切断された4次六角形タイル
| 切断された4次六角形タイル | |
|---|---|
 双曲面のポアンカレ円板モデル | |
| タイプ | 双曲均一タイリング |
| 頂点構成 | 4.12.12 |
| シュレーフリ記号 | t{6,4} tr{6,6} または |
| ウィトフ記号 | 2 4 | 6 2 6 6 | |
| コクセター図 |     または  |
| 対称群 | [6,4]、(*642) [6,6]、(*662) |
| デュアル | 6次元テトラキス正方形タイル |
| プロパティ | 頂点推移 |
幾何学において、切頂4次六角形タイリングは、双曲平面上の均一なタイリングである。シュレーフリ記号はt{6,4}である。二次的な構成であるtr{6,6}は、2色の十二角形からなる切頂六角形タイリングと呼ばれる。
建設
このタイリングには2つの均一な構成があり、1つ目は[6,4]万華鏡から、もう1つは最後の鏡[6,4,1 + ]を取り除いて対称性を下げると[6,6](*662)になります。
| 名前 | 四六方晶系 | 切頂六角形 |
|---|---|---|
| 画像 |  |  |
| 対称 | [6,4] (*642)    | [6,6] = [6,4,1 + ] (*662)  ＝ |
| シンボル | t{6,4} | tr{6,6} |
| コクセター図 | | |
デュアルタイリング
 |  |
| 二重タイリング、順序6のテトラキス正方形タイリングは面構成V4.12.12を持ち、[6,6]対称群の基本領域を表します。 | |
関連する多面体とタイリング
| * n 42 切断されたタイリングの対称性変異: 4.2 n .2 n | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 対称性 * n 42 [n,4] | 球状 | ユークリッド | コンパクト双曲型 | パラコンプ。 | |||||||
| *242 [2,4] | *342 [3,4] | *442 [4,4] | *542 [5,4] | *642 [6,4] | *742 [7,4] | *842 [8,4]... | *∞42 [∞,4] | ||||
| 切り捨てられた 数字 |  |  |  |  | |  |  |  | |||
| 設定。 | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
| n-kis フィギュア |  |  |  |  | |  |  |  | |||
| 設定。 | バージョン4.4.4 | バージョン4.6.6 | バージョン4.8.8 | バージョン4.10.10 | バージョン4.12.12 | バージョン4.14.14 | バージョン4.16.16 | V4.∞.∞ | |||
| 均一な四角形のタイル | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 対称性: [6,4], (*642 ) ([6,6] (*662)、[(4,3,3)] (*443)、[∞,3,∞] (*3222) インデックス2部分対称性あり) (および [(∞,3,∞,3)] (*3232) インデックス4部分対称性あり) | |||||||||||
＝   ＝   ＝  | ＝ | ＝ ＝  ＝ | ＝ | ＝  ＝ ＝  | ＝ | | |||||
 | |  |  |  |  |  | |||||
| {6,4} | t{6,4} | r{6,4} | t{4,6} | {4,6} | rr{6,4} | tr{6,4} | |||||
| ユニフォームデュアル | |||||||||||
 | | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| V6 4 | バージョン4.12.12 | V(4.6) 2 | バージョン6.8.8 | V4 6 | バージョン4.4.4.6 | バージョン4.8.12 | |||||
| 交替 | |||||||||||
| [1 + ,6,4] (*443) | [6 + ,4] (6*2) | [6,1 + ,4] (*3222) | [6,4 + ] (4*3) | [6,4,1 + ] (*662) | [(6,4,2 + )] (2*32) | [6,4] + (642) | |||||
 ＝  |  ＝   | ＝   | ＝ | ＝  | ＝  | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| h{6,4} | s{6,4} | 時間{6,4} | s{4,6} | h{4,6} | 時速6,4 | sr{6,4} | |||||
| 均一な六角形のタイル | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 対称性: [6,6], (*662) | ||||||
＝  ＝ | ＝ ＝ | ＝ ＝ | ＝ ＝ | ＝ ＝ | ＝ ＝ | ＝ ＝ |
 |  |  |  |  |  |  |
| {6,6} = h{4,6} | t{6,6} = h 2 {4,6} | r{6,6} {6,4} | t{6,6} = h 2 {4,6} | {6,6} = h{4,6} | rr{6,6} r{6,4} | tr{6,6} t{6,4} |
| ユニフォームデュアル | ||||||
| | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |
| V6 6 | バージョン6.12.12 | バージョン6.6.6.6 | バージョン6.12.12 | V6 6 | V4.6.4.6 | バージョン4.12.12 |
| 交替 | ||||||
| [1 + ,6,6] (*663) | [6 + ,6] (6*3) | [6,1 + ,6] (*3232) | [6,6 + ] (6*3) | [6,6,1 + ] (*663) | [(6,6,2 + )] (2*33) | [6,6] + (662) |
| ＝ | | ＝ | | ＝ | | |
| | | | | | |
 |  | | |  | ||
| h{6,6} | s{6,6} | 時間{6,6} | s{6,6} | h{6,6} | 時速6,6 | sr{6,6} |
対称
タイル張りの双対は、(*662)オービフォールド対称性の基本領域を表しています。[6,6](*662)対称性からは、ミラー除去と交代作用素によって15個の小さなインデックス部分群（12個は一意）が存在します。ミラーは、その分岐順序がすべて偶数であれば除去でき、隣接する分岐順序を半分にカットします。2つのミラーを除去すると、除去されたミラーが出会う場所に半次回転点が残ります。これらの画像では、基本領域は交互に白黒で表示され、色の境界にミラーが存在します。部分群のインデックスが-8のグループ、[1 + ,6,1 + ,6,1 + ] (3333)は、 [6,6]の交換子部分群です。
[6,6 * ]として構成されたより大きな部分群から(6*3)の回転点を除去すると、指数12は(*333333)になる。
基本領域を二分するミラーを追加することで、対称性を642 対称性に倍増できます。
| [6,6]の小さな指数部分群（*662） | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 索引 | 1 | 2 | 4 | ||||||||
| 図 |  |  |  |  |  |  | |||||
| コクセター | [6,6] | [1 + ,6,6]＝ | [6,6,1 + ]＝ | [6,1 + ,6]＝  | [1 + ,6,6,1 + ]＝ | [6 + ,6 + ]  | |||||
| オービフォールド | *662 | *663 | *3232 | *3333 | 33× | ||||||
| 直接サブグループ | |||||||||||
| 図 |  |  |  |  |  | ||||||
| コクセター | [6,6 + ] | [6 + ,6] | [(6,6,2 + )] | [6,1 + ,6,1 + ]＝＝ ＝ ＝ | [1 + ,6,1 + ,6]＝＝ ＝  ＝ | ||||||
| オービフォールド | 6*3 | 2*33 | 3*33 | ||||||||
| 直接サブグループ | |||||||||||
| 索引 | 2 | 4 | 8 | ||||||||
| 図 |  |  |  |  |  | ||||||
| コクセター | [6,6] + | [6,6 + ] +＝ | [6 + ,6] +＝ | [6,1 + ,6] + ＝ | [6 + ,6 + ] + = [1 + ,6,1 + ,6] + ＝＝＝ | ||||||
| オービフォールド | 662 | 663 | 3232 | 3333 | |||||||
| ラジカル部分群 | |||||||||||
| 索引 | 12 | 24 | |||||||||
| 図 |  |  |  |  | |||||||
| コクセター | [6,6*]   | [6*,6] | [6,6*] + | [6*,6] + | |||||||
| オービフォールド | *333333 | 333333 | |||||||||
参考文献
- ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第19章 双曲アルキメデスのモザイク細工）
- 「第10章：双曲空間における正則ハニカム」『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8。LCCN 99035678。
参照
外部リンク
- ワイスタイン、エリック・W.「双曲型タイリング」。MathWorld。
- ワイスタイン、エリック・W.「ポアンカレ双曲面円板」。MathWorld。
- 双曲面と球面タイルギャラリー
- KaleidoTile 3: 球面、平面、双曲面のタイルを作成するための教育用ソフトウェア
- 双曲平面モザイク、ドン・ハッチ
