Mathematical term
数学 において 、 リー群 Gの 随伴表現 （または 随伴作用 ） は、群の元を群 の リー代数の 線型変換 として表現する方法であり、 ベクトル空間 として扱われる。例えば、 Gが n 行 n 列の可逆な実行列 のリー群 で ある場合、随伴表現は、 n行 n 列の可逆な 行列 を のすべての線型変換のベクトル空間の 自己準同型 に 写す群準同型であり、これ は次のように定義される 。 G L ( n , R ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )} g {\displaystyle g} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} x ↦ g x g − 1 {\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}
任意のリー群に対して、この自然な 表現は、 G の 作用を 共役 によって線型化（すなわち 微分 ） することによって得られる。随伴表現は 、任意の 体上の 線型代数群 に対して定義できる 。
意味 G を リー群 とし 、
Ψ : G → Aut ( G ) {\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)} 写像 g ↦ Ψ g 、Aut( G )は G の 自己同型群 、 Ψ g : G → G は内部自己同型 （共役） によって与えられる
Ψ g ( h ) = g h g − 1 . {\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.} このΨは群準同型である（ 連結で あれば リー群準同型である [1] [ 要出典 ] ）。 G {\displaystyle G}
G の 各 g について、 Ad g を 原点における Ψ g の 微分 として定義します。
Ad g = ( d Ψ g ) e : T e G → T e G {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G} ここで、 d は微分であり、は 原点 eにおける 接空間 である （ eは群 G の単位元 ）。 はリー群の自己同型なので、Ad g はリー代数の自己同型 、すなわち、 リー括弧を 保存する、それ自体へ の可逆な 線型変換で ある 。さらに、 は群準同型なので、 も群準同型である。 [2] したがって、写像 g = T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G} Ψ g {\displaystyle \Psi _{g}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g ↦ Ψ g {\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}} g ↦ Ad g {\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}
A d : G → A u t ( g ) , g ↦ A d g {\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}} はG の 随伴表現 と呼ばれる 群表現 です 。
G が 線型リー群 の場合 、リー代数は 行列から成り、 指数写像は 小さな演算子ノルムを持つ行列 X の指数写像となる。 における の微分を計算する 。G に g が あり 、に 小さな X が ある場合 、曲線は t = 0で 微分を持つので 、次式を得る。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} exp ( X ) = e X {\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}} Ψ g {\displaystyle \Psi _{g}} e {\displaystyle e} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} t → exp ( t X ) {\displaystyle t\to \exp(tX)} X {\displaystyle X}
Ad g ( X ) = ( d Ψ g ) e ( X ) = ( Ψ g ∘ exp ( t X ) ) ′ ( 0 ) = ( g exp ( t X ) g − 1 ) ′ ( 0 ) = g X g − 1 {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}} 右辺には行列の積があります。 が閉部分群（つまり、 G が行列リー群）である場合、この式は G 内のすべての g と 内のすべての X に対して有効です。 G ⊂ G L n ( C ) {\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
簡単に言えば、随伴表現は、 G の単位元を中心とする G の共役作用に関連付けられた 等方性表現 です。
広告の派生語 常に、恒等関数をとることによって、
リー群 G の表現から そのリー代数の表現 に移行することができます。
随伴写像の微分をとる
A d : G → A u t ( g ) {\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})} 単位元におけるは、 G の リー代数の 随伴表現 を与える。 g = Lie ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
a d : g → D e r ( g ) x ↦ ad x = d ( Ad ) e ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}} ここで は のリー代数であり、 の 微分代数 と 同一視できる。 D e r ( g ) = Lie ( Aut ( g ) ) {\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))} A u t ( g ) {\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
a d x ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,} 全ての に対して 成り立ち、右辺は ベクトル場 のリー括弧 によって与えられる（誘導される） 。実際、 [3]を G 上の左不変ベクトル場のリー代数として 見ると 、 の括弧は 次のように与えられることを思い出すとよい： [4] 左不変ベクトル場 X 、 Y 、 x , y ∈ g {\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
[ X , Y ] = lim t → 0 1 t ( d φ − t ( Y ) − Y ) {\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)} ここで、 は X によって生成される フロー を表します 。結果として、 はほぼ成り立ちます。これは、両辺がフローを定義する同じ常微分方程式を満たすためです。つまり、は による 右乗法を表します 。一方、 は 連鎖律 により 、 φ t : G → G {\displaystyle \varphi _{t}:G\to G} φ t ( g ) = g φ t ( e ) {\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)} φ t = R φ t ( e ) {\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}} R h {\displaystyle R_{h}} h ∈ G {\displaystyle h\in G} Ψ g = R g − 1 ∘ L g {\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}
Ad g ( Y ) = d ( R g − 1 ∘ L g ) ( Y ) = d R g − 1 ( d L g ( Y ) ) = d R g − 1 ( Y ) {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)} Y は左不変なので 、
[ X , Y ] = lim t → 0 1 t ( Ad φ t ( e ) ( Y ) − Y ) {\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)} 、 それは示す必要があったものです。
したがって、これ は以下の§リー代数の随伴表現で定義されているものと同じである。Adとadは 指数写像 によって関連している。具体的には、 リー代数のすべての xに対して、Ad exp( x ) = exp(ad x )が成立する。 [5] これは、リー群とリー代数準同型写像を指数写像によって関連付ける一般的な結果の帰結である。 [6] a d x {\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}
G が線型リー群であれ ば、上記の計算は次のように単純化される。確かに、先に述べたように、 したがって 、 Ad g ( Y ) = g Y g − 1 {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}} g = e t X {\displaystyle g=e^{tX}}
Ad e t X ( Y ) = e t X Y e − t X {\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}} 。 これを で導関数すると 、次のようになります。 t = 0 {\displaystyle t=0}
ad X Y = X Y − Y X {\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX} 。 一般の場合も線型の場合から演繹できる。実際、 を G のリー代数と同じリー代数を持つ線型リー群とする。すると、 G の単位元における Ad の微分と G ' の単位元における Ad の微分は 一致する。したがって、一般性を失うことなく、 G は G ' と仮定できる 。 G ′ {\displaystyle G'}
大文字/小文字表記は文献で広く用いられています。例えば、 代数におけるベクトル x は 、群 G における ベクトル 場 X を生成します。同様に、 ベクトルの 随伴写像 ad x y = [ x , y ]は、 多様体 として考えられた群 G 上のベクトル場の リー微分 L X Y = [ X , Y ] と 準同型です [ 明確化が必要 ] 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
さらに 指数マップの微分を 参照してください。
リー代数の随伴表現 ある体上のリー代数をxとする。 リー代数の 元 xが与えられたとき、 x の随伴 作用を 写像として
定義する。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad x : g → g with ad x ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]} の任意のy に対して 成り立つ 。これは 随伴自己準同型写像 または 随伴作用 と呼ばれる。（ はしばしば と表記される 。）括弧は双線型なので、これは 線型写像を決定する。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ad x {\displaystyle \operatorname {ad} _{x}} ad ( x ) {\displaystyle \operatorname {ad} (x)}
ad : g → g l ( g ) = ( End ( g ) , [ , ] ) {\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])} x ↦ ad x によって与えられます 。 End 内では 、括弧は定義により、2つの演算子の交換子によって与えられます。 ( g ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}})}
[ T , S ] = T ∘ S − S ∘ T {\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T} ここで、は 線型写像の合成を表す。上記の括弧の定義を用いると、 ヤコビ恒等式は ∘ {\displaystyle \circ }
[ x , [ y , z ] ] + [ y , [ z , x ] ] + [ z , [ x , y ] ] = 0 {\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0} 形式は
( [ ad x , ad y ] ) ( z ) = ( ad [ x , y ] ) ( z ) {\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)} ここで、 x 、 y 、 z は の任意の要素です 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
この最後の恒等式は、ad がリー代数準同型、すなわち括弧から括弧への線型写像であることを示しています。したがって、ad は リー代数の表現 であり、代数 の 随伴表現 と呼ばれます 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
が有限次元であり 、その基底が選択されると、 は 正方行列のリー代数となり、その合成は 行列の乗算 に対応します。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g l ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
よりモジュール理論的な言語では、構文は がそれ 自身のモジュールであることを示します。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad の核は の 中心 です（これは定義を言い換えただけです）。一方、 の各要素 z に対して、線形写像は ライプニッツの法則 に従います 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} δ = ad z {\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}
δ ( [ x , y ] ) = [ δ ( x ) , y ] + [ x , δ ( y ) ] {\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]} 代数中のすべてのx と y に対して （ヤコビ恒等式の言い換え）。つまり、 ad z は微分 であり 、 ad による の像は Der の部分代数 、つまり のすべての微分空間である 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ( g ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
がリー群 G のリー代数である場合、 ad は G の単位元における Ad の微分です 。 g = Lie ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
ライプニッツの公式 に似た次の公式がある ：スカラー とリー代数要素の場合 、 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } x , y , z {\displaystyle x,y,z}
( ad x − α − β ) n [ y , z ] = ∑ i = 0 n ( n i ) [ ( ad x − α ) i y , ( ad x − β ) n − i z ] . {\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}
構造定数 随伴表現の明示的な行列要素は、代数の 構造定数 によって与えられる。つまり、{e i }を代数の 基底ベクトル の集合とし、
[ e i , e j ] = ∑ k c i j k e k . {\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.} そして、ad e i の行列要素は 次のように与えられる。
[ ad e i ] k j = c i j k . {\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.} したがって、例えば su(2)の随伴表現は so(3) の定義表現である 。
例 Gが n 次元の アーベルで ある 場合、 G の随伴表現 は自明な n 次元表現です。 Gが 行列リー群 （すなわち の閉部分群） である 場合、そのリー代数は 、リー括弧（すなわち の部分代数）の交換子を持つ n × n 行列の代数である。この場合、随伴写像は Ad g ( x ) = gxg −1 で与えられる 。 G L ( n , C ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )} g l n ( C ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )} Gが SL(2, R ) ( 行列式 が 1である実数 2×2 行列) である 場合、 G のリー代数は トレース が 0である実数 2×2 行列から構成されます。この表現は、バイナリ (つまり 2 変数) の 二次形式 の空間への線形置換による G の作用によって与えられる表現と同等です 。
プロパティ 次の表は定義で言及されている様々なマップの特性をまとめたものである。
Ψ : G → Aut ( G ) {\displaystyle \Psi \colon G\to \operatorname {Aut} (G)\,} Ψ g : G → G {\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,} リー群準同型: Ψ g h = Ψ g Ψ h {\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}} ( Ψ g ) − 1 = Ψ g − 1 {\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}} リー群の自己同型性: Ψ g ( a b ) = Ψ g ( a ) Ψ g ( b ) {\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)} Ad : G → Aut ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})} Ad g : g → g {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} リー群準同型: Ad g h = Ad g Ad h {\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=\operatorname {Ad} _{g}\operatorname {Ad} _{h}} ( Ad g ) − 1 = Ad g − 1 {\displaystyle \left(\operatorname {Ad} _{g}\right)^{-1}=\operatorname {Ad} _{g^{-1}}} リー代数の自己同型性: Ad g {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}} 線形である Ad g [ x , y ] = [ Ad g x , Ad g y ] {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}[x,y]=[\operatorname {Ad} _{g}x,\operatorname {Ad} _{g}y]} ad : g → Der ( g ) {\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})} ad x : g → g {\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} リー代数準同型: ad {\displaystyle \operatorname {ad} } 線形である ad [ x , y ] = [ ad x , ad y ] {\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]} リー代数の導出: ad x {\displaystyle \operatorname {ad} _{x}} 線形である ad x [ y , z ] = [ ad x y , z ] + [ y , ad x z ] {\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z]}
G の 随伴表現による像は Ad( G ) と表記される 。G が 連結 ならば 、 随伴 表現 の 核は G の中心である Ψ の核と一致する 。 したがって 、 連結 リー群 Gの随伴表現が 忠実 である ためには、 G が 中心を持たない必要がある。より一般的には、 G が連結でない場合、随伴写像の核は G の 恒等 成分 G 0の 中心化子 となる。第 一同型定理 より、
A d ( G ) ≅ G / Z G ( G 0 ) . {\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).} 有限次元実リー代数 が与えられると 、 リーの第 3 定理 により、リー代数が の随伴表現の像 (つまり、 )となる 連結リー群が存在する。これは の 随伴群 と呼ばれる。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} Int ( g ) {\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} Lie ( Int ( g ) ) = ad ( g ) {\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ここで、 が連結リー群 G のリー代数である場合 、 は G の 随伴 表現の像です 。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} Int ( g ) {\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})} Int ( g ) = Ad ( G ) {\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}
半単純リー群の根 G が 半単純で あれば、 随伴表現の 非零の 重みは ルートシステム を形成する。 [7] （一般に、先に進む前にリー代数の複素化に進む必要がある。）これがどのように機能するかを見るために、 G = SL( n , R )の場合を考える。対角行列群 diag( t1 ,..., tn ) を 最大トーラス T としてとることができる。T の 元による共役 は
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] ↦ [ a 11 t 1 t 2 − 1 a 12 ⋯ t 1 t n − 1 a 1 n t 2 t 1 − 1 a 21 a 22 ⋯ t 2 t n − 1 a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ t n t 1 − 1 a n 1 t n t 2 − 1 a n 2 ⋯ a n n ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.} したがって、 T は G のリー代数の対角成分に自明に作用し 、 様々な非対角成分には固有ベクトル t i t j −1 を作用させる。G の根は重み diag( t 1 , ..., t n ) → t i t j −1である。これは、 G = SL n ( R )の根系を e i − e j の形のベクトル集合として 記述する標準的な方法である 。
例 SL(2, R) リー群の最も単純なケースの1つに対するルートシステムを計算する場合、行列式が1である2次元行列のグループSL(2, R )は次の形式の行列の集合から構成されます。
[ a b c d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}} ここで、 a 、 b 、 c 、 d は 実数、 ad − bc = 1 です。
最大コンパクト連結アーベルリー部分群、または最大トーラス T は、次の形式のすべての行列の部分集合によって与えられる。
[ t 1 0 0 t 2 ] = [ t 1 0 0 1 / t 1 ] = [ exp ( θ ) 0 0 exp ( − θ ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}} とします 。最大トーラスのリー代数は、カルタン部分代数であり、行列 t 1 t 2 = 1 {\displaystyle t_{1}t_{2}=1}
[ θ 0 0 − θ ] = θ [ 1 0 0 0 ] − θ [ 0 0 0 1 ] = θ ( e 1 − e 2 ) . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).} SL(2, R )の元を 最大トーラスの元と共役にすると、
[ t 1 0 0 1 / t 1 ] [ a b c d ] [ 1 / t 1 0 0 t 1 ] = [ a t 1 b t 1 c / t 1 d / t 1 ] [ 1 / t 1 0 0 t 1 ] = [ a b t 1 2 c t 1 − 2 d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}} マトリックス
[ 1 0 0 0 ] [ 0 0 0 1 ] [ 0 1 0 0 ] [ 0 0 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}} は、固有値を持つ共役演算の「固有ベクトル」です 。 を与える関数 Λ は 乗法特性、つまり群のトーラスから基礎体 R への準同型です。 θ を与える関数 λ は、行列のスパンによって重み空間が与えられるリー代数の重みです。 1 , 1 , t 1 2 , t 1 − 2 {\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}} t 1 2 {\displaystyle t_{1}^{2}}
指標の乗法性と重みの線形性を示すことは満足のいくものです。さらに、Λの微分を用いて重みを生成できることも証明できます。SL(3, R )の場合を考えることも教育的です。
変種と類似体 随伴表現は任意の体上の 代数群 に対しても定義できます。 [ 説明が必要 ]
共 随伴表現は 随伴表現の 反随伴表現 である。 アレクサンドル・キリロフは 、共随伴表現における任意のベクトルの 軌道は シンプレクティック多様体 であることを観察した。 軌道法 として知られる 表現論 の哲学（ キリロフ指標公式 も参照 ）によれば、リー群 Gの既約表現は、その共随伴軌道によって何らかの方法で添え字付けされるべきである。この関係は 、冪零リー群 の場合に最も密接である 。
参照
注記 ^ 「連結」は自己同型群上のリー群構造を与えるために使用される。[1]を参照。 ^ 実際、 連鎖律 によれば、 Ad g h = d ( Ψ g h ) e = d ( Ψ g ∘ Ψ h ) e = d ( Ψ g ) e ∘ d ( Ψ h ) e = Ad g ∘ Ad h . {\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.} ^ 小林・野水 1996年、41ページ ^ 小林＆野水 1996、命題 1.9. ^ ホール 2015 提案 3.35 ^ ホール 2015 定理 3.28 ^ ホール 2015 セクション 7.3
参考文献 
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2c3163e2fc6e4dbfb7b63b1ce6f2af936b47d1)
![{\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbe9f909bd97a70fd4dc1c4708b8b95650347cd)
![{\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c7012a98cc3072de49aad460164b6327fa9a9b)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121f2f8284ca408c1eb3d24a9a5041a769b5f935)
![{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b5e5f07367c605accbdc025b3d95e232764955)
![{\displaystyle [T,S]=T\circ SS\circ T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817deb1087b510bd4b89acd6e94902d9a9ea2a72)
![{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23655a62f2a7cc545f121d9bcc30fe2c56731457)
![{\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03033688ecfa882481ea623ade592e849e1c91e2)
![{\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87aef094b6b41ea9f7592abc397e6c714b87f7d)
![{\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta)^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha)^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta)^{ni}z\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8e7a5b77d30561ac83b2fcaa9fbb5495e354b8)
![{\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bbd6608d189fa0eba25ebe91791535356d84c1)
![{\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a743d23dd87c9e4012b424b09bdb24ca9ddfbf4)
![{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}[x,y]=[\operatorname {Ad} _{g}x,\operatorname {Ad} _{g}y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bcbb2f7097ba26d7cf11465cd4d53e253a4e85)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a7b9436ceb4d0c245b8afb0921d807fc770bff)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b830aefde4e97103df86791a436911b456d2dbfc)
