：デザインの原典』ドーバー出版、35ページ。ISBN 0-486-23729-X。
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5[1]

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「六角形グリッド」。MathWorld。
- ワイスタイン、エリック・W.「正則テッセレーション」。MathWorld。
- ワイスタイン、エリック・W.「均一テッセレーション」。MathWorld。
Klitzing, Richard. 「2Dユークリッドタイル o3o6x – hexat – O3」

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
E ²	均一なタイリング	0 _[3]	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	六角
E ³	均一な凸型ハニカム	0 _[4]	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E4	均一な4ハニカム	0 _[5]	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24セルハニカム
E ⁵	均一な5ハニカム	0 _[6]	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	均一な6ハニカム	0 _[7]	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	均一な7ハニカム	0 _[8]	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E8	均一な8ハニカム	0 _[9]	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E9	均一な9ハニカム	0 _[10]	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	均一な10ハニカム	0 _[11]	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n −1}	均一な（n −1）ハニカム	0 _{[ n ]}	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _{k 2} • 2 _{k 1} • k ₂₁

[adams-1] アダムス、コリン (2022). 『タイリングブック：タイリングの数学的理論入門』アメリカ数学会. pp. 23. ISBN 9781470468972。

[gs-2] Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns . WH Freeman. p. 21.

[ns-3] Nelson, Roice; Segerman, Henry (2017). 「双曲型ハニカムの可視化」. Journal of Mathematics and the Arts . 11 (1): 4– 39. arXiv : 1511.02851 . doi :10.1080/17513472.2016.1263789.

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1987[httpsbooksgooglecombooksid0x0vDAAAQBAJpgPA35_35]-4] Grünbaum & Shephard (1987)、35ページ。

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1987[httpsbooksgooglecombooksid0x0vDAAAQBAJpgPA42_42]see_p._[httpsbooksgooglecombooksid0x0vDAAAQBAJpgPA38_38]_for_detail_of_symbols-5] Grünbaum & Shephard (1987)、p. 42、記号の詳細についてはp. 38を参照。

[6] Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010年9月22日). 「円充填におけるThueの定理の簡単な証明」arXiv : 1009.4322 [math.MG].

[7] Hales, Thomas C. (2001年1月). 「ハニカム予想」.離散幾何学と計算幾何学. 25 (1): 1– 22. arXiv : math/9906042 . doi :10.1007/s004540010071. MR 1797293. S2CID 14849112.

[christensen-8] クリステンセン、リチャード・M. (2013). 材料破壊理論. オックスフォード大学出版局. p. 201. ISBN 978-0-19-966211-1。

[ball-9] ボール、フィリップ（2016年）『自然のパターン：自然界がなぜそのように見えるのか』シカゴ大学出版局、p.15、ISBN 978-0-226-33242-0。

[10] タイル張りとパターン、第9.3節凸多角形によるその他の単面体タイル張り

[11] タイルとパターン、107個の等面体タイルのリストから、pp. 473–481

[12] タイル張りとパターン、端から端までではない均一なタイル張り

[Critchlow-13] 『空間の秩序：デザインソースブック』キース・クリッチロー著、74～75ページ、パターン2

[14] Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111–112、p. 136。

* n 62 正規タイリングの対称性変異: {6, n } v t e
球状	ユークリッド	双曲タイル
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

*通常のタイリングのn 32対称性変異: { n ,3} v t e
球状				ユークリッド	コンパクトなハイパーブ。		パラコ。	非コンパクト双曲型

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

* n 32 切断されたタイリングの対称性変異: n .6.6 v t e
対称 * n 42 [n,3]	球状				ユークリッド。	コンパクト		パラック。	非コンパクト双曲型
対称 * n 42 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
切り捨てられた数字
設定。	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis フィギュア
設定。	バージョン2.6.6	バージョン3.6.6	バージョン4.6.6	バージョン5.6.6	バージョン6.6.6	バージョン7.6.6	バージョン8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

双対準正則タイリングの対称性変異：V(3.n) ²
*n32	球状			ユークリッド	双曲線
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
タイル張り
会議。	V(3.3) ²	V(3.4) ²	V(3.5) ²	V(3.6) ²	V(3.7) ²	V(3.8) ²	V(3.∞) ²