二条件付き導入

Inference in propositional logic

二条件付き導入

タイプ	推論の規則
分野	命題計算
声明	が真実であり、が真実である場合、 が真実であると推論できます。 ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to P}$ ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$
象徴的な声明	${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to P}{\therefore P\leftrightarrow Q}}}$

命題論理において、双条件導入^{[1] [2] [3]は}有効な 推論規則である。これは、 2つの条件文から双条件文を推論することを可能にする。この規則は、双条件文を論理的証明に導入することを可能にする。が真であり、が真である場合、が真であると推論することができる。例えば、「もし私が呼吸しているなら、私は生きている」と「もし私が生きているなら、私は呼吸している」という文からは、「私が生きている場合にのみ、私は呼吸している」と推論することができる。双条件導入は双条件除去の逆である。この規則は、次のように正式に述べることができる。 ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to P}$ ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to P}{\therefore P\leftrightarrow Q}}}$

ここでの規則は、証明の行に「 」と「 」が現れる場合はいつでも、「 」を後続の行に有効に配置できるというものです。 ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to P}$ ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

正式な記法

二条件導入規則は、次の表記法で記述できます。

${\displaystyle (P\to Q),(Q\to P)\vdash (P\leftrightarrow Q)}$

ここで、 はメタ論理記号であり、と が両方とも証明内にある場合の構文上の帰結を意味します。 ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to P}$

あるいは真理関数トートロジーや命題論理の定理のステートメントとして:

${\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to P))\to (P\leftrightarrow Q)}$

ここで、、およびは、何らかの形式体系で表現された命題です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

参考文献

1. ハーレー
2. ムーアとパーカー
3. コピとコーエン

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