推論規則のリスト

これは推論規則、つまり数式に関連する論理法則のリストです。

導入

推論規則とは、前提から結論を推論し、議論を構築するために用いる統語的変換規則です。規則の集合は、それが完全であれば有効な結論を推論することができますが、それが健全であれば無効な結論を推論することはできません。健全で完全な規則の集合には、以下のリストにあるすべての規則が含まれている必要はありません。多くの規則は冗長であり、他の規則を用いて証明できるからです。

解除規則は、一時的な仮定に基づく部分導出からの推論を許可する。以下では、

${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$

は、一時的な仮定からへのそのような派生を示します。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

ルール命題計算

否定のルール

不条理の還元(または否定の導入)

${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \lnot \psi }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

背理法（排中律に関連）

${\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \vdash \lnot \psi }}}$

${\displaystyle \varphi }$

Ex contradictione quodlibet

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi }}}$

${\displaystyle \psi }$

条件文のルール

演繹定理（または条件付き導入）

${\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \psi }}}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

手口(条件付き消去の一種)

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

Modus tollens （条件付き排除法の一種）

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

接続詞のルール

付加詞（または接続詞導入）

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \land \psi }$

簡素化（または連言の除去）

${\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}$

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}$

${\displaystyle \psi }$

論理和の規則

加算（または選言の導入）

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

事例分析（または事例による証明、事例による議論、または選言除去）

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle \psi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}$

${\displaystyle \chi }$

選言三段論法

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \varphi }$

建設的なジレンマ

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle \psi \rightarrow \xi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}$

${\displaystyle \chi \lor \xi }$

二条件文のルール

二条件付き導入

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \varphi }}}$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

二条件除去

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \psi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \lor \varphi }}}$

${\displaystyle \psi \land \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \lor \lnot \varphi }}}$

${\displaystyle \lnot \psi \land \lnot \varphi }$

古典のルール述語計算

以下の規則では、自由変数 を持つ場合に項 を持つことを除いて、 はとまったく同じです。 ${\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \alpha }$

普遍的一般化（または普遍的導入）

${\displaystyle {\underline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}$

${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }$

制約1: は には出現しない変数です。制約2: はいかなる仮説や未実現の仮定にも言及されていません。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varphi }$
${\displaystyle \beta }$

普遍的インスタンス化（または普遍的除去）

${\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }$

${\displaystyle {\overline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}$

制限:での の自由出現は、で出現する変数を量化する量指定子の範囲内に含まれません。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$

存在の一般化（または存在の導入）

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}}$

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }$

制限:での の自由出現は、で出現する変数を量化する量指定子の範囲内に含まれません。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$

存在の具体化（または存在の除去）

${\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )\vdash \psi }}}$

${\displaystyle \psi }$

制約 1: は には出現しない変数です。 制約 2: は、自由または束縛された状態でには出現しません。制約 3: は 、いかなる仮説や未履行の仮定にも記載されていません。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varphi }$
${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \psi }$
${\displaystyle \beta }$

ルール部分構造論理

以下は普遍一般化と存在消去の特殊なケースであり、線形論理などの部分構造論理で発生します。

弱化の規則（または含意の単調性）（別名：複製不可定理）

${\displaystyle \alpha \vdash \beta }$

${\displaystyle {\overline {\alpha ,\alpha \vdash \beta }}}$

縮約の規則（または含意の冪等性）（別名、非削除定理）

${\displaystyle {\underline {\alpha ,\alpha ,\gamma \vdash \beta }}}$

${\displaystyle \alpha ,\gamma \vdash \beta }$

表:推論規則

上記の規則は次の表にまとめることができます。^[1]「トートロジー」の列は、与えられた規則の表記法をどのように解釈するかを示しています。

推論の規則	トートロジー	名前
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow q}$	モーダス・ポネンス
${\displaystyle {\begin{aligned}\neg q\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (\neg q\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow \neg p}$	モダス・トレンス
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow r))\rightarrow (p\rightarrow r)}$	仮説的三段論法
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {p\rightarrow (p\wedge q)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (p\rightarrow (p\wedge q))}$	吸収
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\q\\\therefore {\overline {p\wedge q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p)\wedge (q))\rightarrow (p\wedge q)}$	接続詞の紹介
${\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow p}$	接続詞の除去
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {p\vee q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle p\rightarrow (p\vee q)}$	論理和の導入
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\r\rightarrow q\\p\vee r\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (r\rightarrow q)\wedge (p\vee r))\rightarrow q}$	論理和除去
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\wedge \neg p)\rightarrow q}$	選言三段論法
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee p\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\vee p)\rightarrow p}$	選言的単純化
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\vee r\\\therefore {\overline {q\vee r}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (\neg p\vee r))\rightarrow (q\vee r)}$	解決
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow p\\\therefore {\overline {p\leftrightarrow q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\rightarrow (p\leftrightarrow q)}$	二条件付き導入
${\displaystyle ?}$	${\displaystyle ?}$
${\displaystyle ?}$	${\displaystyle ?}$
${\displaystyle ?}$	${\displaystyle ?}$
${\displaystyle ?}$	${\displaystyle ?}$
${\displaystyle ?}$	${\displaystyle ?}$
${\displaystyle ?}$	${\displaystyle ?}$
${\displaystyle ?}$	${\displaystyle ?}$
${\displaystyle ?}$	${\displaystyle ?}$

すべてのルールは基本的な論理演算子を使用します。「論理演算子」の完全な表は真理値表で示され、2つのブール変数（p、q ）の可能な（16個の）真理関数の定義が与えられます。

p	q		0	1	2	3	4	5	6	7		8	9	10	11	12	13	14	15
T	T		F	F	F	F	F	F	F	F		T	T	T	T	T	T	T	T
T	F		F	F	F	F	T	T	T	T		F	F	F	F	T	T	T	T
F	T		F	F	T	T	F	F	T	T		F	F	T	T	F	F	T	T
F	F		F	T	F	T	F	T	F	T		F	T	F	T	F	T	F	T

ここで、T = true、F = false であり、列は論理演算子です。

• 0、false、矛盾;
• 1、NOR、論理 NOR（ピアースの矢印） 。
• 2、逆非含意;
• 3、¬p、否定;
• 4、重大な不関与。
• 5、¬q、否定;
• 6、XOR、排他的論理和;
• 7、NAND、論理NAND（シェファーストローク）;
• 8、AND、論理積;
• 9、XNOR、の場合のみ、論理双条件;
• 10 , q ,投影関数;
• 11、if/then、物質的条件文;
• 12 , p ,投影関数;
• 13、then/if、逆の含意;
• 14、OR、論理和;
• 15、本当、トートロジー。

各論理演算子は、変数と演算に関するアサーションで使用でき、基本的な推論規則を示します。例:

• 列 14 の演算子 (OR) は、加法規則を示します。p =T (仮説が表の最初の 2 行を選択) の場合、列 14 でp ∨ q =T であることがわかります。

  同じ前提で、別の結論が有効であることもわかります。列 12、14、および 15 は T です。

• 列 8 の演算子 (AND) は、簡略化規則を示します。p ∧ q =T (表の最初の行) の場合、p =T であることがわかります。

  この前提に基づいて、 9～15列目に示すように、 q =T、p ∨ q =Tなどであるとも結論付けられます。

• 11列目の演算子（IF/THEN）は、モーダス・ポネンス（成立条件）の規則を示しています。p → q =Tかつp = Tの場合、真理値表の1行目（最初の行）のみがこれらの2つの条件を満たします。この行ではqも真です。したがって、p → qが真でpが真であれば、qも真でなければなりません。

機械やよく訓練された人間は、この表を見るアプローチを使用して基本的な推論を行い、（同じ前提に対して）他の推論が得られるかどうかを確認します。^{[引用が必要]}

例1

以下の仮定を考えてみましょう。「もし今日雨が降ったら、今日はカヌーには行きません。もし今日カヌーに行かなければ、明日はカヌーに行くでしょう。したがって（「したがって」の数学記号は）、もし今日雨が降ったら、明日はカヌーに行くでしょう。」上記の表の推論規則を用いると、命題を「もし今日雨が降ったら」、を「今日はカヌーには行きません」、を「明日はカヌーに行くでしょう」とします。この議論は以下の形式になります。 ${\displaystyle \therefore }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}$

例2

より複雑な仮定の集合を考えてみましょう。「今日は晴れではなく、昨日よりも寒い」。「晴れた時だけ泳ぎに行く」、「泳ぎに行かなければバーベキューをする」、「バーベキューをするなら日没までに帰宅する」という仮定は、「日没までに帰宅する」という結論を導きます。推論規則による証明：命題「今日は晴れている」、命題「昨日よりも寒い」、命題「泳ぎに行く」、「バーベキューをする」、命題「日没までに帰宅する」とします。すると、仮説は と になります。直感的に、結論は であると推測します。推論規則表を使用すると、この推測を簡単に証明できます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \neg p\wedge q,r\rightarrow p,\neg r\rightarrow s}$ ${\displaystyle s\rightarrow t}$ ${\displaystyle t}$

ステップ	理由
1. ${\displaystyle \neg p\wedge q}$	仮説
2. ${\displaystyle \neg p}$	ステップ1を使用した簡素化
3. ${\displaystyle r\rightarrow p}$	仮説
4. ${\displaystyle \neg r}$	ステップ2と3を使用したModus tollens
5. ${\displaystyle \neg r\rightarrow s}$	仮説
6. ${\displaystyle s}$	ステップ4と5を使用したモーダスポネンス
7. ${\displaystyle s\rightarrow t}$	仮説
8. ${\displaystyle t}$	ステップ6と7を使用したモーダスポネンス

参照

• 哲学ポータル

• 論理システムの一覧
• Modus ponendo tollens

参考文献

1. Kenneth H. Rosen:離散数学とその応用、第 5 版、58 ページ。

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