リー代数の拡張

Creating a "larger" Lie algebra from a smaller one, in one of several ways

リー群、リー代数、およびそれらの表現論において、リー代数拡大 eとは、あるリー代数gを別のリー代数hで拡大したものである。拡大はいくつかの方法で生じる。2つのリー代数の直和をとることで得られる自明な拡大がある。他には、分割拡大や中心拡大がある。拡大は、例えば、射影群表現からリー代数を形成するときなどに自然に生じることがある。このようなリー代数は中心電荷を含む。

有限次元単純リー代数上の多項式ループ代数から出発し、中心拡張と微分による拡張という二つの拡張を行うことで、非ねじれアフィンカツ・ムーディ代数と同型なリー代数が得られる。中心拡張されたループ代数を用いることで、二次元時空におけるカレント代数を構築することができる。ヴィラソロ代数は、ウィット代数の普遍中心拡張である。^[1]

物理学では中心拡大が必要である。なぜなら、量子化システムの対称群は通常、古典的対称群の中心拡大であり、同様に、量子システムの対応する対称リー代数は、一般に、古典的対称代数の中心拡大であるからである。^[2]カク・ムーディ代数は、統一超弦理論の対称群であると予想されている。 ^{[3]中心拡大リー代数は、}量子場の理論、特に共形場理論、弦理論、M理論で支配的な役割を果たしている。^{[4] [5]}

本書の終盤では、リー代数拡張の応用に関する背景資料（数学と物理学の両方において、実際に役立つ分野）に多くの部分が割かれています。必要に応じて、括弧内のリンク（背景資料）が提供されています。

歴史

リー対応のため、リー代数拡大の理論、ひいてはリー代数拡大の歴史は、群拡大の理論と歴史と密接に結びついている。群拡大の体系的な研究は、オーストリアの数学者オットー・シュライアーによって1923年に博士論文で行われ、後に出版された。^{[注 1] [6] [7]}オットー・ヘルダーが博士論文で提示した問題は、「2つの群GとHが与えられたとき、因子群E / NがHと同型となるような、G と同型の正規部分群Nを持つすべての群Eを見つける」というものであった。

リー代数の拡大は、無限次元リー代数において最も興味深く有用である。1967年、ヴィクター・カックとロバート・ムーディはそれぞれ独立に古典リー代数の概念を一般化し、現在カック・ムーディ代数と呼ばれる無限次元リー代数の新しい理論を生み出した。^{[8] [9]}これらは有限次元単純リー代数を一般化し、多くの場合、拡大として具体的に構成することができる。^[10]

表記法と証明

以下に見られる表記法の乱用には、引数が与えられた指数写像expに対するe ^X 、直積G × Hの元( g、e _H )に対するgの記述( e _HはHの恒等式)、およびリー代数の直和に対する同様の記述 ( g + hと( g、h )も互換的に使用される) が含まれます。半直積と半直和についても同様です。標準的注入 (群とリー代数の両方に対して) は暗黙の同一視に使用されます。さらに、G、H 、... が群である場合、 G、H、...の元のデフォルト名はg、h、... であり、それらのリー代数はg、h 、... です。 g、h、...の元のデフォルト名はG、H、... (群の場合と同じです) で、これは一部には貴重なアルファベットのリソースを節約するためですが、主に表記法を統一するためです。

拡張の材料であるリー代数は、特に注釈なしに、同じ体上にあるとみなされます。

合計規則が適用されますが、これには関係するインデックスが両方とも上階にある場合や両方とも下階にある場合も含まれます。

注意：以下の証明および証明の概要のすべてが普遍的な妥当性を持つわけではありません。主な理由は、リー代数はしばしば無限次元であり、そのリー代数に対応するリー群が存在するかどうかは定かではないからです。さらに、たとえそのような群が存在したとしても、「通常の」性質を持たない可能性があります。例えば、指数写像は存在しない可能性があり、存在したとしても「通常の」性質の全てを持たない可能性があります。このような場合、その群に「リー」という修飾語を付与すべきかどうかは疑問です。文献は統一されていません。明示的な例については、関連する構造が適切に整備されていると考えられます。

意味

リー代数の拡張は短完全列を用いて形式化される。^[1]短完全列とは長さが3の完全列であり、

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

1

iは単射、sはエピモーフィズム、ker s = im iとなる。これらの完全列の性質から、（の像）はにおけるイデアルであることが分かる。さらに、 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {e}}/\operatorname {Im} i={\mathfrak {e}}/\operatorname {Ker} s,}$

しかし、が の部分代数と同型であるとは必ずしも言えない。この構成は、群拡大という密接に関連した概念における類似の構成を反映している。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

( 1 )の状況が、非自明に、かつ同じ体上のリー代数に対して成り立つ場合、 はによるの拡張であると言える。 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

プロパティ

定義的性質は再定式化される可能性がある。リー代数は、 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

2

は正確です。ここで、両端の零点は零リー代数（零ベクトル0のみを含む）を表し、写像は自明なものです。つまり、0 を0に写し、のすべての要素を0に写します。この定義から、 iは単射であり、sはエピモーフィズムであることが自動的にわかります。 ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

による拡大は必ずしも一意ではない。 を2つの拡大と表記し、以下の素数は自明な解釈を持つものとする。すると、リー代数同型が存在し、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}},{\mathfrak {e}}'}$ ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {e}}'}$

${\displaystyle f\circ i=i',\quad s'\circ f=s,}$

と は同値な拡大であると言われる。拡大の同値性は同値関係である。 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}'}$

拡張機能の種類

些細な

リー代数の拡張

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {t}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

は、 t = i ⊕ ker sとなるような部分空間iが存在し、iがtのイデアルである場合に自明である。^[1]

スプリット

リー代数の拡張

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {s}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

s = u ⊕ ker s がベクトル空間として成り立ち、uがsの部分代数となるような部分空間uが存在する場合、 s は分割されます。

イデアルは部分代数であるが、部分代数は必ずしもイデアルではない。したがって、自明な拡大は分割拡大である。

中央

リー代数gのアーベルリー代数hによる中心拡大は、g上のいわゆる（非自明な）2-コサイクル（背景）の助けを借りて得られる。非自明な2-コサイクルは、リー群の射影表現（背景）の文脈で現れる。これについては後述する。

リー代数の拡張

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

ker s がeの中心Z ( e )に含まれる場合、ker s は中心拡大です。

プロパティ

• 中心はすべてと可換なので、この場合のh ≅ im i = ker sはアーベルです。
• gの中心拡大eが与えられれば、 g上に2-コサイクルを構築できる。eはhによるgの中心拡大であるとする。lはgからeへの線型写像で、 s ∘ l = Id _g、すなわちlはsの切断であるものとする。この切断を用いてε : g × g → eを次のように定義する。

${\displaystyle \epsilon (G_{1},G_{2})=l([G_{1},G_{2}])-[l(G_{1}),l(G_{2})],\quad G_{1},G_{2}\in {\mathfrak {g}}.}$

ε写像は

${\displaystyle \epsilon (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}}.}$

これを確認するには、左辺でεの定義を使用し、次にlの線形性を使用します。 gのヤコビ恒等式を使用して、6 つの項の半分を除去します。3つのリー括弧内の項l ([ G _i , G _j ])にεの定義を再度使用し、リー括弧の双線形性、およびeのヤコビ恒等式を使用し、最後に残りの 3 つの項にIm ε ⊂ ker sおよびker s ⊂ Z ( e )を使用して、ε ( G _i , G _j )がすべてで 0 に括弧で囲まれるようにします。すると、φ = i ⁻¹ ∘ εが対応する関係を満たし、さらにhが 1 次元の場合、φはg上の 2 共環になります( hと基礎フィールドとの自明な対応により)。

中央拡張

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

他のすべての中心拡張に対しては

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}'\;{\overset {i'}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}'\;{\overset {s'}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

一意の準同型が存在し、図 ${\displaystyle \Phi :{\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {e}}'}$ ${\displaystyle \Psi :{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}'}$

可換である。すなわち、i ' ∘ Ψ = Φ ∘ iかつs ' ∘ Φ = sである。普遍性により、このような普遍中心拡大は同型性を除いて一意であると容易に結論付けることができる。

工事

直和による

を同じ体上のリー代数とする。定義 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}},}$

と、 上の点ごとの加算を定義します。スカラー乗算は次のように定義されます 。 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

${\displaystyle \alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in {\mathfrak {h}},G\in {\mathfrak {g}}.}$

これらの定義を用いると、は 上のベクトル空間となる。リー括弧を用いると、 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}\equiv {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle [(H_{1},G_{1}),(H_{2},G_{2})]=([H_{1},H_{2}],[G_{1},G_{2}]),}$

3

${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$はリー代数である。さらに定義する

${\displaystyle i:{\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {e}};H\mapsto (H,0),\quad s:{\mathfrak {e}}\twoheadrightarrow {\mathfrak {g}};(H,G)\mapsto G.}$

( 1 )が完全列として成り立つことは明らかである。によるのこの拡大は自明拡大と呼ばれる。もちろん、これはリー代数の直和にほかならない。定義の対称性により、もによるの拡大であるが、 である。 ( 3 )から、部分代数がイデアル（リー代数）であることは明らかである。リー代数の直和のこの性質は、自明拡大の定義にまで昇格される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle 0\oplus {\mathfrak {g}}}$

半直和により

準同型G → Aut( H )を使った群の半直積（背景）の構築にヒントを得て、リー代数に対応する構成を作ることができます。

ψ : g → Der hがリー代数準同型ならば、 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [(H,G),(H',G')]=([H,H']+\psi _{G}(H')-\psi _{G'}(H),[G,G']),\quad H,H'\in {\mathfrak {h}},G,G'\in {\mathfrak {g}}.}$

7

このリー括弧を用いて得られるリー代数はe = h ⊕ _S gと表され、 hとgの半直和と呼ばれます。

( 7 )を考察すると、 0 ⊕ gはeの部分代数であり、h ⊕ 0はeのイデアルであることがわかる。i : h → e をH ↦ H ⊕ 0で定義し、s : e → gをH ⊕ G ↦ G , H ∈ h , G ∈ gで定義する。 ker s = im iであることは明らかである。したがって、eはhによるgのリー代数拡大である。

自明な拡張と同様に、このプロパティは分割拡張の定義に一般化されます。

例Gをローレンツ群O(3, 1)と
し、Tを4次元の並進群で、に同型とし、ポアンカレ群Pの乗法則を考える。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{4},+)}$

${\displaystyle (a_{2},\Lambda _{2})(a_{1},\Lambda _{1})=(a_{2}+\Lambda _{2}a_{1},\Lambda _{2}\Lambda _{1}),\quad a_{1},a_{2}\in \mathrm {T} \subset \mathrm {P} ,\Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {O} (3,1)\subset \mathrm {P} ,}$

（ここで、TとO(3, 1)はPにおけるそれらの像と同一視される）。このことから、ポアンカレ群において、(0, Λ)( a , I )(0, Λ ⁻¹ ) = (Λ a , I ) ∈ T ⊂ P が直ちに成立する。したがって、すべてのローレンツ変換Λ は、 Tの自己同型Φ _Λとその逆Φ _{Λ ⁻¹}に対応し、Φ は明らかに準同型である。ここで定義する。

${\displaystyle {\overline {\mathrm {P} }}=\mathrm {T} \otimes _{S}\mathrm {O} (3,1),}$

（4）で与えられた乗算を備えている。定義を解くと、この乗算は最初に述べた乗算と同じであり、P = Pが導かれる。 （5'）からΨΛ = Ad _Λが導かれ、 （6'）からψλ = ad _λが導かれる_。λ ∈ o ( 3, 1)。

派生的に

δ をhの微分（背景）とし、δが張る1次元リー代数をgで表す。e = g ⊕ h上のリー括弧を^{[nb 2] [11]}で定義する。

${\displaystyle [G_{1}+H_{1},G_{2}+H_{2}]=[\lambda \delta +H_{1},\mu \delta +H_{2}]=[H_{1},H_{2}]+\lambda \delta (H_{2})-\mu \delta (H_{1}).}$

括弧の定義から、hはeにおけるイデアルであり、gはeの部分代数であることは明らかです。さらに、gはeにおいてhの補集合です。i : h → e をH ↦ (0, H )で与え、s : e → g を( G , H ) ↦ Gで与えるとします。 im i = ker sであることは明らかです。したがって、eはhによるgの分割拡大です。このような拡大は微分による拡大と呼ばれます。

ψ : g → der hがψ ( μδ )( H ) = μδ ( H )で定義されるとき、ψはder hへのリー代数準同型となる。したがって、この構成は半直和の特別な場合である。なぜなら、ψから出発して前節の構成を用いると、同じリー括弧が得られるからである。

2コサイクル

εがリー代数g上の 2-コサイクル（背景）でh が任意の 1 次元ベクトル空間である場合、 e = h ⊕ g（ベクトル空間直和）とし、e上のリー括弧を次のように 定義する。

${\displaystyle [\mu H+G_{1},\nu H+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\varepsilon (G_{1},G_{2})H,\quad \mu ,\nu \in F.}$

ここでHはhの任意だが固定された元である。反対称性はgのリー括弧の反対称性と 2-コサイクルの反対称性から従う。ヤコビ恒等式はgとεの対応する性質から従う。したがってeはリー代数である。G ₁ = 0と置くとμH ∈ Z ( e )が導かれる。また、 i : μH ↦ ( μH , 0)およびs : ( μH , G ) ↦ GのときIm i = ker s = {( μH , 0): μ ∈ F } ⊂ Z( e )が導かれる。したがってeはhによるgの中心拡大である。これは2-コサイクルによる拡大と呼ばれる。

定理

以下は中心拡張と2コサイクルに関するいくつかの結果である。^[12]

定理^[1]リー代数g上の共相2-コサイクルをφ ₁とφ ₂
と し、これらの2-コサイクルから構成される中心拡大をそれぞれe ₁とe _{2とする。このとき、中心拡大}e ₁とe ₂は同値拡大である。証明定義により、φ ₂ = φ ₁ + δfである。定義

${\displaystyle \psi :G+\mu c\in {\mathfrak {e}}_{1}\mapsto G+\mu c+f(G)c\in {\mathfrak {e}}_{2}.}$

定義からψはリー代数同型であり、( 2 )が成り立つことがわかる。

系
コホモロジー類[ Φ ] ∈ H ² ( g , F )は同型を除いて一意であるgの中心拡大を定義する。

自明な 2-コサイクルは自明な拡大を与え、2-コ境界は自明な 2-コサイクルと共相であるため、次が成り立ちます。
共
境界によって定義される中心拡大は、自明な中心拡大と同等です。

定理
有限次元単純リー代数は、自明な中心拡大のみを持つ。
証明
あらゆる中心拡大は2-コサイクルφから生じるので、あらゆる2-コサイクルがコ境界であることを示すだけで十分である。φがg上の2-コサイクルであると仮定する。課題は、この2-コサイクルを用いて、 φ = δfとなる1-コチェーンfを作成することである。

最初のステップは、各G ₁ ∈ gに対して、φを用いて ρ _{G 1} : g → Fを によって線型写像ρ G 1 : g → F を定義することである。これらの線型写像はg ^∗の元である。ν : g ^∗ → gを非退化キリング形式Kに関連付けられたベクトル空間同型とし、によって線型写像d : g → gを定義する。これは微分となる（証明は下記参照）。半単純リー代数に対してはすべての微分は内部微分であるため、あるG _d ∈ gに対してd = ad _{G d}が成り立つ。そして ${\displaystyle \rho _{G_{1}}(G_{2})\equiv \varphi (G_{1},G_{2})}$ ${\displaystyle d(G_{1})\equiv \nu (\rho _{G_{1}})}$

${\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})\equiv \rho _{G_{1}}(G_{2})=K(\nu (\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2})=K(\mathrm {ad} _{G_{d}}(G_{1}),G_{2})=K([G_{d},G_{1}],G_{2})=K(G_{d},[G_{1},G_{2}]).}$

fを1次コチェーンと定義する。

${\displaystyle f(G)=K(G_{d},G).}$

それから

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}])=K(G_{d},[G_{1},G_{2}])=\varphi (G_{1},G_{2}),}$

φが共境界であることを示します。

dが導出であることの証明

dが実際に微分であることを確認するには、まずνが線形であることに注目し、次に計算する。

${\displaystyle {\begin{aligned}K(d([G_{1},G_{2}]),G_{3}))&=\varphi ([G_{1},G_{2}]),G_{3}))=\varphi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\varphi (G_{2},[G_{3},G_{1}])\\&=K(d(G_{1}),[G_{2},G_{3}])+K(d(G_{1}),(G_{3},G_{1}))=K([d(G_{1}),G_{2}],G_{3})+K([G_{1},d(G_{2})],G_{3}))\\&=K([d(G_{1}),G_{2}]+[G_{1},d(G_{2})],G_{3}).\end{aligned}}}$

Kの非退化を利用すると、 Kの左引数は最左と最右で等しくなります。

対称非退化結合形式Kと 2-コサイクルφが与えられたとき、 微分d を次のように定義できるという観察は、

${\displaystyle K(\nu (\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2}),}$

あるいはKの対称性とφの反対称性を利用して、

${\displaystyle K(d(G_{1}),G_{2})=-K(G_{1},d(G_{2})),}$

必然的に次の結論が導かれます。

系
L :' g × g : → Fを非退化対称結合双線型形式とし、dを次を満たす微分とする。

${\displaystyle L(d(G_{1}),G_{2})=-L(G_{1},d(G_{2})),}$

φは次のように定義される 。

${\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})=L(d(G_{1}),G_{2})}$

2-コサイクルです。

証明dに関する条件はφの反対称性を保証する。2-コサイクルのヤコビ恒等式は、

${\displaystyle \varphi ([G_{1},G_{2}],G_{3})=L(d[G_{1},G_{2}],G_{3})=L([d(G_{1}),G_{2}],G_{3})+L([G_{1},d(G_{2})],G_{3}),}$

形式の対称性、括弧の反対称性、そしてもう一度Lによるφの定義を使用します。

gがリー群Gのリー代数であり、eがgの中心拡大である場合、リー代数eを持つリー群Eが存在するかどうかという疑問が生じる。リーの第三定理により、その答えは肯定的である。しかし、リー代数eを持つGの中心拡大E は存在するのだろうか？この疑問の答えを得るにはある程度の計算が必要であり、Tuynman & Wiegerinck (1987, Theorem 5.4) に述べられている。

アプリケーション

前述の定理の「否定的」な結果は、少なくとも半単純リー代数においては、中心拡大の有用な応用を見つけるには無限次元リー代数にまで遡る必要があることを示しています。実際、そのような応用は存在します。ここでは、アフィンKac-Moody代数とVirasoro代数を紹介します。これらはそれぞれ、多項式ループ代数とWitt代数の拡大です。

多項式ループ代数

gを多項式ループ代数（背景）とする。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {C} [\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}}_{0},}$

ここでg ₀は複素有限次元単純リー代数である。目標はこの代数の中心拡大を見つけることである。2つの定理が適用される。一方で、gに2-コサイクルが存在する場合、中心拡大を定義できる。他方で、この2-コサイクルがg ₀部分（のみ）に作用する場合、結果として得られる拡大は自明である。さらに、g _{0 （のみ）に作用する微分は2-コサイクルの定義に用いることもできない。なぜなら、これらの微分はすべて内部的なものであり、同じ問題が生じるからである。したがって、} C [ λ , λ ⁻¹ ]上の微分を探す。そのような微分集合の1つは

${\displaystyle d_{k}\equiv \lambda ^{k+1}{\frac {d}{d\lambda }},\quad k\in \mathbb {Z} .}$

g上の非退化双線型結合反対称形式Lを作るために、まずmとnを固定した上で、引数の制約に注意を払う。この要件を満たすすべての形式はg ₀上のキリング形式Kの倍数であるという定理がある。^[13]これは、

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\gamma _{lm}K(G_{1},G_{2}).}$

Kの対称性は

${\displaystyle \gamma _{mn}=\gamma _{nm},}$

そして結合性は

${\displaystyle \gamma _{m+k,n}=\gamma _{m,k+n}.}$

m = 0のとき、 γ _k,n = γ _{0, k + n}が成り立つ。この最後の条件は前者の条件を暗示している。この事実を用いて、 f ( n ) = γ _{0, n}と定義する。すると定義式は次のようになる。

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=f(m+n)K(G_{1},G_{2}).}$

すべての定義について ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle f(n)=\delta _{ni}\Leftrightarrow \gamma _{mn}=\delta _{m+n,i}}$

対称結合双線型形式を定義する

${\displaystyle L_{i}(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\delta _{m+n,i}K(G_{1},G_{2}).}$

これらは、適切なプロパティを持つフォームのベクトル空間に広がります。

導出と条件に戻ると

${\displaystyle L_{i}(d_{k}(\lambda ^{l}\otimes G_{1}),\lambda ^{m}\otimes G_{2})=-L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},d_{k}(\lambda ^{m}\otimes G_{2})),}$

定義を用いると、

${\displaystyle l\delta _{k+l+m,i}=-m\delta _{k+l+m,i},}$

または、n = l + mのとき、

${\displaystyle n\delta _{k+n,i}=0.}$

これは（および反対称条件）k = iの場合に成立し、特にk = i = 0の場合に成立します。

したがって、L = L ₀およびd = d ₀とする。これらの選択により、系における前提は満たされる。2-コサイクルφは次のように定義される 。

${\displaystyle \varphi (P(\lambda )\otimes G_{1}),Q(\lambda )\otimes G_{2}))=L(\lambda {\frac {dP}{d\lambda }}\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})}$

最終的にgの中心拡大を定義するために用いられる。

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} C,}$

リー括弧付き

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1}+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_{2}+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}]+\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})C.}$

適切に正規化され、反対称構造定数を持つ基底要素については、

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]&=\lambda ^{l+m}\otimes [G_{i},G_{j}]+\varphi (\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+L(\lambda {\frac {d\lambda ^{l}}{d\lambda }}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+lL(\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}K(G_{i},G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}{C_{ik}}^{m}{C_{jm}}^{k}C=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta ^{ij}C.\end{aligned}}}$

これは多項式ループ代数の普遍的な中心拡張である。^[14]

用語に関する注意

物理学用語では、上記の代数はカッツ・ムーディ代数として通用するかもしれないが、数学用語ではおそらく通用しない。そのためには、微分による拡張という追加の次元が必要となる。しかしながら、物理的な応用において、g ₀またはその代表値の固有値が（通常の）量子数として解釈される場合、生成子に付加される上付き文字はレベルと呼ばれる。これは追加の量子数である。固有値がまさにレベルである追加の演算子については、後ほどさらに説明する。

現在の代数

多項式ループ代数の中心的拡張の応用として、量子場の理論のカレント代数が考察される（背景）。興味深い交換子を持つカレント代数が次のようにあるとする。

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+...,}$

CA10

シュウィンガー項を持つ。この代数を数学的に構成するために、gを前節の中心拡張多項式ループ代数とし、

${\displaystyle [\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta _{ij}C}$

交換関係の1つとして、または、物理学の慣例に従って、表記法を（l → m、m → n、i → a、j → b、λ ^m ⊗ G _a → T ^m _a）に変更してiを因子として、^{[nb 3]}

${\displaystyle [T_{a}^{m},T_{b}^{n}]=i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{m+n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C.}$

gの要素を使って定義する。

${\displaystyle J_{a}(x)={\frac {\hbar }{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},x\in \mathbb {R} .}$

注目すべきは

${\displaystyle J_{a}(x+L)=J_{a}(x)}$

円周上に定義される。次に交換子を計算する。

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(x),J_{b}(y)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imy}{L}}T_{b}^{-m}\right]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}e^{\frac {2\pi imy}{L}}[T_{a}^{-n},T_{b}^{-m}].\end{aligned}}}$

簡単にするために、座標をy → 0, x → x − y ≡ zと切り替え、交換関係を用いる。

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(z),J_{b}(0)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}[i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-m-n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi i(-m)z}{L}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }ie^{\frac {2\pi i(l)z}{L}}{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-l}+\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imz}{L}}i{C_{ab}}^{c}J_{c}(z)-\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}n\delta _{ab}C\end{aligned}}}$

ここでポアソン和公式を用いると、

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {-2\pi inz}{L}}={\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (z+nL)=\delta (z)}$

zを区間(0, L)で微分すると

${\displaystyle -{\frac {2\pi i}{L^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }ne^{\frac {-2\pi inz}{L}}=\delta '(z),}$

そして最後に

${\displaystyle [J_{a}(x-y),J_{b}(0)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x-y)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

または

${\displaystyle [J_{a}(x),J_{b}(y)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

デルタ関数の引数は、交換子の左引数と右引数が等しいことを保証するだけであるためです（正式にはδ ( z ) = δ ( z − 0) ↦ δ (( x − y ) − 0) = δ ( x − y )）。

CA10と比較すると、これはシュウィンガー項を含む2次元時空における電流代数であり、空間次元は円状に丸まっている。量子場の理論という古典的な設定では、これはおそらくあまり役​​に立たないが、弦理論の登場により、弦の世界シート上に場が存在し、空間次元が丸まっているため、関連する応用が生まれる可能性がある。

カック・ムーディ代数

前節の2-コサイクルφの構築で用いた微分d ₀は、中心拡張多項式ループ代数（ここではgと表記）上の微分Dに拡張することができ、 Kac-Moody代数^{[15] [16]}（背景）を実現することができる。単に

${\displaystyle D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G.}$

次にベクトル空間として定義する

${\displaystyle {\mathfrak {e}}=\mathbb {C} d+{\mathfrak {g}}.}$

e上のリー括弧は、導出を伴う標準的な構成によれば、次の基底で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{m}\otimes G_{1}+\mu C+\nu D,\lambda ^{n}\otimes G_{2}+\mu 'C+\nu 'D]&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu D(\lambda ^{n}\otimes G_{1})-\nu 'D(\lambda ^{m}\otimes G_{2})\\&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu n\lambda ^{n}\otimes G_{1}-\nu 'm\lambda ^{m}\otimes G_{2}.\end{aligned}}}$

便宜上、定義する

${\displaystyle G_{i}^{m}\leftrightarrow \lambda ^{m}\otimes G_{i}.}$

さらに、基礎となる有限次元単純リー代数上の基底が、構造係数がすべての添字において反対称となり、かつ基底が適切に正規化されるように選ばれていると仮定する。すると、定義を一読するだけで、以下の交換関係が証明される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

これらはまさに、ねじれのないアフィンKac-Moody代数の簡潔な記述です。要約すると、有限次元単純リー代数から始めます。有限次元単純リー代数を係数とする形式ローラン多項式の空間を定義します。対称非退化交代双線型形式と微分を用いて2-コサイクルを定義し、その後、2-コサイクルによる中心拡大の標準的な手順で使用します。この新しい空間に微分を拡張し、微分による分割拡大の標準的な手順を使用すると、ねじれのないアフィンKac-Moody代数が得られます。

ヴィラソロ代数

目的は、ミゲル・アンヘル・ヴィラソロにちなんで名付けられたヴィラソロ代数^[注4]を、ウィット代数W （背景）の2-コサイクルφによる中心拡大として構成することである。詳細はショッテンローハー^[17]を参照のこと。2-コサイクルのヤコビ恒等式は、

${\displaystyle (l-m)\eta _{l+m,n}+(m-n)\eta _{m+n,l}+(n-l)\eta _{n+l,m}=0,\quad \eta _{ij}=\varphi (d_{i},d_{j}).}$

V10

ηの反対称性を用いると、 ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle (m+p)\eta _{mp}=(m-p)\eta _{m+p,0}.}$

拡張において、元d ₀の交換関係は

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi }=-md_{m}+\eta _{0m}C=-m(d_{m}-{\frac {\eta _{0m}}{m}}C).}$

右辺の中心電荷を取り除くことが望ましい。そのためには、

${\displaystyle f:W\to \mathbb {C} ;d_{m}\to {\frac {\varphi (d_{0},d_{m})}{m}}={\frac {\eta _{0m}}{m}}.}$

次に、fを1-コチェーンとして使うと、

${\displaystyle \eta '_{0n}=\varphi '(d_{0},d_{n})=\varphi (d_{0},d_{n})+\delta f([d_{0},d_{n}])=\varphi (d_{0},d_{n})-n{\frac {\eta ^{0n}}{n}}=0,}$

この2-コサイクルは、前のものと等価であり、^[注5]

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi '}=-md_{m}.}$

この新しい2コサイクル（プライムをスキップ）では条件は次のようになる。

${\displaystyle (n+p)\eta _{mp}=(n-p)\eta _{m+p,0}=0,}$

そしてこうして

${\displaystyle \eta _{mp}=a(m)\delta _{m.-p},\quad a(-m)=-a(m),}$

ここで最後の条件はリー括弧の反対称性による。これと、l + m + p = 0（ の「平面」を切り出す）とすると、（V10）は次式を得る。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$

${\displaystyle (2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0,}$

p = 1（ の「線」を切り取る）の場合、 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle (m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0.}$

これは一般に次のように解ける差分方程式である。

${\displaystyle a(m)=\alpha m+\beta m^{3}.}$

Wの元への拡大における交換子は

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C.}$

β = 0の場合には、基底を変更（または 2-コサイクルを 2-コ境界で修正）して、

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d_{l+m},}$

中心電荷は全く存在しないので、拡張は自明である。（これは（一般的には）以前の修正では当てはまらず、d ₀のみが元の関係式を与えた。）β ≠ 0の場合、次の基底変換は、

${\displaystyle d'_{l}=d_{l}+\delta _{0l}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}C,}$

交換関係は次の形をとる

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d'_{l+m}+(\gamma m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C,}$

mにおける線型部分は自明であることを示す。また、 H ² ( W , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$が1次元であることも示す（ βの選択に対応する）。慣例的な選択は、α = − β = 1 ⁄ 12をとり、任意の因子を任意の対象Cに吸収することで自由度を維持することである。すると、ヴィラソロ代数 Vは

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {W}}+\mathbb {C} C,}$

交換関係を持つ

${\displaystyle [d_{l}+\mu C,d_{m}+\nu C]=(l-m)d_{l+m}+{\frac {(m-m^{3})}{12}}\delta _{l,-m}C.}$

ボソン的開弦

相対論的な古典的開弦（背景）は量子化の対象である。これは、おおよそ弦の位置と運動量を開弦の状態空間上の作用素に昇格させることに相当する。弦は拡張された物体であるため、これはパラメータσに依存する作用素の連続体をもたらす。ハイゼンベルク描像では、以下の交換関係が仮定されている。^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[X^{I}(\tau ,\sigma ),{\mathcal {P}}^{\tau J}(\tau ,\sigma )]&=i\eta ^{IJ}\delta (\sigma -\sigma '),\\{}[x_{0}^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]&=-i.\end{aligned}}}$

その他の交換子はすべて消えます。

演算子の連続性とデルタ関数のため、これらの関係式は、ビラソロモードの量子化されたバージョンであるビラソロ演算子で表現することが望ましい。これらは、

${\displaystyle [\alpha _{m}^{I},\alpha _{n}^{J}]=m\eta ^{IJ}\delta _{m+n,0}}$

これらはヒルベルト空間に作用する生成演算子と消滅演算子として解釈され、それぞれのモードの量子を増加または減少させます。指数が負の場合、演算子は生成演算子であり、そうでない場合は消滅演算子です。（指数が0の場合、全運動量演算子に比例します。）光円錐のプラスモードとマイナスモードは横方向のヴィラソロモードで表されるため、ヴィラソロ演算子間の交換関係を考慮する必要があります。これらは古典的に（当時のモードとして）次のように定義されていました。

${\displaystyle L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

量子化理論ではアルファは演算子であるため、因子の順序は重要となる。モード演算子間の交換関係を考慮すると、これは演算子L ₀（m + n = 0）に対してのみ重要となる。L ₀は正規順序で選択される。

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2}}\alpha _{0}^{I}\alpha _{0}^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }\alpha _{-p}^{I}\alpha _{p}^{I},=\alpha 'p^{I}p^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }p\alpha _{p}^{I\dagger }\alpha _{p}^{I}+c}$

ここでcは可能な順序定数である。やや長めの計算^[19]の後、以下の関係 が得られる。

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\quad m+n\neq 0.}$

もし上記の式でm + n = 0を許容するならば、ウィット代数の交換関係が正確に得られる。その代わりに、

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {D-2}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0},\quad \forall m,n\in \mathbb {Z} .}$

一般的な中心項を( D −2)倍の恒等演算子として識別すると、これはヴィラソロ代数、つまりウィット代数の普遍中心拡張になります。

演算子L ₀は、加法定数を法とするハミルトニアンとして理論に導入される。さらに、ヴィラソロ演算子は理論のローレンツ生成子の定義にも導入される。これはおそらく弦理論において最も重要な代数である。^[20]ちなみに、ローレンツ生成子の整合性により、時空の次元は26次元に固定される。ここで提示されたこの理論は（説明を比較的簡単にするために）非物理的、あるいは少なくとも不完全である（例えば、フェルミオンが存在しない）が、ヴィラソロ代数は、より現実的な超弦理論やM理論においても同様に現れる。

グループ拡張

リー群G (背景) の射影表現Π( G )は、いわゆる群拡大G _exを定義するために使用できます。

量子力学において、ウィグナーの定理は、 Gが対称群である場合、それはヒルベルト空間上でユニタリまたは反ユニタリ演算子によって射影的に表されるであろうことを主張する。これは、 Gの普遍被覆群に渡ってそれを対称群とすることでしばしば扱われる。これは回転群SO(3)とローレンツ群O(3, 1)に対してはうまく機能するが、対称群がガリレイ群である場合には機能しない。この場合には、その中心拡大であるバーグマン群[ ^{21]に渡らなければならない。これは}シュレーディンガー方程式の対称群である。同様に、位置と運動量空間における並進の群 の場合、その中心拡大であるハイゼンベルク群^[22]に渡らなければならない。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{2}}$

ω をΠによって誘導されるG上の 2-コサイクルとする。[ ^{nb 6]を定義する。}

${\displaystyle G_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} ^{*}\times G=\{(\lambda ,g)|\lambda \in \mathbb {C} ,g\in G\}}$

集合として、乗算は次のように定義される。

${\displaystyle (\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2}).}$

ωはG上の2-コサイクルなので結合法則が成り立つ。単位元に対して

${\displaystyle (1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e),}$

そして逆の場合

${\displaystyle (\lambda ,g)^{-1}=\left({\frac {1}{\lambda \omega (g,g^{-1})}},g^{-1}\right).}$

集合( , e )は ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$G _exのアーベル部分群である。これはG _{ex が}半単純ではないことを意味する。Gの中心Z ( G ) = { z ∈ G | zg = gz , ∀ g ∈ G }はこの部分群を含む。中心はより大きくなる可能性がある。

リー代数のレベルでは、 G _exのリー代数g _exは次のように与えられることが示される。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} C\oplus {\mathfrak {g}},}$

ベクトル空間として、リー括弧

${\displaystyle [\mu C+G_{1},\nu C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\eta (G_{1},G_{2})C.}$

ここでη はg上の2-コサイクルである。この2-コサイクルはωから得られるが、非常に非自明な方法を用いる必要がある。^{[注 7]}

ここで、射影表現Πを用いて、 Π _{ex の}写像を次のように 定義することができる。

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))=\lambda \Pi (g).}$

それは次のような特性を持っています

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1}))\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{2},g_{2}))=\lambda _{1}\lambda _{2}\Pi (g_{1})\Pi (g_{2})=\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2})\Pi (g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})),}$

したがってΠ _ex ( G _ex )はG _exの正当な表現です。

ウィグナーの定理の文脈では、この状況は次のように表される（U(1)に置き換える）。SHをヒルベルト空間Hの単位球面とし、(·,·)をその内積とする。PHを光線空間とし、[·,·]を光線積とする。さらに、波状の矢印で群作用を表す。すると、図は ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

通勤、つまり

${\displaystyle \pi _{2}\circ \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))(\psi )=\Pi \circ \pi (g)(\pi _{1}(\psi )),\quad \psi \in S{\mathcal {H}}.}$

さらに、 GがPHの対称性で[·,·]を保存するのと同様に、G _exはSHの対称性で(·,·)を保存する。π ₂のファイバーはすべて円である。これらの円はU(1)の作用に対して不変である。これらのファイバーに対するU(1)の作用は推移的であり、不動点を持たない。結論として、SHは構造群U(1)を持つPH上の主ファイバー束である。^[22]

背景資料

拡張を適切に議論するためには、リー代数の定義的性質を超えた構造が必要です。ここでは、これらに関する基本的な事実を簡単に参照できるようにまとめています。

派生

リー代数g上の微分δは 写像である

${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$

ライプニッツの法則

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{2}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]}$

が成り立つ。リー代数g上の微分集合はder gと表記される。これはリー括弧の下でリー代数となる。

${\displaystyle [\delta _{1},\delta _{2}]=\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}.}$

これはgの自己同型群Aut gのリー代数で ある。^[23]

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{1}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]\Leftrightarrow e^{t\delta }[G_{1},G_{2}]=[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$

右辺が成り立つ場合、微分してt = 0とすると、左辺が成り立つとみなされます。左辺が成り立つ場合（A）には、右辺を次のように書きます。

${\displaystyle [G_{1},G_{2}]\;{\overset {?}{=}}\;e^{-t\delta }[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],}$

この式の右辺を微分します。( A )を用いると、常にゼロになります。したがって、この式の右辺はtに依存せず、 t = 0のときの値、つまりこの式の左辺に等しくなります。

G ∈ gのとき、ad _Gはad _{G 1} ( G ₂ ) = [ G ₁ , G ₂ ]によって作用し、微分となる。集合ad _G : G ∈ gはg上の内微分全体の集合である。有限次元単純リー代数では、すべての微分は内微分である。^[24]

半直積（群）

2つのリー群GとH 、そしてHの自己同型群Aut Hを考える。後者はHの同型群である。リー群準同型Φ: G → Aut Hが存在するならば、各g ∈ Gに対して、 Φ( g ) ≡ Φ _g ∈ Aut Hが存在し、 Φ _{gg '} = Φ _g Φ _{g '} , g , g ' ∈ Gという性質を満たす。E で集合 H × G を表し、乗法を次のように定義する 。

${\displaystyle (h,g)(h',g')=(h\phi _{g}(h'),gg'),\quad g,g'\in G,h,h'\in H.}$

4

するとEは単位群( e _H , e _G )を持ち、その逆群は( h , g ) ⁻¹ = ( Φ _{g ⁻¹} ( h ⁻¹ ), g ⁻¹ )で与えられる。逆群の式と式( 4 )を用いると、 HはEにおいて正規群であることが分かる。この半直積を持つ群をE = H ⊗ _S Gと表記する。

逆に、 E = H ⊗ _S Gが群Eの与えられた半直積表現である場合、定義によりHはEにおいて正規であり、各g ∈ Gに対してC _g ∈ Aut Hであり、 C _g ( h ) ≡ ghg ⁻¹であり、写像Φ : g ↦ C _gは準同型である。

ここでリー対応を利用します。写像Φ _g : H → H , g ∈ Gはそれぞれ、リー代数のレベルで写像Ψ _g : h → hを誘導します。この写像は次のように計算されます。

${\displaystyle \Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}\Phi _{g}(e^{tG})\right|_{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}},g\in G.}$

5

例えば、Gと Hが両方ともより大きな群Eの部分群であり、Φ _g = ghg ⁻¹である場合、

${\displaystyle \Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}ge^{tG}g^{-1}\right|_{t=0}=gGg^{-1}=\mathrm {Ad} _{g}(G),}$

5フィート

そしてΨ はEのhへの随伴作用 Ad がGに制限されていることがわかる。ここでΨ: G → Aut h [ ⊂ GL( h ) if hが有限次元] は準同型写像である^{[nb 8]。}そして再びリー対応を用いると、唯一のリー代数準同型写像ψ : g → Lie(Aut h ) = Der h ⊂ gl( h )が存在する^{[nb 9]}。この写像は（形式的には）次のように与えられる。

${\displaystyle \psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\Psi _{e^{tG}}\right|_{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}}}$

6

例えば、Ψ = Adの場合、（正式には）

${\displaystyle \psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\mathrm {Ad} _{e^{tG}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}e^{\mathrm {ad} _{tG}}\right|_{t=0}=\mathrm {ad} _{G},}$

6フィート

ここで、 Adと、ここで厳密に証明された随伴作用 adとの関係が使用されます。

リー代数
リー代数はベクトル空間として、e = h ⊕ gである。これはGHがEとG ∩ H = ( e _H , e _G )を生成することから明らかである。リー括弧は^[25]で与えられる。

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

リー括弧の計算

リー括弧を計算するには、 sとtでパラメータ化されたEの曲面から始めます。e = h ⊕ gにおけるhの元にはバーが付きます。gについても同様です。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{e^{t{\overline {G}}}s{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}}&=e^{t{\overline {G}}}e^{s{\overline {H}}}e^{-t{\overline {G}}}=(1,e^{tG})(e^{sH},1)(1,e^{-tG})\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),e^{tG})(1,e^{-tG})=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH})\phi _{e^{tG}}(1),1)\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\end{aligned}}}$

一つは

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.e^{Ad_{e^{t{\overline {G}}}}s{\overline {H}}}\right|_{s=0}=Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}}$

そして

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\right|_{s=0}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0)}$

5で割ると

${\displaystyle Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0).}$

この関係をtに関して微分し、 t = 0で評価します。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.e^{t{\overline {G}}}{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}\right|_{t=0}=[{\overline {G}},{\overline {H}}]}$

そして

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.(\Psi _{e^{tG}}(H),0)\right|_{t=0}=(\psi _{G}(H),0)}$

6倍して

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+[G_{1},H_{2}]+[H_{1},G_{2}]+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

コホモロジー

本稿の目的のためには、リー代数コホモロジー理論の限られた部分を検討すれば十分である。定義は最も一般的なものではなく、最も一般的なものでもないが、それらが指す対象は、より一般的な定義の真正な例である。

2-コサイクル主な関心の対象は、双線型交代関数 として定義されるg
上の 2-コサイクルである。

${\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow F,}$

交互に繰り返される、

${\displaystyle \phi (G_{1},G_{2})=-\phi (G_{2},G_{1}),}$

2サイクルのヤコビ恒等式と呼ばれるヤコビ恒等式に似た性質を持ち、

${\displaystyle \phi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\phi (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\phi (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0.}$

g上のすべての2-コサイクルの集合はZ ² ( g , F )と表される。

1-コチェーンから2-コサイクルを
得る 1-コチェーンから2-コサイクルが得られる場合もある。g上の1-コチェーンは単なる線型写像である。

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow F}$

このような写像全体の集合はC ¹ ( g , F )と表記され、もちろん（少なくとも有限次元の場合は）C ¹ ( g , F ) ≅ g *となる。1-コチェーンfを用いると、2-コサイクルδf は次のように定義される。

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}]).}$

交代性は直ちに示され、2-コサイクルのヤコビ恒等式は（いつものように）書き出し、構成要素（ここではg上のヤコビ恒等式とfの線型性）の定義と性質を用いることで示される。線型写像δ : C ¹ ( g , F ) → Z ² ( g , F )はコ境界演算子と呼ばれる（ここではC ¹ ( g , F )に限定される）。

第二コホモロジー群δのC ¹ ( g , F )
の像をB ² ( g , F )で表す。商

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )=Z^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )/B^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )}$

はgの第二コホモロジー群と呼ばれる。H ² ( g , F )の元は2-コサイクルの同値類であり、2つの2-コサイクルφ ₁とφ ₂は、2-コ境界によって異なる場合、すなわち、あるf ∈ C ¹ ( g , F )に対してφ ₁ = φ ₂ + δfが成り立つ場合、同値コサイクルと呼ばれる。同値な2-コサイクルはコホモロガスと呼ばれる。 φ ∈ Z ² ( g , F )の同値類は[ φ ] ∈ H ²と表記される。

これらの概念は様々な方向に一般化されます。詳しくは主要記事をご覧ください。

構造定数

Bをgのハメル基底とする。すると各G ∈ gは次のように一意に定まる。

${\displaystyle G=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }G_{\alpha },\quad c_{\alpha }\in F,G_{\alpha }\in B}$

適切な大きさの添え字集合Aに対して、この展開式が成り立つ。この展開式では、有限個のc _αのみが非零となる。以降の展開では（簡単のため）基底は可算であると仮定し、添え字にはラテン文字を用い、添え字集合は= 1, 2, ...とすることができる。直ちに ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k}}$

基底元において、和の記号が有理化されている場合、和の規則が適用されます。構造定数における添え字の配置（上向きまたは下向き）は重要ではありません。次の定理が役立ちます。

定理：構造定数がすべての添字において反対称となるような基底が存在することと、リー代数が単純コンパクト・リー代数とu (1)リー代数の直和となることが同値である。これは、不変性条件を満たすg上の実正定値計量gが存在することと同値である。

${\displaystyle g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }.}$

任意の基底において。この最後の条件は、量子場の理論における非アーベルゲージ理論の物理的な根拠から必要である。したがって、簡潔な形式（すなわち、 sl ( n , ) → su ( n )など）上の単純リー代数のカルタンカタログを使用して、可能性のあるゲージ理論の無限のリストを作成することができる。そのようなゲージ理論の1つは、リー代数がu (1) ⊕ su (2) ⊕ su (3)である標準モデルのU (1) × SU( 2) × SU (3)ゲージ理論である。^[26] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

殺害形態

キリング形式はg上の対称双線型形式で、次のように定義される。

${\displaystyle K(G_{1},G_{2})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{G_{1}}\mathrm {ad} _{G_{2}}).}$

ここで、_Gはベクトル空間g上で作用する行列とみなされる。重要な事実は、gが半単純であれば、カルタンの基準により、Kは非退化であるということである。このような場合、Kはgとg ^∗を同一視するために用いられる。λ ∈ g ^{∗であれば、} ν ( λ ) = G _λ ∈ gが存在し、

${\displaystyle \langle \lambda ,G\rangle =K(G_{\lambda },G)\quad \forall G\in {\mathfrak {g}}.}$

これはリースの表現定理に似ており、証明も実質的に同じである。キリング形式は次のような性質を持つ。

${\displaystyle K([G_{1},G_{2}],G_{3})=K(G_{1},[G_{2},G_{3}]),}$

これは結合性と呼ばれます。g αβ = K [ G α , G β ] と定義し、内部の括弧を_構造定数で_展開する_と、キリング形式が上記の不変性条件を満たすことがわかります。

ループ代数

ループ群は、単位円S ¹からリー群Gへの滑らかな写像の群としてとられ、その群構造はG上の群構造によって定義される。ループ群のリー代数は、S ^1からGのリー代数gへの写像のベクトル空間である。このようなリー代数の任意の部分代数はループ代数と呼ばれる。ここでは、次の形式の多項式ループ代数に注目する。

${\displaystyle \{h:S^{1}\to {\mathfrak {g}}|h(\lambda )=\sum \lambda ^{n}G_{n},n\in \mathbb {Z} ,\lambda =e^{i\theta }\in S^{1},G_{n}\in {\mathfrak {g}}\}.}$

リー代数の導出

これを見るために、ループ群のHのGの単位元に近い元H ( λ )を考えてみよう。これはgの基底{G_k}で表される。

${\displaystyle H(\lambda )=e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=e_{G}+h^{k}(\lambda )G_{k}+\ldots ,}$

ここでh ^k ( λ )は実数かつ小さい値であり、暗黙の和はgのK次元にわたっている。ここで

${\displaystyle h^{k}(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}}$

取得する

${\displaystyle e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=1_{G}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}+\ldots .}$

したがって、関数

${\displaystyle h:S^{1}\to {\mathfrak {g}};h(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{K}\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }\lambda ^{n}G_{n}}$

リー代数を構成します。

少し考えれば、これらはθ が0から2 πに変化するときのgのループであることが分かります。これらの演算は、 gの演算によって点ごとに定義されるものです。この代数は、

${\displaystyle C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}},}$

ここでC[ λ , λ ⁻¹ ]はローラン多項式の代数であり、

${\displaystyle \sum \lambda ^{k}G_{k}\leftrightarrow \sum \lambda ^{k}\otimes G_{k}.}$

リーブラケットは

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2}]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}].}$

この後者の見方では、要素はgの（定数！）係数を持つ多項式として考えることができる。基底定数と構造定数の観点から見ると、

${\displaystyle [\lambda ^{m}\otimes G_{i},\lambda ^{n}\otimes G_{j}]={C_{ij}}^{k}\lambda ^{m+n}\otimes G_{k}.}$

異なる表記法が使われることもよくあります。

${\displaystyle \lambda ^{m}\otimes G_{i}\cong \lambda ^{m}G_{i}\leftrightarrow T_{i}^{m}(\lambda )\equiv T_{i}^{m},}$

ここで、混乱を避けるためにλを省略していることに注意する必要がある。要素は実際には関数S ¹ → gである。リー括弧は

${\displaystyle [T_{i}^{m},T_{j}^{n}]={C_{ij}}^{k}T_{k}^{m+n},}$

これは、後で導入される、中心項のない非ねじれアフィンKac-Moody代数の交換関係の1つとして認識できる。m = n = 0のとき、 gと同型な部分代数が得られる。これは（定義を遡ってみればわかるように）S ¹からGへの定数写像の集合を生成する。これは、 expが全射であるとき（Gがコンパクトなとき）、明らかにGと同型である。Gがコンパクトなとき、gの基底（G _k）は、 G _kが歪エルミートとなるように選ばれる。結果として、

${\displaystyle T_{i}^{n\dagger }=(\lambda ^{n}G_{i})^{\dagger }=-\lambda ^{-n}G_{i}=-T_{i}^{-n}.}$

このような表現は、代表が

${\displaystyle H(\lambda )=e^{\theta _{n}^{k}T_{k}^{-n}}\in G}$

はユニタリです。ここで、 Tの下側の添え字のマイナスは慣例であり、和の慣例が適用され、λは（定義により）右辺のTに埋め込まれます。

現在の代数学（物理学）

カレント代数は、場の量子論において、大域ゲージ対称性の結果として生じる。保存カレントは、古典場の理論において、ラグランジアンが連続対称性を遵守する場合に必ず生じる。これがネーターの定理の内容である。ほとんど（おそらくすべて）の現代の量子場の理論は、（量子化前の）古典ラグランジアンを用いて定式化できるため、ネーターの定理は量子の場合にも適用される。量子化により、保存カレントはヒルベルト空間上の位置依存演算子へと昇格される。これらの演算子は交換関係に従い、一般に無限次元リー代数を形成する。これを示すモデルを以下に示す。

物理学の趣を高めるために、数学的な慣習とは対照的に、 iの因数が随所に現れます。^{[注 3]}

スカラー場の列ベクトルΦ （Φ ₁ , Φ ₂ , ..., Φ _N）を考える。ラグランジアン密度を

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{\dagger }\phi .}$

このラグランジアンは変換^{[注10]に対して不変である。}

${\displaystyle \phi \mapsto e^{-i\sum _{a=1}^{r}\alpha ^{a}F_{a}}\phi ,}$

ここで{ F ₁ , F ₁ , ..., F _r }はU( N )またはその閉部分群の生成元であり、

${\displaystyle [F_{a},F_{b}]=i{C_{ab}}^{c}F_{c}.}$

ネーターの定理はr保存流の存在を主張する。

${\displaystyle J_{a}^{\mu }=-\pi ^{\mu }iF_{a}\phi ,\quad \pi ^{k\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{k})}},}$

ここでπ ^{k 0} ≡ π ^kはΦ _kに正​​準共役な運動量である。これらの電流が保存されると言われる理由は、

${\displaystyle \partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=0,}$

そしてその結果

${\displaystyle Q_{a}(t)=\int J_{a}^{0}d^{3}x=\mathrm {const} \equiv Q_{a},}$

電荷密度J _a ⁰に付随する電荷は時間的に一定である。^{[注 11]}この（これまでのところ古典的な）理論は、場とその共役をヒルベルト空間上の作用素に昇格させ、交換関係を仮定（ボソン量子化）することで量子化される^{[27] [注 12]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\phi _{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]&=i\delta (x-y)\delta _{k}^{l},\\{}[\phi _{k}(t,x),\phi _{l}(t,x)]&=[\pi ^{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]=0.\end{aligned}}}$

したがって、電流は演算子となる^[注13]。これらは、上記の関係、定義、空間積分を用いて、交換関係を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{0}(t,\mathbf {y} )]&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ){C_{ab}}^{c}J_{c}^{0}(ct,\mathbf {x} )\\{}[Q_{a},Q_{b}]&=i{Q_{ab}}^{c}Q_{c}\\{}[Q_{a},J_{b}^{\mu }(t,\mathbf {x} )]&=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{\mu }(t,\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$

ここで、光速と換算プランク定数は1としている。最後の交換関係は、公理上の交換関係（π ^{k 0}に対してのみ固定され、π ^{k 1}、π ^{k 2}、π ^{k 3}に対しては固定されない）から、μ = 0の場合を除いて従わない。μ = 1、2、3の場合、ローレンツ変換の挙動を用いて結論を導く。次に検討すべき交換関係は、

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+....}$

デルタ関数とその導関数の存在は、ミクロ因果律の要件によって説明され、 x ≠ yのとき交換子が消滅する。したがって、交換子はx = yで支持される分布でなければならない。^{[28]最初の項は、方程式を}Xについて積分すると、その前の最後の方程式に帰着するという要件により固定されている。続く項はシュウィンガー項である。これらは積分するとゼロになるが、一般に^[29]非ゼロでなければならないことが示される。

シュウィンガー項の存在

保存電流を考える

${\displaystyle \partial _{0}J^{0}+\partial _{i}J^{i}=0,\quad \langle 0|J^{i}|0\rangle =0,\quad J^{0\dagger }J^{0}=J^{0}J^{0\dagger }=I.}$

S10

一般的なシュウィンガー用語

${\displaystyle [J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )J^{i}(t,\mathbf {x} )+C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

真空期待値（VEV）をとることによって、

${\displaystyle \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle =\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]|0\rangle ,}$

一つは

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|{\frac {\partial C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}|0\rangle &=\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{i}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}]|0\rangle \\&=-\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{0}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{t}}}]|0\rangle =i\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),[J^{0}(t,\mathbf {y} ),H]]|0\rangle \\&=-i\langle 0|J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {y} )+J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {x} )|0\rangle ,\end{aligned}}}$

ここでS10とハイゼンベルクの運動方程式が使用され、 H |0⟩ = 0とその共役も使用されています。

この式にf ( x ) f ( y )を掛け、部分積分を使ってxとyについて全空間にわたって積分すると、次式が得られる。

${\displaystyle -i\int \int d\mathbf {x} d\mathbf {y} \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle f(\mathbf {x} ){\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}f(\mathbf {x} )=2\langle 0|FHF|\rangle ,\quad F=\int J^{0}(\mathbf {x} )f(\mathbf {x} ).}$

ここで、完全な状態セットを挿入します。| n⟩

${\displaystyle \langle 0|FHF|\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle \langle m|H|n\rangle \langle n|F|0\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle E_{n}\delta _{mn}\langle n|F|0\rangle )\sum _{n\neq 0}|\langle 0|F|n\rangle |^{2}E_{n}>0\Rightarrow C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0.}$

ここで、 Fのエルミート性と、真空状態と完全なセットからの状態間のFのすべての行列要素がゼロになるわけではないという事実について説明します。

アフィンカック・ムーディ代数

gを、専用の適切な正規化基底を持つN次元複素単純リー代数とし、構造定数が交換関係を持つすべてのインデックスで反対称となるようにする。

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k},\quad 1\leq i,j,N.}$

非ねじれアフィンカツ・ムーディ代数 gは、それぞれの基底をコピーして（コピーは別個のものとして扱う）、 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}=FC\oplus FD\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq \mathbb {N} ,m\in \mathbb {Z} }FG_{m}^{i}}$

ベクトル空間として、交換関係を割り当てる

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

C = D = 0の場合、 G ^m _iが張る部分代数は明らかに上記の多項式ループ代数と同一です。

ウィット代数

ヴィット代数は、エルンスト・ヴィットにちなんで名付けられ、円S ¹上の滑らかなベクトル場のリー代数Vect S ¹の複素化である。座標系では、このようなベクトル場は次のように表記される。

${\displaystyle X=f(\varphi ){\frac {d}{d\varphi }},}$

そしてリー括弧はベクトル場のリー括弧であり、S ¹上では単に次のように与えられる。

${\displaystyle [X,Y]=\left[f{\frac {d}{d\varphi }},g{\frac {d}{d\varphi }}\right]=\left(f{\frac {dg}{d\varphi }}-g{\frac {df}{d\varphi }}\right){\frac {d}{d\varphi }}.}$

代数はW = Vect S ¹ + i Vect S ¹と表される。Wの基底は集合

${\displaystyle \{d_{n},n\in \mathbb {Z} \}=\left\{\left.ie^{in\varphi }{\frac {d}{d\varphi }}=-z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\right|n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

この基準は

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}\equiv {C_{lm}}^{n}d_{n}=(l-m)\delta _{l+m}^{n}d_{n},\quad l,m,n\in \mathbb {Z} .}$

このリー代数には、有用な中心拡張であるヴィラソロ代数が存在する。ヴィラソロ代数は、su (1, 1)およびsl (2, )と同型な3次元部分代数を持つ。各n ≠ 0に対して、集合{ d ₀ , d _−n , d _n }は、 su (1, 1) ≅ sl (2, )と同型な部分代数を張る。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$とsu (1, 1)との関係

m , n ∈ {−1, 0, 1}に対して、

${\displaystyle [d_{0},d_{-1}]=d_{-1},\quad [d_{0},d_{1}]=-d_{1},\quad [d_{1},d_{-1}]=2d_{0}.}$

これらはsl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$と

${\displaystyle d_{0}\leftrightarrow H=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{-1}\leftrightarrow X=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{1}\leftrightarrow Y=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad H,X,Y\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ).}$

SU(1, 1)群とSL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$群は写像^{[30]の下で同型である。}

${\displaystyle SU(1,1)=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)SL(2,\mathbb {R} )\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1},}$

そして、指数写像の性質により、リー代数のレベルでも同じ写像が成り立つ。su ( 1, 1)の基底は、古典群を参照のこと、次のように与えられる。

${\displaystyle U_{0}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{2}=\left({\begin{smallmatrix}i&0\\0&-i\end{smallmatrix}}\right)}$

計算してみましょう

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)H\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=U_{0},\\X_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)X\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}i&-i\\i&-i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}+U_{2}),\\Y_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)Y\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}-i&-i\\i&i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}-U_{2}).\end{aligned}}}$

写像は括弧を保存するため、実係数sl (2, )とsu (1, 1) を持つ W の部分代数 { d 0 , d −1 , d 1 } の間にはリー代数同型が存在する。{ d 0 , d − n , d n }（n ≠ 0 ）で張られる任意の_部分代数について_も同様で_あり、これは_（同型の_両側の）要素_の単純な再スケーリングから得られる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

射影表現

Mが行列リー群である場合、そのリー代数mの元Xは次のように与えられる。

${\displaystyle X={\frac {d}{dt}}\left.(g(t))\right|_{t=0},}$

ここでgはt = 0における単位元を通るMの微分可能経路である。リー代数の元の交換子は次のように計算できる^[31]

${\displaystyle [X_{1},X_{2}]=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}}.}$

同様に、群表現U ( M )が与えられた場合、そのリー代数u ( m )は次のように計算される。

${\displaystyle {\begin{aligned}[][Y_{1},Y_{2}]&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})U(e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\end{aligned}},}$

ここで、 および。すると、 mとu ( m )の間には、基底を基底に変換するリー代数同型性が存在するため、u はmの忠実な表現になります。 ${\displaystyle Y_{1}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}U(e^{tX_{1}})}$ ${\displaystyle Y_{2}=\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{sX_{2}})}$

しかし、U ( G ) が射影ユニタリ表現 、つまり位相因子を除いたユニタリ表現の代表の許容集合である 場合、群表現から計算されるリー代数はmと同型ではない。U の場合、乗法規則は次のようになる 。

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}g_{2})=e^{i\xi (g_{1},g_{2})}U(g_{1}g_{2}).}$

関数ωは滑らかであることがしばしば要求され、

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\omega (g_{1},g_{2}g_{3})\omega (g_{2},g_{3})&=\omega (g_{1},g_{2})\omega (g_{1}g_{2},g_{3})\\\omega (g,g^{-1})&=\omega (g^{-1},g).\end{aligned}}}$

これはM上の2-コサイクルと呼ばれます。

上記の等式から、 ${\displaystyle (U(g))^{-1}={\frac {1}{\omega (g,g^{-1})}}U(g^{-1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][Y_{1},Y_{2}]&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})(U(e^{tX_{1}}))^{-1}\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}{\frac {1}{\omega (e^{tX_{1}},e^{-tX_{1}})}}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})U(e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}{\frac {\omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})\omega (e^{tX_{1}}e^{sX_{2}},e^{-tX_{1}})}{\omega (e^{tX_{1}},e^{-tX_{1}})}}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\\&\equiv \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}\Omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})+\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}\Omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})I,\end{aligned}}}$

ΩとUはt = 0において恒等式となるためである。位相因子ξの説明については、ウィグナーの定理を参照のこと。基底mにおける交換関係は、

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]={C_{ij}^{k}}X_{k}}$

あなたの中になる

${\displaystyle [Y_{i},Y_{j}]={C_{ij}^{k}}Y_{k}+D_{ij}I,}$

したがって、 u が括弧内で閉じているためには(したがって実際にリー代数である可能性があるためには)中心電荷 Iを含める必要があります。

相対論的古典弦理論

古典的な相対論的な弦は、点粒子が世界線を描くのと同じように、時空に世界面を描きます。この世界面は、2つのパラメータσとτを使用して局所的にパラメータ化できます。時空内の点x ^μは、パラメータ化の範囲内で、x ^μ = x ^μ ( σ , τ )と書きます。大文字のXは、時空内の点が実際に弦の世界面上にあることを示します。したがって、弦のパラメータ化は、 ( σ , τ ) ↦( X ⁰ ( σ , τ )、X ¹ ( σ , τ )、X ² ( σ , τ )、X ³ ( σ , τ ))で与えられます。パラメータ化の逆は、多様体の意味での世界面上の局所座標系を提供します。

南部-後藤作用からラグランジアン形式で導出される古典的相対論的弦の運動方程式は^[32]

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }}+{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }}=0,\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-(X')^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}},\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}}.}$

量の上の点は、 τに関する微分とσに関する素微分を表します。量と量の間にある点は、相対論的な内積を表します。

これらのかなり難しい方程式は、光円錐ゲージと呼ばれる巧みなパラメータ化の選択によって大幅に簡素化されます。このゲージでは、運動方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\ddot {X}}^{\mu }-{X^{\mu }}''=0,}$

通常の波動方程式。その代償として、光円錐ゲージは制約を課す。

${\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }\cdot {X^{\mu }}'=0,\quad ({\dot {X}})^{2}+(X')^{2}=0,}$

そのため、弦を表すために波動方程式の任意の解を単純に取ることはできない。ここで扱う弦は開いた弦、すなわち閉じた弦ではない。これは、ノイマン境界条件を端点に課す必要があることを意味する。これにより、波動方程式の一般解（制約条件を除く）は次のように与えられる。

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+2\alpha 'p_{0}^{\mu }\tau -i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n=1}\left(a_{n}^{\mu *}e^{in\tau }-a_{n}^{\mu }e^{-in\tau }\right){\frac {\cos n\sigma }{\sqrt {n}}},}$

ここでα 'は弦の傾きパラメータ（弦の張力に関係する）である。x 0_とp ₀は（おおよそ）初期状態からの弦の位置と弦の運動量である。もしすべてのαが^μ
_nがゼロの場合、解は古典的な点粒子の運動を表します。

これを書き直すと、まず定義する

${\displaystyle \alpha _{0}^{\mu }={\sqrt {2\alpha '}}a_{\mu },\quad \alpha _{n}^{\mu }=a_{n}^{\mu }{\sqrt {n}},\quad \alpha _{-n}^{\mu }=a_{n}^{\mu *}{\sqrt {n}},}$

そして書く

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{\mu }\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-in\tau }\cos n\sigma .}$

制約を満たすために、光円錐座標に移る。I = 2 , 3, ... d （ dは空間次元 数）に対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{I}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{I}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{I}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{I}e^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\X^{+}(\sigma ,\tau )&={\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{+}\tau ,\\X^{-}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{-}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{-}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{-}e^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{aligned}}}$

すべてのα _n ^μ , n ∈ , μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d } ${\displaystyle \mathbb {Z} }$が独立であるわけではない。中にはゼロになるものもあり（したがって上記の式には含まれていない）、その「マイナス係数」は

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}={\frac {1}{2p^{+}}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

左側の量には名前が付けられ、

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}\equiv {\frac {1}{p^{+}}}L_{n},\quad L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I},}$

横方向のビラソロモード。

理論が量子化されると、アルファ、つまりL _{n は}演算子になります。

参照

• 群コホモロジー
• 群縮約（イノヌ・ウィグナー縮約）
• グループ拡張
• リー代数コホモロジー

備考

1. オットー・シュライアー（1901-1929）は群の拡大理論の先駆者であった。彼の豊富な研究論文に加え、講義ノートは死後、エマヌエル・シュペルナー編『Einführung in die analytische Geometrie und Algebra』（第1巻 1931年、第2巻 1935年）として出版され、その後1951年に英訳『Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory』として出版された。詳細はMacTutor 2015を参照のこと。
2. ヤコビ恒等式が成り立つことを示すには、すべてを書き出し、基礎となるリー代数がヤコビ恒等式を満たすリー積を持ち、 δ [ X , Y ] = [ δ ( X ), Y ] + [ X , δ ( Y )]という事実を使用します。
3. 大まかに言えば、リー代数全体にiが乗じられ、構造定数の定義にiが発生し、指数マップ (リー理論)の指数に(マイナス) iの係数が付けられます。この規則の主な理由は、物理学者がリー代数要素をエルミート(歪エルミートではなく) にして、実固有値を持ち、観測可能量の候補となることを好むためです。
4. ミゲル・アンヘル・ヴィラソロ、1940年生まれはアルゼンチンの物理学者。彼にちなんで名付けられたヴィラソロ代数は、『ヴィラソロ』 (1970 年) に初めて出版されました。
5. Wの基底を変更しても同じ効果が得られます。
6. 2-コサイクルがアーベル群U(1)内で値を取る場合、つまりそれが位相因子である場合、これはウィグナーの定理の範囲内では常に当てはまるため、構築時にU(1)に置き換えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
7. Kerf, EA De; Bäuerle, GGA; Ten Kroode, APE 編 (1997). 「リー代数の拡張」.リー代数 - 有限次元および無限次元リー代数と物理学への応用. 数理物理学研究. 第7巻. pp.  5– 48. doi :10.1016/S0925-8582(97)80002-4. ISBN 978-0-444-82836-1。参考文献には事実と、それを証明するのが困難であることが述べられています。それ以上の参考文献は示されていません。ただし、Tuynman & Wiegerinck (1987) と Bargmann (1954) には、若干異なる形式の表現が見られます。
8. ^_を確認するには、式( 4 )_をΨgg _'に適用し、 Φ^が準同型であることを思い出し、 Φg ( eG )= eΨg ^{( G )を}数回使用します。
9. Aut h )のリー代数がDer h 、つまりhのすべての微分（それ自体が明らかな括弧の下でリー代数である）の集合であるという事実は、Rossmann 2002、p. 51で見ることができる。
10. U = − i Σ α ^a T _aとU ^†は定数なので、偏微分から取り出すことができます。すると、 UとU ^{†はユニタリー性により}U ^† U = Iに統合されます。
11. これはガウスの法則が、無限遠では場が十分に急速に減少するという仮定に基づいていることから導き出されます。
12. 量子化には別の方法もある。例えば、特定の交換対称性を持つすべての粒子種に対して、生成消滅演算子が存在すると仮定する。この対称性は、ボーズ・アインシュタインまたはフェルミ・ディラックの統計に基づいて粒子が従う。この場合、上記の演算子は、主にローレンツ不変性とS行列のユニタリー性の要求を用いて、スカラーボソン場に対して導出される。実際、ヒルベルト空間上のすべての演算子は、生成消滅演算子から構築できる。例えば、Weinberg (2002)、第2章から第5章を参照のこと。
13. このステップは曖昧である。古典場は可換であるのに対し、作用素は可換ではないからである。ここではこの問題が存在しないと仮定しているが、実際には、矛盾がない限り、この問題は決して深刻ではない。

注記

1. バウアーレ、デ・カーフ、テン・クルーデ 1997 ^{[必要なページ]}
2. ショッテンローハー 2008、序文
3. Dolan 1995 『物理学におけるKac-Moody対称性の指標』（無料アクセス）
4. グリーン、シュワルツ、ウィッテン 1987
5. ショッテンローハー 2008
6. シュライアー 1926
7. シュライアー 1925
8. Kac 1967e
9. ムーディー 1967
10. Kerf, EA De; Bäuerle, GGA; Ten Kroode, APE 編 (1997). 「アフィンKac-Moody代数の明示的構築」.リー代数 - 有限次元および無限次元リー代数と物理学への応用. 数理物理学研究. 第7巻. pp.  49– 70. doi :10.1016/S0925-8582(97)80003-6. ISBN 978-0-444-82836-1。
11. Bäuerle、de Kerf、ten Kroode 1997、例 18.1.9
12. Kerf, EA De; Bäuerle, GGA; Ten Kroode, APE 編 (1997). 「リー代数の拡張」.リー代数 - 有限次元および無限次元リー代数と物理学への応用. 数理物理学研究. 第7巻. pp.  5– 48. doi :10.1016/S0925-8582(97)80002-4. ISBN 978-0-444-82836-1。
13. Bäuerle、de Kerf、ten Kroode 1997 Corollary 22.2.9。
14. Kac 1990 演習 7.8.
15. カック 1990
16. Bäuerle & de Kerf 1990
17. ショッテンローハー 2008, Thm. 5.1, pp. 79
18. ツヴィーバッハ 2004、第12章
19. ツヴィーバッハ 2004、pp. 219–228
20. ツヴィーバッハ 2004, p. 227
21. バーグマン 1954
22. タインマン & ヴィーゲリンク 1987
23. ロスマン 2002、セクション2.2
24. ハンフリーズ 1972
25. ナップ 2002
26. Weinberg 1996、付録A、第15章。
27. グレイナー＆ラインハルト 1996
28. Bäuerle & de Kerf 1990 セクション 17.5。
29. Bäuerle & de Kerf 1990、pp. 383–386
30. ロスマン 2002、セクション4.2
31. ホール、ブライアン (2015).リー群、リー代数、表現 - 初等入門（第2版）. スイス: シュプリンガー. p. 57. ISBN 978-3-319-13466-6。
32. Zwiebach 2004 式 6.53 (6.49、6.50 で裏付けられています)。

参考文献

本

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1990). A. van Groesen; EM de Jager (編).リー代数 第1部 有限次元および無限次元リー代数とその物理学への応用. 数理物理学研究 第1巻. 北ホラント. ISBN 978-0-444-88776-4. MR  1085715。
• バウアーレ、GGA;デ・カーフ、EA;テン・クルード、APE (1997)。 A.ファン・グローセン。 EM デ・イェーガー (編)。リー代数。パート 2. 有限次元および無限次元のリー代数と物理学におけるその応用。数理物理学の研究。 Vol. 7. 北オランダ。ISBN 978-0-444-82836-1. MR  1489232。
• ゴダード, P. ;オリーブ, D.編 (1988). カツ–ムーディ代数とビラソロ代数, 物理学者のための復刻版. 数理物理学上級シリーズ. 第3巻. シンガポール: ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング. ISBN 978-9971-50-419-9。
• Goldin, GA (2006). Françoise, JP.; Naber, GL; Tsun, TS (編).数理物理学百科事典. Current Algebra. ISBN 978-0-12-512666-3。
• グリーン, MB ;シュワルツ, JH ;ウィッテン, E. (1987).超弦理論. 第1巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9781107029118。
• Greiner, W. ; Reinhardt, J. (1996). Field Quantization . Springer Publishing . ISBN 978-3-540-59179-5。
• ハンフリーズ, JE (1972). 『リー代数と表現論入門（第3版）』ベルリン・ハイデルベルク・ニューヨーク: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-90053-5。
• Kac, VG (1990). 『無限次元リー代数（第3版）』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-37215-2。
• Knapp, A. (2002). Bass, H.; Oesterlé, J.; Weinstein, A. (編).リー群入門を超えて. 数学の進歩. 第140巻 (第2版). ボストン・バーゼル・ベルリン: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4259-4。
• ロスマン、ウルフ (2002). 『リー群 ― 線型群を通じた入門』 . オックスフォード数学大学院テキスト. オックスフォード・サイエンス・パブリケーションズ. ISBN 0-19-859683-9。
• ショッテンローハー, M. (2008) [1997].共形場理論への数学的入門（第2版）. ベルリン、ハイデルベルク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-68625-5。
• ワインバーグ, S. (2002). 『場の量子論』第1巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55001-7。
• ワインバーグ, S. (1996). 『場の量子論』第2巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55002-4。
• ツヴィーバッハ, B. (2004). 『弦理論入門』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-83143-1. MR  2069234。

ジャーナル

• Bargmann, V. (1954). 「連続群のユニタリ射線表現について」. Ann. of Math . 59 (1): 1– 46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Dolan, L. (1995). 「物理学におけるKac-Moody対称性の指標」. Notices of the AMS . 42 (12): 1489– 1495. arXiv : hep-th/9601117 . Bibcode :1996hep.th....1117D. ISSN  0002-9920.
• Kac, VG (1967r). 「[有限成長の単純な次数付きリー代数]」. Funkt. Analis I Ego Prilozh (ロシア語). 1 (4): 82– 83.
• Kac, VG (1967e). 「有限成長の単純な次数付きリー代数」. Funct. Anal. Appl . 1 : 328–329 .（英語訳）
• ゴダード, P. ;オリーブ, D. (1986). 「量子物理学におけるカッツ＝ムーディ代数とビラソロ代数」. Int. J. Mod. Phys. A. 1 ( 2): 303– 414. Bibcode :1986IJMPA...1..303G. doi :10.1142/S0217751X86000149.これは、物理学者のための再版本であるカツ・ムーディとヴィラソロ代数に掲載されています。
• Moody, RV (1967). 「一般化カルタン行列に関連するリー代数」. Bull. Amer. Math. Soc . 73 (2): 217– 221. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11688-4 . MR  0207783. Zbl  0154.27303.（オープンアクセス）
• シュライヤー、O. (1926)。 「Uber die Erweiterung von Gruppen I」[群拡張理論について I]。Monatshefte für Mathematik (ドイツ語)。34 (1): 165–180。土井:10.1007/BF01694897。hdl : 10338.dmlcz/127714。S2CID  124731047。
• シュライヤー、O. (1925)。 「Uber die Erweiterung von Gruppen II」[群拡張理論について II]。ハンブルク大学アブハンドルゲン数学セミナー(ドイツ語)。4 (1): 321–346。土井:10.1007/BF02950735。hdl : 10338.dmlcz/140420。S2CID  122947636。
• Virasoro, MA (1970). 「二重共鳴模型における補助条件とゴースト」. Phys. Rev. D. 1 ( 10): 2933– 2936. Bibcode :1970PhRvD...1.2933V. doi :10.1103/PhysRevD.1.2933.
• Tuynman, GM; Wiegerinck, WAJJ (1987). 「中心拡張と物理学」. Journal of Geometry and Physics . 4 (2): 207– 258. Bibcode :1987JGP.....4..207T. doi :10.1016/0393-0440(87)90027-1.

ウェブ

• MacTutor (2015). 「シュライアーの伝記」. MacTutor 数学史. 2015年3月8日閲覧。

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