二条件除去

Inference in propositional logic

二条件除去

タイプ	推論の規則
分野	命題計算
声明	が真実であれば、 が真実であり、 も真実であると推論できます。 ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to P}$
象徴的な声明	${\displaystyle {\frac {P\leftrightarrow Q}{\therefore P\to Q}}}$ ${\displaystyle {\frac {P\leftrightarrow Q}{\therefore Q\to P}}}$

二条件消去法は、命題論理における2つの有効な 推論規則の名称である。これにより、二条件文から条件文を推論することができる。が真であれば、それが真であり、またそれが真であると推論することができる。^[1]例えば、「私が生きている場合に限り私が呼吸している」が真であれば、「私が呼吸しているならば、私は生きている」も真である。同様に、「私が生きているならば、私は呼吸している」も真である。これらの規則は、次のように正式に述べることができる。 ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to P}$

${\displaystyle {\frac {P\leftrightarrow Q}{\therefore P\to Q}}}$

そして

${\displaystyle {\frac {P\leftrightarrow Q}{\therefore Q\to P}}}$

ここでの規則は、証明の行に「 」が現れるたびに、後続の行に「」または「」のいずれかを配置できるというものです。 ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to P}$

正式な記法

二条件消去規則は、次の表記法で記述できます。

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\vdash (P\to Q)}$

そして

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\vdash (Q\to P)}$

ここで、 は、最初のケースでは 、もう一方のケースでは が何らかの論理システムにおける の統語的帰結であることを意味するメタ論理記号です。 ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q\to P}$ ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

あるいは真理関数トートロジーや命題論理の定理の記述として:

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\to (P\to Q)}$

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\to (Q\to P)}$

ここで、、およびは、何らかの形式体系で表現された命題です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

参照

• 論理双条件

参考文献

1. Cohen, S. Marc. 「第8章 条件文の論理」(PDF)。ワシントン大学。2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2013年10月8日閲覧。

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