リー代数表現

Writing Lie algebra sets as matrices

数学の表現論分野において、リー代数表現またはリー代数の表現とは、リー代数を行列の集合（またはベクトル空間の自己準同型）として記述する方法であり、その際、リー括弧は交換子によって与えられる。物理学の用語では、ベクトル空間と、角運動量演算子が満たす関係のような、いくつかの固定された交換関係を満たす演算子の集合とを一緒に探す。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

この概念は、リー群の表現の概念と密接に関連しています。大まかに言えば、リー代数の表現はリー群の表現の微分形であり、リー群の普遍被覆の表現はそのリー代数の表現の積分形です。

リー代数の表現の研究において、リー代数に付随する普遍包絡環と呼ばれる特定の環が重要な役割を果たします。この環の普遍性は、リー代数の表現の圏が、その包絡環上の加群の圏と同じであることを意味しています。

正式な定義

をリー代数とし、をベクトル空間とする。を の自己準同型空間、すなわち から自身へのすべての線型写像の成す空間とする。ここで、結合代数は、内の任意のs,tに対して、交換子によって与えられる括弧付きのリー代数に変換される。すると、上のの表現は、リー代数準同型となる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle [s,t]=s\circ t-t\circ s}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$。

明示的には、これは線形写像であり、 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)}$

のすべてのX, Yに対して成り立つ。ベクトル空間Vは、表現ρとともに-加群と呼ばれる。（多くの著者は用語を乱用し、 V自体を表現と呼ぶ）。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

表現が単射である場合、その表現は忠実であると言われます。 ${\displaystyle \rho }$

同様に、ベクトル空間Vと双線型写像の組み合わせとして -モジュールを定義することもできる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times V\to V}$

${\displaystyle [X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)}$

V内のすべてのX,Yとvに対して成り立つ。これは、 X ⋅ v = ρ ( X )( v )と設定することで、前の定義と関連している。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

例

随伴表現

リー代数表現の最も基本的な例は、リー代数のそれ自身の随伴表現です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].}$

実際、ヤコビ恒等式により、はリー代数準同型です。 ${\displaystyle \operatorname {ad} }$

無限小リー群表現

リー代数表現は自然界にも現れる。G → Hが（実または複素）リー群の準同型であり、およびがそれぞれGとHのリー代数であるとき、恒等変換における接空間上の微分はリー代数準同型である。特に、有限次元ベクトル空間Vに対して、リー群の表現は ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,}$

リー代数準同型を決定する

${\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

から一般線型群GL( V )のリー代数、すなわちVの準同型代数に至る。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

例えば、 とします。すると、 の恒等微分は の元になります。これを と表記すると、ベクトル空間 上のGの表現が得られます。これはGの随伴表現です。前述を適用すると、リー代数表現 が得られます。の随伴表現はであることが示されます。 ${\displaystyle c_{g}(x)=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle c_{g}:G\to G}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle d\operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

この命題の部分的な逆は、有限次元（実数または複素数）リー代数のすべての表現は、それと関連する単連結リー群の一意の表現に持ち上げられ、その結果、単連結リー群の表現はそのリー代数の表現と一対一に対応するということを述べている。^[1]

量子物理学では

量子論では、ヒルベルト空間上の自己随伴作用素である「観測可能量」を考察する。これらの作用素間の交換関係は重要なツールとなる。例えば、角運動量作用素は交換関係を満たす。

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},}$。

したがって、これら 3 つの演算子の範囲はリー代数を形成し、これは回転群 SO(3) のリー代数 so(3)と同型です。^[2]このとき、角運動量演算子に関して不変な量子ヒルベルト空間の任意の部分空間が、リー代数 so(3) の表現を構成します。 so(3) の表現論を理解することは、たとえば、水素原子のような回転対称性を持つハミルトニアンの解析に非常に役立ちます。量子物理学の他の分野では、他にも多くの興味深いリー代数 (およびその表現) が生じます。実際、表現論の歴史は、数学と物理学の豊かな相互作用によって特徴付けられます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

基本概念

不変部分空間と既約性

リー代数 の表現が与えられたとき、の部分空間がおよびに対して不変であるとは、任意のに対して不変であることを意味する。非零表現が既約であるとは、不変部分空間がそれ自体と零空間 のみであることを意味する。単純加群という用語は、既約表現にも用いられる。 ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (X)w\in W}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{0\}}$

準同型

をリー代数とする。V 、Wを-加群とする。線型写像は、 -加群の準同型写像とは、-同変であるとき、すなわち任意の に対して であるときである。fが全単射であるとき、は同値であると言われる。このような写像は、絡み合い写像または射とも呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f(X\cdot v)=X\cdot f(v)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V}$ ${\displaystyle V,W}$

同様に、サブモジュール、商、サブ商、直和、ジョルダン・ヘルダー級数など、抽象代数のモジュール理論からの他の多くの構成もこの設定に引き継がれます。

シュアーの補題

既約表現を研究する上で、単純だが有用なツールとしてシュアーの補題がある。これは2つの部分から構成される：^[3]

• V、Wが既約- 加群であり、が準同型である場合、 はゼロまたは同型のいずれかになります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle f}$
• Vが代数的に閉体上の既約- 加群であり準同型である場合、 は単位元 のスカラー倍です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to V}$ ${\displaystyle f}$

完全な還元可能性

V をリー代数 の表現とする。Vが既約表現の直和と同型であるとき、V は完全約可能（または半単純）であると言われる（半単純加群 を参照）。Vが有限次元であるとき、Vが完全に約可能であることと、Vのすべての不変部分空間が不変補空間を持つことは同じである。（つまり、W が不変部分空間であるとき、 V がWとPの直和となるような別の不変部分空間Pが存在する。） ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

が特性零の体上の有限次元半単純リー代数であり、 Vが有限次元であるとき、Vは半単純である。これはワイルの完全還元定理である。^[4]このように、半単純リー代数の場合、既約（すなわち単純）表現の分類は、すべての表現の分類に直接つながる。この特別な性質を持たない他のリー代数の場合、既約表現の分類は、一般表現の分類にはあまり役立たない可能性がある。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー代数は、随伴表現が半単純であるとき、簡約的であると言われる。確かに、すべての（有限次元）半単純リー代数は簡約的である。なぜなら、のすべての表現は、既に述べたように完全に簡約可能であるからである。逆に言えば、簡約リー代数の定義は、非自明な部分イデアルを持たないイデアル（すなわち、随伴表現の不変部分空間）の直和として分解されることを意味する。これらのイデアルの一部は1次元であり、残りは単純リー代数である。したがって、簡約リー代数は、可換代数と半単純代数の直和である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

不変量

Vの元vが-不変であるとは、すべての に対して であるとき言う。不変な元全体の集合は と表記される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{\mathfrak {g}}}$

基本的な構造

表現のテンソル積

リー代数の2つの表現があり、その基礎ベクトル空間がV ₁とV ₂である場合、表現のテンソル積は基礎ベクトル空間としてV ₁ ⊗ V ₂を持ち、作用は次の仮定によって一意に決定される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).}$

すべてのおよびについて。 ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$

準同型写像の言語では、これは次の式で 定義されることを意味する。 ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})}$

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)}$[ ^5]これは と のクロネッカー和と呼ばれ、行列の加算#クロネッカー和とクロネッカー積#特性、より具体的には表現のテンソル積で定義されています。 ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$

物理学の文献では、恒等演算子とのテンソル積はしばしば表記法から省略され、次のように表される。

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)}$、

ここで、 はテンソル積の最初の因子に作用し、 はテンソル積の2番目の因子に作用することが理解されています。リー代数su(2)の表現の文脈では、表現のテンソル積は「角運動量の加法」と呼ばれます。この文脈では、例えば は軌道角運動量、 はスピン角運動量となります。 ${\displaystyle \rho _{1}(x)}$ ${\displaystyle \rho _{2}(x)}$ ${\displaystyle \rho _{1}(X)}$ ${\displaystyle \rho _{2}(X)}$

二重表現

をリー代数とし、を の表現とする。 をの双対空間、すなわち 上の線型汎関数の空間とする。すると、 の表現を次の式で定義できる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})}$

${\displaystyle \rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },}$

ここで、任意の演算子 に対して、転置演算子 は「 演算子との合成」として定義されます。 ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av)}$

の定義におけるマイナス記号は、恒等式に照らして、が実際に の表現であることを保証するために必要である。 ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }.}$

基底で作業する場合、上記の定義の転置は通常の行列転置として解釈できます。

線形地図上の表現

を-加群、リー代数とする。すると、は と置くことによって -加群になる。特に である。つまり、からへの -加群準同型は、の元のうち、先ほど定義した の への作用によって不変となるものだけである。 を基底体とすると、前の節で示した のへの の作用が得られる。 ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{*}}$

半単純リー代数の表現論

半単純リー代数の表現論を参照してください。

包絡代数

体k上の各リー代数には、の普遍包絡代数と呼ばれる環を関連付けることができ、と表記されます。普遍包絡代数の普遍性は、 のあらゆる表現が の表現を生み出すことを保証します。逆に、PBW定理によれば、は の内部に存在するため、 のあらゆる表現はに制限できます。したがって、 の表現と の表現の間には一対一の対応関係があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

普遍包絡代数は、上述の半単純リー代数の表現論において重要な役割を果たしている。具体的には、有限次元既約表現はヴェルマ加群の商として構成され、ヴェルマ加群は普遍包絡代数の商として構成される。^[6]

の構成は以下の通りである。^[7] Tをベクトル空間のテンソル代数とする。したがって、定義により、その乗法はで与えられる。を、形式の元によって生成されるイデアルによる Tの商環とする。 ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X)}$。

からへの自然な線型写像は、の商写像を1 次に制限することによって得られる。PBW定理は、この標準写像が実際には単射であることを意味する。したがって、任意のリー代数は、上の括弧がにおいてで与えられるような方法で結合代数に埋め込むことができる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle T\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A=U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle A}$

がアーベルである場合、 はベクトル空間 の対称代数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

は随伴表現を介して自身上の加群となるため、包絡代数は随伴表現を拡張することで -加群となる。しかし、左正規表現と右正規表現を用いて包絡代数を-加群にすることもできる。つまり、 と表記することで、写像は上の の表現を定義する。右正規表現も同様に定義される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

誘導表現

を特性零の体と部分代数上の有限次元リー代数とする。は右から作用するので、任意の-加群Wに対して左 -加群を形成することができる。これはWによって表され、 Wによって誘導される -加群と呼ばれる。これは、任意の-加群Eに対して、以下の普遍性を満たす（そして実際にそれによって特徴付けられる）。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)}$。

さらに、は -加群の圏から-加群の圏への完全関手である。これはが 上の自由右加群であるという事実を利用している。特に、が単純（または絶対単純）であれば、Wも単純（または絶対単純）である。ここで、-加群V が絶対単純とは、任意の体拡大 に対して が単純である場合である。 ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle F/k}$

帰納法は推移的である：任意のリー部分代数と任意のリー部分代数に対して。帰納法は制約と可換である： を部分代数 とし、のイデアルがに含まれるとする。 と とする。すると となる。 ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}}$

無限次元表現と「カテゴリO」

を特性ゼロの体上の有限次元半単純リー代数とします。(可解または冪零の場合、包絡代数の原始イデアルを研究します。決定的な説明については Dixmier を参照してください。 ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

上の（おそらく無限次元の）加群の圏は、特にホモロジー代数の手法を用いるには大きすぎることが判明した。零特性の半単純な場合の表現論には、より小さな部分圏Oが適していることが認識された。例えば、Oは有名なBGG相互性を定式化するのに適切な大きさであることがわかった。^[要出典] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(g,K)モジュール

リー代数表現の最も重要な応用の一つは、実簡約リー群の表現論への応用である。この応用は、例えば連結実半単純線型リー群Gのヒルベルト空間表現であるとき、複素化と連結最大コンパクト部分群Kという二つの自然な作用を持つという考えに基づいている。の -加群構造は代数的、特にホモロジー的手法の適用を可能にし、-加群構造は連結コンパクト半単純リー群の場合と同様の方法で調和解析を実行することを可能にする。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle K}$

代数上の表現

リー超代数Lがある場合、代数上のLの表現は(必ずしも結合的ではない) Z ₂次 数代数 Aであり、これはLをZ ₂ 次数付きベクトル空間として表現したもので、さらにLの要素はA上の微分/反微分として機能します。

より具体的には、HがLの純粋元であり、xとyがAの純粋元である場合、

H [ xy ] = ( H [ x ]) y + (−1) ^xH x ( H [ y ])

また、Aが単位である場合、

H [1] = 0

さて、リー代数の表現の場合、すべての次数と (-1) をいくつかのべき乗係数に単純に削除します。

リー（超）代数は代数であり、それ自身の随伴表現を持ちます。これは代数上の表現であり、（反）微分性は超ヤコビ恒等式です。

ベクトル空間が結合代数とリー代数の両方であり、リー代数のそれ自身への随伴表現が代数上の表現である（すなわち、結合代数構造に微分作用する）場合、それはポアソン代数である。リー超代数に対する同様の観察から、ポアソン超代数の概念が得られる。

参照

• リー群の表現
• 重み（表現理論）
• 完全還元性に関するワイルの定理
• 根系
• ワイル指標式
• 連結コンパクトリー群の表現論
• ホワイトヘッドの補題（リー代数）
• カジダン・ルスティグ予想
• キレンの補題- シュアーの補題の類似

注記

1. ホール 2015 定理 5.6
2. ホール 2013 セクション 17.3
3. ホール 2015 定理 4.29
4. ディクスミア 1977、定理1.6.3
5. ホール 2015 セクション 4.3
6. ホール 2015 セクション 9.5
7. ジェイコブソン 1962

参考文献

• Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, 「最高重みベクトルによって生成される表現の構造」, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
• Dixmier, J. (1977), Enveloping Algebras , Amsterdam, New York, Oxford: North-Holland, ISBN 0-444-11077-1。
• A. Beilinson および J. Bernstein、「Localisation de g-modules」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I、vol. 292、iss。 1、15-18ページ、1981年。
• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1990). A. van Groesen; EM de Jager (編).有限次元および無限次元リー代数とその物理学への応用. 数理物理学研究. 第1巻. 北ホラント. ISBN 0-444-88776-8。
• バウアーレ、GGA;デ・カーフ、EA;テン・クルード、APE (1997)。 A.ファン・グローセン。 EM デ・イェーガー (編)。有限次元および無限次元のリー代数とその物理学への応用。数理物理学の研究。 Vol. 7. 北オランダ。ISBN 978-0-444-82836-1– ScienceDirect経由。
• フルトン, W. ;ハリス, J. (1991).表現論 入門.大学院数学テキスト. 第129巻. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249。
• D. ゲイツゴリー、幾何学的表現論、数学 267y、2005年秋
• ホール、ブライアン・C.（2013）「数学者のための量子理論」、数学大学院テキスト、第267巻、シュプリンガー、ISBN 978-1461471158
• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-3319134666
• ロスマン、ウルフ（2002）、リー群 - 線型群による入門、オックスフォード大学院数学テキスト、オックスフォードサイエンス出版、ISBN 0-19-859683-9
• 堀田良史、竹内清、谷崎俊之、Dモジュール、倒錯層、表現理論;武内清訳
• ハンフリーズ、ジェームズ（1972）「リー代数と表現論入門」、Graduate Texts in Mathematics、第9巻、Springer、ISBN 9781461263982
• ジェイコブソン、ネイサン(1979) [1962].リー代数. ドーバー. ISBN 978-0-486-63832-4。
• ギャレット・バーコフ、フィリップ・M・ホイットマン(1949). 「ジョーダン代数とリー代数の表現」(PDF) . Trans. Amer. Math. Soc. 65 : 116–136 . doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0029366-6 .
• キリロフ, A. (2008). 『リー群とリー代数入門』ケンブリッジ高等数学研究第113巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521889698。
• ナップ、アンソニー・W.（2001）「半単純群の表現論。例に基づく概観」、プリンストン数学ランドマーク、プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-09089-0（SL(2, C )の基本的な処理）
• ナップ、アンソニー・W.（2002）、リー群の超越と入門（第2版）、ビルクハウザー

さらに読む

• Ben-Zvi, David; Nadler, David (2012). 「ハリシュ・チャンドラ中心上のベイリンソン・バーンスタイン局在」arXiv : 1209.0188v1 [math.RT].

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