エクスポート（ロジック）

輸出
タイプ	置き換えのルール
分野	命題計算
象徴的な声明

エクスポート^[1]^[2]^[3]^[4]は、命題論理における有効な置換規則である。この規則は、論理的証明において、連言的前件を持つ条件文を条件的後件を持つ文に置き換え、またその逆も可能にする。これは以下の規則である。

((P\land Q)\to R)\Leftrightarrow (P\to (Q\to R))

ここで「」は「証明においてに置き換えることができる」ことを表すメタ論理記号です。厳密な用語では、は輸出の法則です。これは、命題をの前提からその結論へ「輸出」するからです。その逆である輸入の法則は、命題をの結論からその前提へ「輸入」するものです。 $\Leftrightarrow$ $((P\land Q)\to R)\Rightarrow (P\to (Q\to R))$ $(P\land Q)\to R$ $(P\to (Q\to R))\Rightarrow ((P\land Q)\to R)$ $P\to (Q\to R)$

正式な記法

エクスポート規則は、次の表記法で記述できます。

((P\land Q)\to R)\dashv \vdash (P\to (Q\to R))

ここで、は、ある論理システムでの構文上同等であることを意味するメタ論理記号です。 $\dashv \vdash$ $(P\to (Q\to R))$ $((P\land Q)\to R)$

またはルール形式で：

{\frac {(P\land Q)\to R}{P\to (Q\to R)}}

、

{\frac {P\to (Q\to R)}{(P\land Q)\to R}}.

ここでの規則は、証明の行に「」が現れる場合は必ず「」に置き換えることができ、その逆も同様であるということです。 $(P\land Q)\to R$ $P\to (Q\to R)$

インポート・エクスポートは、命題論理の定理または真理関数型トートロジーとしてのステートメントに付けられた名前です。

((P\land Q)\to R)\leftrightarrow (P\to (Q\to R))

ここで、、、は何らかの論理体系で表現された命題です。 $P$ $Q$ $R$

自然言語

真理値

P→Qが真であれば、いつでもP→(P∧Q)に置き換えることができます。P
→Qの可能なケースの一つは、Pが真でQが真である場合です。この場合、P∧Qも真となり、P→(P∧Q)は真となります。
もう一つの可能なケースは、Pが偽でQが真となる場合です。この場合、P∧Qは偽であり、P→(P∧Q)は偽となります。偽→偽は真となります。
最後のケースは、PとQの両方が偽である場合です。この場合、P∧Qは偽であり、P→(P∧Q)は真となります。

例

雨が降って太陽が輝くということは、虹がかかることを意味します。
つまり、雨が降って太陽が輝くということは、虹がかかることを意味します。

車がエンジンをかけているなら、ギアをDに入れると車は動き始めます。車がエンジンをかけていて、ギアをDに入れたなら、車は動き始めなければなりません。

証拠

以下の証明は、古典的に妥当な同値連鎖を用いています。使用される規則は、物質的含意、ド・モルガンの法則、および連言の結合法則です。

命題	導出
$P\rightarrow (Q\rightarrow R)$	与えられた
$\neg P\lor (Q\rightarrow R)$	物質的な影響
$\neg P\lor (\neg Q\lor R)$	物質的な影響
$(\neg P\lor \neg Q)\lor R$	結合性
$\neg (P\land Q)\lor R$	ド・モルガンの法則
$(P\land Q)\rightarrow R$	物質的な影響

関数との関係

エクスポートはカリー・ハワード対応を介してカリー化と関連付けられる。^[^要出典^]

参考文献

^ ハーレー、パトリック (1991). 『論理学簡潔入門第4版』ワズワース出版. pp. 364–5 . ISBN 9780534145156。
^ Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). 『論理学入門』 Prentice Hall. p. 371.
^ ムーアとパーカー
^ 「交換のルール」。

[1] ハーレー、パトリック (1991). 『論理学簡潔入門第4版』ワズワース出版. pp. 364–5 . ISBN 9780534145156。

[2] Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). 『論理学入門』 Prentice Hall. p. 371.

[3] ムーアとパーカー

[4] 「交換のルール」。