置き換えのルール

論理学において、置換規則^[1]^[2]^[3]は、式の特定の部分にのみ適用できる変換規則です。論理体系は、システム内の論理式の変換規則として、公理、推論規則、またはその両方を使用するように構築できます。推論規則は常に論理式全体に適用されますが、置換規則は特定の部分にのみ適用できます。論理的証明の文脈では、論理的に同等な式は互いに置き換えられることがあります。置換規則は、命題論理において命題を操作するために使用されます

置き換えの一般的な規則には、ド・モルガンの法則、交換、結合、分配、二重否定、^[a] 転置、物質的含意、論理的同値、エクスポート、およびトートロジーが含まれます。

表: 交換のルール

上記の規則は次の表にまとめることができます。^[4]「トートロジー」の列は、与えられた規則の表記法をどのように解釈するかを示しています。

推論規則	トートロジー	名前
${\begin{aligned}(p\vee q)\vee r\\\therefore {\overline {p\vee (q\vee r)}}\\\end{aligned}}$	$((p\vee q)\vee r)\rightarrow (p\vee (q\vee r))$	連想法
${\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {q\wedge p}}\\\end{aligned}}$	$(p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)$	交換法則
${\begin{aligned}(p\wedge q)\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow (q\rightarrow r)}}\\\end{aligned}}$	$((p\wedge q)\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow (q\rightarrow r))$	輸出
${\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg q\rightarrow \neg p}}\\\end{aligned}}$	$(p\rightarrow q)\rightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)$	転置法則または逆置法則
${\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\vee q}}\\\end{aligned}}$	$(p\rightarrow q)\rightarrow (\neg p\vee q)$	物質的含意
${\begin{aligned}(p\vee q)\wedge r\\\therefore {\overline {(p\wedge r)\vee (q\wedge r)}}\\\end{aligned}}$	$((p\vee q)\wedge r)\rightarrow ((p\wedge r)\vee (q\wedge r))$	分配法
${\begin{aligned}p\\q\\\therefore {\overline {p\wedge q}}\\\end{aligned}}$	$((p)\wedge (q))\rightarrow (p\wedge q)$	接続詞
${\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {\neg \neg p}}\\\end{aligned}}$	$p\rightarrow (\neg \neg p)$	二重否定の導入
${\begin{aligned}{\neg \neg p}\\\therefore {\overline {p}}\\\end{aligned}}$	$(\neg \neg p)\rightarrow p$	二重否定の消去