4次五角形タイル

4次五角形タイル
双曲面のポアンカレ円板モデル
タイプ	双曲正規タイリング
頂点構成	5 ⁴
シュレーフリ記号	{5,4} r{5,5} または ${\begin{Bmatrix}5\\5\end{Bmatrix}}$
ウィトフ記号	4 \| 5 2 2 \| 5 5
コクセター図	または
対称群	[5,4]、(542) [5,5]、(552)
デュアル	5次元正方形タイル
プロパティ	頂点推移、辺推移、面推移

幾何学において、4次五角形タイリング（4じんがくごうけい）は、双曲平面上の正則タイリングである。シュレーフリ記号は{5,4}である。これは、二色準正則形式の五角形タイリングとも呼ばれる。

対称

このタイリングは、正五角形の辺として交わる5枚の鏡面からなる双曲型万華鏡を表しています。オービフォールド記法によるこの対称性は、5つの2次鏡面交差を持つ*22222と呼ばれます。コクセター記法では[5 ^* ,4]と表され、[5,4]対称性における3つの鏡面のうち2つ（五角形の中心を通る）を取り除いたものとなります。

万華鏡のような領域は、基本領域の鏡像を表す二色の五角形として見ることができます。この色分けは一様タイリング t ₁ {5,5} を表し、準規則的なタイリングであるため五角形タイリングと呼ばれます。

関連する多面体とタイリング

均一な五角形/正方形のタイル v t e
対称性: [5,4], (*542)							[5,4] ⁺ , (542)	[5 ⁺ ,4], (5*2)	[5,4,1 ⁺ ]、(*552)


{5,4}	t{5,4}	r{5,4}	2t{5,4}=t{4,5}	2r{5,4}={4,5}	rr{5,4}	tr{5,4}	sr{5,4}	s{5,4}	h{4,5}
ユニフォームデュアル


V5 ⁴	バージョン4.10.10	V4.5.4.5	バージョン5.8.8	V45	バージョン4.4.5.4	バージョン4.8.10	V3.3.4.3.5	V3.3.5.3.5	V5 ⁵

均一な五角形のタイル張り v t e
対称性: $[5,5], (*552)$							$[5,5] +, (552)$
＝	＝	＝	＝	＝	＝	＝	＝

5次五角形タイル ${5,5}$	切断された5次五角形タイル $t{5,5}$	4次五角形タイリング $r{5,5}$	切断された5次五角形タイル $2t{5,5} = t{5,5}$	5次五角形タイル $2r{5,5} = {5,5}$	四角形のタイル張り $rr{5,5}$	切り詰められた4次五角形タイリング $tr{5,5}$	スナブ五角形タイル $sr{5,5}$
ユニフォームデュアル


5次五角形タイリング $V5.5.5.5.5$	$バージョン5.10.10$	5次正方形タイリング $V5.5.5.5$	$バージョン5.10.10$	5次五角形タイリング $V5.5.5.5.5$	$V4.5.4.5$	$バージョン4.10.10$	$V3.3.5.3.5$

このタイリングは、正多面体と五角形の面を持つタイリングの列の一部として位相的に関連しており、正十二面体、シュレーフリ記号{5,n}、コクセター図から始まる。無限に進んでいきます。

{5,n} 個のタイリング
{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}

このタイリングは、正多面体と頂点あたり4面のタイリングの列の一部として位相的にも関連しており、シュレーフリ記号{n,4}とコクセター図を持つ八面体から始まる。n は無限大へと進みます。

* n 42 正規タイリングの対称性変異: { n ,4} v t e
球状		ユークリッド	双曲タイル

2 ⁴	3 ⁴	4 ⁴	54	6 ⁴	7 ⁴	8 ⁴	... ∞4

^{このタイリングは、正多面体の列と頂点図形( 4n} )を持つタイリングの一部として位相的に関連付けられている。

* n 42 正規タイリングの対称性変異: {4, n } v t e
球状	ユークリッド	コンパクト双曲型				パラコンパクト
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4,∞}

*5 n 2 の準正則タイリングの対称性変異: (5. n ) ² v t e
対称性 *5 n 2 [n,5]	球状	双曲線					パラコンパクト	非コンパクト
対称性 *5 n 2 [n,5]	*352 [3,5]	*452 [4,5]	*552 [5,5]	*652 [6,5]	*752 [7,5]	*852 [8,5]...	*∞52 [∞,5]	[ n i,5]
数字
設定。	（5.3）²	（5.4）²	（5.5）²	（5.6）²	（5.7）2	（5.8）2	（5.∞）²	（5. n i）²
菱形図形
設定。	V(5.3) ²	V(5.4) ²	V(5.5) ²	V(5.6) ²	V(5.7) ²	V(5.8) ²	V(5.∞) ²	V(5.∞) ²

参考文献

ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第19章双曲アルキメデスのモザイク細工）
Coxeter, HSM (1999)、第10章：双曲空間における正則ハニカム（PDF）、幾何学の美：12のエッセイ、Dover Publications、ISBN 0-486-40919-8, LCCN 99035678, 2016年6月10日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2017年2月19日取得、招待講演、ICM、アムステルダム、1954年。

参照

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「双曲型タイリング」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「ポアンカレ双曲面円板」。MathWorld。
双曲面と球面タイルギャラリー
KaleidoTile 3: 球面、平面、双曲面のタイルを作成するための教育用ソフトウェア
双曲平面モザイク、ドン・ハッチ

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