物質的含意（推論規則）

Rule of replacement in propositional logic

物質的な影響

タイプ	置き換えのルール
分野	命題計算
声明	P は Qが論理的に否定または否定と ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$等しいことを意味している。論理的証明においては、どちらの形式も他方と置き換えることができる。
象徴的な声明	${\displaystyle P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q}$

古典的な 命題論理において、物質的含意^{[1] [2]は、}条件文を、前件部を否定する論理和に置き換えることを可能にする有効な 置換規則である。この規則は、 PはQが論理的にnot- orと等価であることを示唆し、論理的証明においてはどちらの形式も他方を置き換えることができることを規定している。言い換えれば、が真であれば、も真でなければならないが、が真でなければ、も真にはなり得ない。さらに、が真でない場合、は真にも偽にもなり得る。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q,}$

ここで「」は「証明において に置き換えることができる」を表すメタ論理記号であり、 PとQは任意の論理文であり、「( Pではない)またはQ」と読み替えることができます。これを説明するために、次の文を考えてみましょう。 ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \neg P\lor Q}$

• ${\displaystyle P}$サムは昼食にオレンジを食べました。
• ${\displaystyle Q}$サムは昼食に果物を食べました。

すると、「サムは昼食にオレンジを食べた」と言うことは、「サムは昼食に果物を食べた」ということを意味します（ ）。論理的に、サムが昼食に果物を食べなかったならば、サムは昼食にオレンジを食べることもできなかったはずです（対句）。しかし、単にサムが昼食にオレンジを食べなかったと言うだけでは、サムが昼食に果物（どんな種類でも）を食べたかどうかに関する情報は得られません。 ${\displaystyle P\to Q}$

部分的な証明

が与えられていると仮定します。すると、排中律により、 が成り立ちます（つまり、 が真であるか、 が偽であるかのどちらかです）。 ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg P\lor P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

続いて、 は文中で に置き換えることができるため、（つまり、 は真であるか、真でないかのどちらかである必要がある）ということが分かります。 ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

逆に、 が与えられていると仮定する。このときが真であれば、最初の選言 は排除されるので、 が成り立つ。つまり、である。^[3]しかし、が偽であれば、この含意は成り立たない。なぜなら、最初の選言 は真であり、二番目の選言 に何の制約も課さないからである。したがって、 については何も言えない。つまり、 が偽の場合の同値性は慣習的なものに過ぎず、したがって同値の正式な証明は部分的なものに過ぎない。 ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$

これは真理値表でも表すことができます。

P	質問	¬P	P → Q	¬P ∨ Q
T	T	F	T	T
T	F	F	F	F
F	T	T	T	T
F	F	T	T	T

例

例えば、「クマなら泳げる」という条件付き事実が与えられます。そして、真理値表の4つの可能性すべてがその事実と比較されます。

1. クマなら泳げるはずだ — T
2. クマなら泳げない — F
3. クマでなければ、泳ぐことができます — 最初の事実と矛盾しないので T です。
4. クマでなければ泳げない - T（上記と同じ）

したがって、条件付き事実は に変換することができ、これは「それはクマではない」または「それは泳ぐことができる」であり、 は「それはクマである」というステートメントであり、は「それは泳ぐことができる」というステートメントです。 ${\displaystyle \neg P\vee Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

直観主義論理では同値性は成立しない

直観主義論理では、 ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg P\vee Q}$

${\displaystyle P\to Q{\cancel {\Rightarrow }}\neg P\lor Q}$

が与えられれば、 の証明を の証明へと構成的に変換することができます。特に、は直観主義論理において成り立ちます。 が成り立つ場合、を導出できます。しかし、後者は排中律であり、直観主義論理では受け入れられません（どのケースに当てはまるかを知らずに を仮定することはできません）。 ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to P}$ ${\displaystyle P\to Q\Rightarrow \neg P\lor Q}$ ${\displaystyle \neg P\lor P}$ ${\displaystyle \neg P\lor P}$

参考文献

1. パトリック・J・ハーレー（2011年1月1日）『簡潔な論理入門』Cengage Learning. ISBN 978-0-8400-3417-5。
2. Copi, Irving M. ; Cohen, Carl (2005). 『論理学入門』 Prentice Hall. p. 371.
3. 「a→bと¬a∨bの同値性」Mathematics Stack Exchange。

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